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2024-2025学年广东省惠州市华罗庚中学高一（下）6月质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 .在复平面中，复数 = 1+ 对应的点的坐标在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.下列结论正确的是( )
A.平行向量不一定是共线向量 B.单位向量都相等
C.两个单位向量之和不可能是单位向量 D. ( ) ( ) =
3.《九章算术)问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈．问积几何．(今译：
已知正四棱台体建筑物(方亭)如图，下底边长 = 5 丈，上底边长 = 4 丈，高 = 5
丈．问它的体积是多少立方丈？( )
A. 75 B. 305 320 4003 C. 3 D. 3
4.已知向量 = (1, 2)， = (2,0)，则向量 在 方向上的投影向量为( )
A. (1,2) B. (2,0) C. (1,0) D. (2,1)
5.在△ 中， = 7, = 2, = 120°，则 =( )
A. 714 B.
21 5 7 3 21
14 C. 14 D. 14
6.设 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若 ， ， ⊥ ，则 ⊥ B.若 // ， ，则 //
C.若 ， ， // ， // ，则 // D.若 ⊥ ， ，则 ⊥
7.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是 5：4：3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层
抽样的方法抽取一个样本量为 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少 20，则 =( )
A. 100 B. 120 C. 200 D. 240
8.已知直三棱柱 1 1 1的体积为 8，二面角 1

的大小为4，且 = ， 1 = 2，则点 1
到平面 1的距离为( )
A. 2 B. 22
C. 23 D.
2
4
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列结论正确的是( )
A. 2 = 2 + 2 2 B. =
C. = + D. + =
10.设 为复数( 为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A.若(1 + ) = ，则| | = 1
B.对任意复数 1， 2，有| 1 2| = | 1| | 2|

C.对任意复数 1， 2，有 1 2 = 1 2
D.在复平面内，若 = { || 2| 2}，则集合 所构成区域的面积为 6
11.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，下列命题正确的是( )
A.若 = 60°， = 2，则△ 面积的最大值为 3
B.若 = 60°， = 1，则△ 面积的最大值为 3
C.若 = 2 3， = 4 ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 ∈ ( 6 , 3 )
D.若 + = ( + )，且 = 1 3 2 2，则该三角形内切圆面积的最大值是 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.高一年级有男生 490 人，女生 510 人，按男生、女生进行分层，抽取总样本量为 100.通过分层随机抽
样的方法得到男生、女生的平均身高为 170.2 和 160.8 ，则估计高一年级全体学生的平均身高为
______ . (结果保留一位小数)
13.已知复数 = + ，其中 ， ∈ 且 + = 1，则| 1 + 2 |的最小值是______．
14.如图，已知在直三棱柱 1 1 1中， 为 1 1的中点， 为棱 1上的动点， 1 = 2 2， = 2，
= 2 3， = 4.当三棱锥 1 的外接球的半径最小时，直线 与 1所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
在△ 中，已知 = 3， = 4，点 为线段 中点， = 2 ，设 = ， 3 =
．
(1)用向量 ， 表示 ；
(2)若∠ = 90°，求 ．
16.(本小题 15 分)
记△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 + ( + ) = ．
(1)求 ；
(2)若 = 7， + = 8，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱台 1 1 1中，底面△ 为等边三角形， 1 ⊥平面 ， = 2 1 = 2 1 1 = 2，
其中 为 上的点，且 = 2 ．
(Ⅰ)求证： 1 //平面 1 ；
(Ⅱ)求平面 1与平面 1 1 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
记△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 2 = ，点 在边 上， sin∠ = sinC.
(1)证明： = ;
(2)若 = 2 ，求 cos∠ ．
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19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，面 ⊥面 ， 是 的中
点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在棱 上是否存在点 使平面 ⊥平面 成立？如果存在，求出 如果不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.165.4
13. 2
14. 33
15.解：(1) = 2 3 ，
所以 = +
= + 2 3 ( )
= 1 3
+ 2 3

= 23 +
1 3 ，
2 1
所以 = 3 + 3 ；
(2)点 为线段 中点，用三点共线的向量表达式结论得
= 1 + 1 2 2
= 1 + 1 ( + 2 2 ) =
+ 1 2 =
1
2 ，
由(1)知 = 23 +
1
3
，
则 = ( 1 ) ( 2 + 1 12 3 3 ) = 3 | |
2 12
1 23 | | ，
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由∠ = 90°，则 = 0，
1 1 7
则 = 2 23 × 3 3 × 4 = 3．
16.(1)根据题意可知， + ( + ) = 及正弦定理可得 2 + ( + ) = 2，
2 2 2
即 2 + 2 2 = + 1，由余弦定理可得 = 2 = 2，
因为 0 < < 2 ，故 = 3；
(2)因为 2 + 2 2 = ，即 = ( + )2 2 = 82 72 = 15，
所以△ 1 1 3 15 3的面积为 △ = 2 = 2 × 15 × 2 = 4 ．
17.解：(Ⅰ)取 中点 ，连接 1 ， ，
因为 = 2 1 = 2 1 1 = 2，其中 为 上的点，且 = 2 ．
所以 1 1 = = 1， 1 1// ，
所以四边形 1 1 是平行四边形，
所以 1// 1 ，
因为 1 ⊥平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
因为底面△ 为等边三角形，
所以 ⊥ ，
以 为原点， ， ， 1分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系：
所以 (0,0,0)， (0, 1,0)， ( 3, 0,0)， (0,1,0)， 1(0, 1,1)， 1(0,0,1)， (
2 3 1
3 , 3 , 0)，
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1 = (0,1,1) = (
2 3 , 4， 3 3 , 0)，
设面 1 的法向量 = ( , , )，
1 = 0所以 ，
= 0
(0,1,1) ( , , ) = 0 + = 0
所以 ，即 ，
( 2 3 , 43 3 , 0) ( , , ) = 0
2 3 + 43 3 = 0
令 = 1 3 3，则 = 2 ， = 2 ，
所以 = (1, 32 ,
3
2 )，
又 1 = ( 3, 1, 1)，
所以 1 = 1 × 3 + (
3
2 ) × 1 +
3
2 × ( 1) = 0，
所以 1 / /平面 1D.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 1 = (0,1,1)， = ( 3, 1,0)，
设面 1法向量 = ( , , )，
1 = (0,1,1) ( , , ) = 0 + = 0所以
，即 ，
= ( 3, 1,0) ( , , ) = 0 3 + = 0
令 = 3，则 = 3， = 3，
所以 = ( 3, 3,3)，
平面 1 1 的法向量 = ( 3, 0,0)，
所以 cos < >= ( 3, 3,3) ( 3,0,0) 3 7， | || | = = =( 3)2+( 3)2+32 ( 3)2+02+02 21 3 7
，
所以平面 71与平面 1 1 夹角的余弦值 7 ．
18. 解：(1)证明：由正弦定理知，sin∠ = sin∠ = 2 ，
∴ = 2 ∠ ， = 2 ∠ ，
∵ 2 = ，
∴ 2 ∠ = 2 ∠ ，
即 ∠ = ，
∵ ∠ = ．
∴ = ；
(2)由(1)知 = ，
∵ = 2 ，
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∴ = 23 ， =
1
3 ，
2 2
△ cos∠ = +
2 2 2+( )23
2 13 2= = 9
2
在 中，由余弦定理知， 2 2 2 12 2
，
3
2+ 2 2 2+(
1 2 2 2 2
在△ 中，由余弦定理知，cos∠ = = 3
)
= 10 9 2 1 6 2 ，2 3
∵ ∠ + ∠ = ，
∴ cos∠ + cos∠ = 0，
13 2 9 2 10 2 9 2
即 12 2 + 6 2 = 0，
得 11 2 = 3 2 + 6 2，
∵ 2 = ，
∴ 3 2 11 + 6 2 = 0，
∴ = 3 或 = 23 ，
2 2 2 2 2
在△ 中，由余弦定理知，cos∠ = + + 2 = 2 ，
当 = 3 7时，cos∠ = 6 > 1(舍)；
当 = 23 时，cos∠ =
7
12；
综上所述，cos∠ = 712．
19.解：(1)证明：设 ∩ = ，连接 ，
因为底面 是正方形，所以 为 的中点，
因为 是 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为底面 是正方形，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为△ 为等边三角形， 是 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以直线 与平面 所成角为∠ ，
设正方形 的边长为 2，则 = 3， = 2 2，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
所以 sin∠ = 3 6， = 2 2 = 4
即直线 与平面 所成角的正弦值为 6；
4
(3)存在，当 ⊥ 时，平面 ⊥平面 ，
因为 ⊥平面 ， 平面平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，

设 = ，则 =

，所以 = +1 ，
由(2)知 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以 = 0，
1
因为 = = 2
，
= + = + = + +1 +1 (
) = 1 +1 + +1 ，
所以 = ( 12
) ( + 1 +1 +1 ) = 0，
1 2 2
所以 2( +1) +1 = 0，
1
得2( +1) = +1，
= 1解得 2，
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所以当 =
1
2时，平面 ⊥平面 ．
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