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探索三角形全等的条件
一．选择题（共10小题）
1．下列图形具有稳定性的是（　　）
A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圆形
2．如图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF．添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D＝90° B．∠ACB＝∠DFE C．∠B＝∠E D．AB＝DE
3．位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中AB⊥CD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．∠ABC＝∠ABD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．BC＝BD
4．如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD是（　　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm
5．如图，已知点F在BC上，且△ABC≌△AEF，有同学在推出AB＝AE，∠B＝∠E后，还分别推出下列结论，其中错误的是（　　）
A．AC＝AF B．∠AFC＝∠AFE C．EF＝BC D．∠FAB＝∠B
6．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
7．下列数据不能确定△ABC形状和大小的是（　　）
A．AB＝6，∠C＝60°，∠B＝40°
B．AB＝5，BC＝3，∠C＝90°
C．∠C＝60°，∠B＝70°，∠A＝50°
D．AB＝7，BC＝5，AC＝10
8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接CE，BF，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有（　　）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③
9．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC B．BE＝CE C．AC＝DB D．∠A＝∠D
10．如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝20°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠COE的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
二．填空题（共6小题）
11．如图，点C，B，E，F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AB＝DE，请你添加一个条件：　 　，使得△ABC≌△DEF．
12．如图，已知AB＝CB，要使△ABD≌△CBD，则可以添加的一个条件是　 　．
13．如图，在△ABC和△FED，A、F、C、D在同一直线上，AC＝FD，AB＝DE，当添加条件 　 　时，就可得到△ABC≌△DEF（只需填写一个你认为正确的条件即可）．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，∠CAE＝75°，若CE＝BA+AC，则∠B的度数为 　 　．
15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是线段BC上一点，∠ADC＝90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠DCO＝40°；③AC＝AO+AP；④PO＝PC，其中正确的是 　 　．（填序号）
16．如图，在△ABC与△CDE中，AC＝CE，AB∥DE，∠ACB＝∠CED，若BD＝2，DE＝6，则AB的长为 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，AD∥CB，AD＝CB．求证：∠ABC＝∠CDA．
18．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE，∠A＝∠D；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
19．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，AE＝2cm．求△AED的周长．
20．如图，在△CAB和△ADE中，AC＝AE＝8，∠CBE＝∠CAD，AD＝CB．
（1）求证：△ABC≌△EDA；
（2）若BE＝5，求线段DE的长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（点D不与点B、点C重合），作∠ADE＝∠B，DE交边AC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CDE；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）当∠B＝50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数．
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
23．如图，点D、C为线段BE上一点，且BD＝CE，AC∥DF，AB∥EF．求证：AB＝EF．
24．如图，AC与DE交于点O，且OE＝OC．点E、C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D．
求证：△ABC≌△DFE．
探索三角形全等的条件
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据三角形具有稳定性直接判断即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
三角形具有稳定性，菱形，正方形，圆形不具有稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是三角形性质的应用．
2．【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BC＝EF，根据HL能判定Rt△ABC≌Rt△DEF，故不符合题意；
B、∵∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，BC＝EF，根据SAS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF，故符合题意；
D、∵AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，根据SSS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解题的关键．
3．【答案】A
【分析】根据垂直定义可得：∠ABC＝∠ABD＝90°，然后根据直角三角形全等的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠ABC＝∠ABD＝90°，
A、∵∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，
∴△ABC和△ABD不一定全等，
故A符合题意；
B、∵∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，∠ACB＝∠ADB，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
故B不符合题意；
C、∵∠ABC＝∠ABD＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故C不符合题意；
D、∵∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，BC＝BD，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．【答案】A
【分析】根据平行的性质求得内错角相等，根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，即可得出BD的长．
【解答】解：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝5cm，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．【答案】D
【分析】由全等三角形的性质即可判断．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AB＝AE，AC＝AF，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠AFE，∠CAB＝∠FAE，
∴∠AFC＝∠AFE，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．【答案】C
【分析】根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可．
【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7．【答案】C
【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定方法，可以解答本题．
【解答】解：当AB＝6，∠C＝60°，∠B＝40°时，根据AAS，可以得到△ABC是确定的，故选项A不符合题意；
当AB＝5，BC＝3，∠C＝90°时，根据HL，可以得到△ABC是确定的，故选项B不符合题意；
当∠C＝60°，∠B＝70°，∠A＝50°时，无法确定△ABC，故选项C符合题意；
当AB＝7，BC＝5，AC＝10°时，根据SSS，可以得到△ABC是确定的，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
8．【答案】B
【分析】①△ABD和△ACD是等底同高的两个三角形，其面积相等；
②注意区分中线与角平分线的性质；
③由全等三角形的判定定理SAS证得结论正确；
④由③中的全等三角形的性质得到．
【解答】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等；
故①正确；
②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD不是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②不一定正确；
③∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS）．
∴∠CED＝∠BFD，
∴BF∥CE；
故③一定正确．
④∵△BDF≌△CDE（SAS）．
∴CE＝BF，故④错误；
综上所述，正确的结论是：①③，共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，解题的关键是证明△BDF≌△CDE．
9．【答案】C
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴∠DBC＝∠ACB，
A、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
10．【答案】C
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出∠B＝∠ACE，由AB＝AC可得∠B＝∠ACB，结合CE∥AB即可求出∠B＝60°，进而得出△ABC，△ADE是等边三角形，再根据三角形的内角和即可解答．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACE＝∠ACB，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠ACB+ACE＝180°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC，△ADE是等边三角形，
∴∠ADO＝∠BAC＝60°，
∵∠BAD＝20°，
∴∠DAO＝40°，
∴∠COE＝∠AOD＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】AC＝DF（或BC＝EF或CE＝FB或∠A＝∠D或∠C＝∠F或AC∥DF）．答案不唯一
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∵AB＝DE，
∴当添加AC＝DF时，Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
当添加BC＝EF（或CE＝FB）时，△ABC≌△DEF（SAS），
当添加∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（ASA），
当添加∠C＝∠F（或AC∥DF）时，△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：AC＝DF（或BC＝EF或CE＝FB或∠A＝∠D或∠C＝∠F或AC∥DF）．答案不唯一
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】判定全等三角形时需要添加什么条件，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边．
【解答】解：①添加∠ABD＝∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②添加AD＝CD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．
13．【答案】BC＝EF或∠A＝∠D．
【分析】要使△ABC≌△FED，已知，AC＝FD，AB＝DE，具备了两边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法进行解答即可．
【解答】解：可添加BC＝EF，利用SSS得到△ABC≌△DBF；
可添加∠A＝∠D，利用SAS得到△ABC≌△DBF；
故答案为：BC＝EF或∠A＝∠D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．注意本题答案不唯一．
14．【答案】50°．
【分析】延长CA到O，使得AO＝AB，连接OE，求出∠BAE＝∠OAE＝105°，证明△AOE≌△ABE，然后根据角度关系求得3∠B+30°＝180°求出∠B的度数即可．
【解答】解：延长CA到O，使得AO＝AB，连接OE，
∵∠BAC＝30°，∠CAE＝75°，
∴∠BAE＝75°+30°＝105°，∠OAE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠BAE＝∠OAE，
在△AOE和△ABE中，
，
∴△AOE≌△ABE（SAS），
∴∠B＝∠O，
∵CE＝BA+AC，
∴CE＝AO+AC＝OC，
∴∠O＝∠CEO，
∴∠OCE+∠O+∠OEC＝∠B+∠BAC+∠B+∠B＝180°，
故3∠B+30°＝180°，
∴∠B＝50°，
故答案为：50°
【点评】此题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握作辅助线和掌握各性质定义．
15．【答案】①③④．
【分析】连接OB，由AB＝AC，∠BAC＝120°，求得∠ABC＝∠ACB＝30°，由AD⊥BC，证明AD垂直平分BC，则OB＝OC，而OP＝OC，所以OB＝OP，则∠APO＝∠ABO，可证明△ABO≌△ACO，得∠ABO＝∠ACO，所以∠APO＝∠ACO，可判断①正确；由∠APO+∠DCO＝∠ACO+∠DCO＝∠ACB＝30°，可判断②错误；在AC上截取AI＝AP，连接PI，设AC交OP于点L，则∠PAC＝∠ABC+∠ACB＝60°，所以△PAI是等边三角形，则PI＝PA，∠API＝60°，由OP＝OC，∠POC＝∠PAC＝60°，证明△POC是等边三角形，所以PO＝PC，∠OPC＝60°，可判断④正确；再证明△IPC≌△APO，得IC＝AO，则AC＝IC+AI＝AO+AP，可判断③正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣120°）＝30°，
∵点D是线段BC上一点，∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴OB＝OC，
∵OP＝OC，
∴OB＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∴∠APO＝∠ACO，
故①正确；
∵∠APO+∠DCO＝∠ACO+∠DCO＝∠ACB，∠ACB＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°≠40°，
故②错误；
在AC上截取AI＝AP，连接PI，设AC交OP于点L，
∵∠PAC＝∠ABC+∠ACB＝60°，
∴△PAI是等边三角形，
∴PI＝PA，∠API＝60°，
∵OP＝OC，∠POC＝∠PLC﹣∠ACO＝∠PLC﹣∠APO＝∠PAC＝60°，
∴△POC是等边三角形，
∴PO＝PC，∠OPC＝60°，
故④正确；
∴∠IPC＝∠APO＝60﹣∠OPI，
在△IPC和△APO中，
，
∴△IPC≌△APO（SAS），
∴IC＝AO，
∴AC＝IC+AI＝AO+AP，
故③正确，
故答案为：①③④．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．【答案】4．
【分析】由AB∥DE，得∠B＝∠CDE，而∠ACB＝∠CDE，AC＝CE，即可根据“AAS”证明△ABC≌△CDE，得BC＝DE＝6，AB＝CD，因为BD＝2，所以AB＝CD＝BC﹣BD＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠CDE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE＝6，AB＝CD，
∵BD＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，
∴AB＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△CDE是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】见解析过程．
【分析】由“SAS”可证△ADC≌△CBA，可得结论．
【解答】证明：∵AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SAS），
∴∠ABC＝∠CDA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△DCE即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA）；
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
又∵EF⊥BC，
∴F为BC边的中点 （三线合一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19．【答案】7cm．
【分析】证△EBD≌△CBD（SAS），得DE＝CD，则△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE，即可得出答案．
【解答】解：∵BE＝AB﹣AE＝8﹣2＝6（cm），BC＝6cm，
∴BE＝BC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（SAS），
∴DE＝CD，
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形周长等知识，证明△EBD≌△CBD是解题的关键．
20．【答案】（1）见解析；
（2）3．
【分析】（1）由题意得出∠C＝∠EAD，再根据SAS即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠CBE＝∠CAD，∠CBE＝∠C+∠CAE，∠CAD＝∠CAE+∠EAD，
∴∠C＝∠EAD，
在△ABC 和△EDA中，
，
∴△ABC≌△EDA（SAS）；
（2）解：∵AE＝8，BE＝5，
∴AB＝AE﹣BE＝8﹣5＝3，
∵△ABC≌△EDA，
∴DE＝AB＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）115°或100°．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）分三种情况讨论：①当DA＝DE时，②当AD＝AE时，③当EA＝ED时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∠ADE＝∠B，∠BAD+∠B＝∠ADC，∠CDE+∠ADE＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠CDE；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DC＝AB，∠BAD＝∠CDE；
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS）；
（3）解：∵∠B＝∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
分三种情况讨论：
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADE＝∠B＝50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°，
∴∠DAE＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣65°＝15°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣15°＝115°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意．
③当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣50°＝30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23．【答案】证明见解答过程．
【分析】根据线段和差求出BC＝ED，根据平行线的性质求出∠ACB＝∠FDE，∠B＝∠E，利用ASA证明△ABC≌△FED，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵BD＝CE，
∴BD+CD＝CE+CD，
即BC＝ED，
∵AC∥DF，AB∥EF，
∴∠ACB＝∠FDE，∠B＝∠E，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（ASA），
∴AB＝EF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△FED是解题的关键．
24．【答案】证明见解析．
【分析】由等腰三角形性质得到∠ACB＝∠DEF，由BE＝CF，得到BC＝FE，而∠A＝∠D．由AAS即可证明△ABC≌△DFE（AAS）．
【解答】证明：∵OE＝OC，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判断方法：AAS．
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