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轴对称及其性质
一．选择题（共10小题）
1．如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A、C重合）．若点C落在AB边下方的点E处，则△ADE的周长p的取值范围是（　　）
A．7＜p＜10 B．5＜p＜10 C．5＜p＜7 D．7＜p＜19
2．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．如图，点A是∠MON内一点，点E，F分别是点A关于OM，ON的对称点，连接EF交OM，ON于点B，C，连接AB，AC．已知EF＝18，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
4．如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，点D为BC上一点，点P、Q分别是点D关于AB、AC的对称点，则PQ的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
6．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
8．如图，点D是△ABC的边BC上一点，将△ADC沿AD翻折，点C落在点E处，AE与BC相交于点F，若EF＝3，CF＝17，AF＝AD，则FD的长是（　　）
A．8 B．8.5 C． D．
9．如图，将四边形纸片ABCD沿着过点A的直线翻折，使得点B的对应点E落在边CD上，折痕为AP，再将△PCE、△ADE分别沿PE、AE翻折，此时，点C、点D的对应点落在AP上同一点F处，那么下列各角中一定是直角的是（　　）
A．∠B B．∠C C．∠D D．∠EFP
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°α
二．填空题（共6小题）
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，，在BC上方做射线BD，且∠CBD＝10°，若P为BD上的一个动点，则|PA﹣PC|的最大值为 　 　．
12．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得PA+PB最小．解决方法是：作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB，连结A′B，则线段A′B的长度即为PA+PB的最小值，这样做依据的基本事实是 　 　．
13．如图，∠AOB＝15°，点P是OA上一点，点Q与点P关于OB对称，QM⊥OA于点M，若OP＝6，则QM的长为 　 　．
14．如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是 　 　．
15．如图，三角形纸片ABC，AB＝11cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为　 　cm．
16．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A＝60°，AC＝1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPD，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，进行如下操作：
（1）如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
（2）如图2，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝3，BC＝4，求CD的长．
18．已知点A，点B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，请在直线l上作出点P，使得PA+PB的值最小．（不写作法，保留作图痕迹．）
20．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，E为BC上的一点，将纸片沿AE翻折，使点B与CD边上的点F重合．求线段EF的长．
21．（1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C'的位置．
①若∠1＝20°，∠2＝50°，则∠C＝　 　；
②探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置，探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．
22．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求BE的长．
23．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝68°，点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
（1）如图1，当点P落在BC上时，求∠BEP的度数；
（2）如图2，当PF⊥AC时，求∠AEF的度数．
24．在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 　 　；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为 　 　；
操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．
25．如图，设点P是∠AOB内一个定点，分别画点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交于点M，交OB于点N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为多少？
轴对称及其性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】根据翻折变换的性质可得CE＝CD，BE＝BC，然后求出AE，再求出AD+DE＝AC，最后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵折叠这个三角形顶点C落在AB边下方的点E处，
∴DE＝CD，BE＝BC＝6，
∴在△ADE中，AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，AE＜AD+DE，即AE＜5．
在△ABE中，AE＞AB﹣BE，即AE＞2．
所以2＜AE＜5，
∴7＜△AED的周长＜10．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
2．【答案】C
【分析】根据轴对称的性质可得PM＝P1M，PN＝P2N，然后求出△PMN的周长＝P1P2．
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，
∵△PMN的周长是5cm，
∴P1P2＝5cm．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
3．【答案】B
【分析】由轴对称的性质得到OM垂直平分AE，由线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，同理FC＝AC，即可得到△ABC的周长＝BC+AB+AC＝EF＝18．
【解答】解：∵点E，A关于OM对称，
∴OM垂直平分AE，
∴AB＝BE，
同理FC＝AC，
∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝BC+BE+CF＝EF＝18．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质，关键是由轴对称的性质推出AB＝BE，FC＝AC．
4．【答案】B
【分析】连接AP、AD、AQ，由对称性可得AD＝AQ＝AP，所以点D、P、Q在以点A为圆心、以AP为半径的圆上，进而得PQAPAD，所以AD⊥BC时，PQ取得最小值，利用AD＝AB sin 60°，可求PQ．
【解答】解：连接AP、AD、AQ，
∵点D、P关于AB轴对称，
∴AD＝AP，
同理，AD＝AQ，
∴AD＝AQ＝AP，
∴点D、P、Q在以点A为圆心、以AP为半径的圆上，
由对称轴可知：∠PAQ＝2（∠BAD+∠DAC）＝2∠BAC＝90°，
∴△PAQ为等腰直角三角形，
∴PQAPAD，
∵点D在BC上，
∴当AD取得最小值，即AD⊥BC时，PQ取得最小值，
∵当AD⊥BC时，AD＝AB sin 60°，
∴PQ的最小值是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
5．【答案】B
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABCAB CMAC BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABCAB CMAC BC，
∴CM，
即PC+PQ的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
6．【答案】B
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，垂足为点N′，根据“垂线段最短”，即可得CE为CM+MN的值最小，再利用面积公式求出CE的值，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，垂足为点N′，
∵BD平分∠ABC，
∴M′N′＝M′E，
∴CM′+M′N′＝CE，
∴当点M与点M′重合时，CM+MN的值最小，等于CE的值，
∵AB＝4，△ABC的面积为8，
∴，
∴CE＝4，
∴CM+MN的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
7．【答案】C
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
8．【答案】A
【分析】由AF＝AD，得∠AFD＝∠ADF，由翻折得∠C＝∠E，∠CAD＝∠EAD，则∠ADF＝∠C+∠CAD＝∠E+∠EAD，而∠AFD＝∠E+∠EDF，即可推导出∠EDF＝∠EAD，进而证明△EDF∽△EAD，得，因为EF＝3，CF＝17，所以（17﹣FD）2＝3（3+AF），3AF＝FD（17﹣FD），于是得（17﹣FD）2＝9+FD（17﹣FD），求得FD＝8，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AF＝AD，
∴∠AFD＝∠ADF，
由翻折得∠C＝∠E，∠CAD＝∠EAD，
∴∠ADF＝∠C+∠CAD＝∠E+∠EAD，
∵∠AFD＝∠E+∠EDF，
∴∠E+∠EDF＝∠E+∠EAD，
∴∠EDF＝∠EAD，
∵∠E＝∠E，
∴△EDF∽△EAD，
∴，
∴ED2＝EF EA，EF AD＝FD ED，
∵EF＝3，CF＝17，
∴ED＝CD＝17﹣FD，EA＝3+AF，
∴（17﹣FD）2＝3（3+AF），3AF＝FD（17﹣FD），
∴（17﹣FD）2＝9+FD（17﹣FD），
整理得2FD2﹣51FD+280＝0，
解得FD＝8或FD（不符合题意，舍去），
∴FD的长是8，
故选：A．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，证明△EDF∽△EAD是解题的关键．
9．【答案】A
【分析】由折叠得∠B＝∠AEP，∠AEF＝∠AED∠DEF，∠PEF＝∠PEC∠CEF，则∠AEP（∠DEF+∠CEF）＝90°，所以∠B＝90°，于是得到问题的答案．
【解答】解：由折叠得∠B＝∠AEP，∠AEF＝∠AED∠DEF，∠PEF＝∠PEC∠CEF，
∴∠AEP＝∠AEF+∠PEF（∠DEF+∠CEF），
∵∠DEF+∠CEF＝180°，
∴∠AEP＝90°，
∴∠B＝90°，
故选：A．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、角平分线的定义等知识，证明∠AEP（∠DEF+∠CEF）＝90°是解题的关键．
10．【答案】D
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE∠BAD，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°90°＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】
【分析】作点C关于BD的对称点C′，连接BC′，PC′，AC′，从而得出PC′＝PC，∠CBC′＝2∠CBP＝20°，BC′＝BC，进而得出|PA﹣PC|＝|PA﹣PC′|≤AC′，△ABC′是等边三角形，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
作点C关于BD的对称点C′，连接BC′，PC′，AC′，
∴PC′＝PC，∠CBC′＝2∠CBP＝20°，BC′＝BC，
∴|PA﹣PC|＝|PA﹣PC′|≤AC′，
∵AB＝BC，∠ABC＝80°，
∴BC′＝AB，∠ABC′＝60°，
∴△ABC′是等边三角形，
∴AC′＝AB，
∴|PA﹣PC|的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
12．【答案】两点之间，线段最短．
【分析】根据两点之间线段最短即可解决．
【解答】解：作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB，连结A′B，则线段A′B的长度即为PA+PB的最小值，这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，解题的关键是把握 两点之间，线段最短．
13．【答案】3．
【分析】如图，连接OQ．构造特殊直角三角形解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OQ．
∵P与PQ关于OB对称，
∴∠AOB＝∠QOB＝15°，OQ＝OP＝6，
∴∠AOQ＝30°，
∵QM⊥OA，
∴∠OMQ＝90°，
∴QMOQ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB＝BE＝6，那么BD＝EC＝2，即可得到EC、AD的长，由此得解．
【解答】解：由题意知：AB＝BE＝6，BD＝AD﹣AB＝2，AD＝AB﹣BD＝4；
∵CE∥AB，
∴△ECF∽△ADF，
得 ，
即DF＝2CF，
∴CF：FD＝1：2，
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握变换的性质是解决问题的关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠的性质可得出CD＝DE、BE＝BC，结合AB、BC、AC的长度可求出AD+DE、AE的长度，再根据三角形周长公式即可求出结论．
【解答】解：根据折叠可知：CD＝DE、BE＝BC，
∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝6cm，AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝4cm，
∴C△AED＝AD+DE+AE＝6+4＝10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了翻折变换以及三角形的周长，根据折叠的性质结合三角形三边的长度求出AD+DE、AE的长度是解题的关键．
16．【答案】或．
【分析】分两种情形：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．如图2中，当PD⊥BC于点J时，分别求出PB，可得结论．
【解答】解：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．
∵∠C＝90°，AC＝1，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2，BCAC，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠B＝30°，DM＝BM，
∵CM＝BM，
∴JMDM，
∴BJ＝BM﹣JM，
∴PB，
∴AP＝AB﹣PB＝2．
如图2中，当PD⊥BC于点J时，同法可得MJ＝JC，
∴BJ，
∴PB，
∴AP＝AB﹣PB＝2．
综上所述，AP的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）CD；
（2）CD．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB＝5，由折叠可知：AD＝BD，然后利用勾股定理即可求出CD的长；
（2）由折叠可知：AE＝AC＝3，CD＝ED，然后利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
由折叠可知：AD＝BD，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，
∴（BC﹣CD）2＝CD2+AC2，
∴（4﹣CD）2＝CD2+32，
∴CD；
（2）如图2，由折叠可知：AE＝AC＝3，CD＝ED，
∵BC＝4，
∴AB5，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，
∵BD＝BC﹣CD＝4﹣CD，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2＝ED2+BE2，
∴（4﹣CD）2＝CD2+32，
∴CD．
【点评】本题考查翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
18．【答案】作图见解析．
【分析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，连接BP，则点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称求最短距离，正确画出图形是解题关键．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】作A点关于直线l的对称点A′；连接A′B交直线l于点P，点P就是所选择的位置．
【解答】解：如图所示，点P即为所求．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，关键是正确找出P点的位置．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠的性质知AB＝AF＝10cm，可在Rt△ADF中根据勾股定理求出DF的长，进而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根据折叠的性质知BE＝EF，可用EF表示出CE，进而由勾股定理求出EF的长．
【解答】解：根据折叠的性质知：∠ABE＝∠AFE＝90°，AB＝AF＝10cm，EF＝BE，
Rt△ADF中，AF＝10cm，AD＝8cm，
由勾股定理得：DF＝6cm，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣6＝4cm，
在Rt△CEF中，CE＝BC﹣BE＝BC﹣EF＝8﹣EF，
由勾股定理得：EF2＝CF2+CE2，即EF2＝42+（8﹣EF）2，
解得：EF＝5cm．
【点评】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理，找准对应边是关键．
21．【答案】（1）35°；
（2）∠1+∠2＝2∠C．理由见解析；
（3）2∠C＝∠2﹣∠1．理由见解析．
【分析】（1）①根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合三角形内角和定理，求解∠C；
②由①的方法可得出答案；
（2）利用（1）的结论即可求出答案；
【解答】解：（1）①由折叠性质可知：∠CED＝∠C′ED，∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1+∠2＝70°，
∴∠CED+∠CDE（360°﹣70°）＝145°，
∴∠C＝35°；
故答案为：35°．
②∠1+∠2＝2∠C，
理由：∵∠CED+∠CDE（360°﹣∠1﹣∠2）＝180°（∠1+∠2），
∴∠C＝180°﹣（∠CED+∠CDE）（∠1+∠2），
即∠1+∠2＝2∠C；
（2）2∠C＝∠2﹣∠1．
理由：∵∠CEC′＝180°+∠1，∠2+∠CDC′＝180°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠2，
在四边形CEC′D中，∠C+∠CEC′+∠C′+∠CDC′＝360°，
∠C+180°+∠1+∠C′+180°﹣∠2＝360°，
∴∠C＝∠C′，
∴2∠C＝∠2﹣∠1．
【点评】本题考查多边形内角和和外角和，三角形内角和定理，图形折叠的性质；能够根据折叠的特点，找到角之间的等量关系，是解题的关键．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据折叠可得BE＝ED，由AD＝9cm可得AE＝9﹣ED＝9﹣EB，再在直角△ABE中利用勾股定理计算出EB长即可．
【解答】解：由折叠可得BE＝ED，
∵AD＝9cm，
∴AE＝9﹣ED＝9﹣EB，
在Rt△ABE中，AE2+AB2＝EB2，
∴（9﹣EB）2+32＝EB2，
解得：EB＝5．
【点评】此题主要考查了翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准翻折后对应相等的线段．
23．【答案】（1）96°；
（2）65°．
【分析】（1）证明BE＝EP，可得∠B＝∠EPB＝42°，从而得到∠AEP＝∠B+∠EPB＝42°+42°＝84°，即可求解；
（2）根据折叠的性质求出∠AFE＝45°，根据三角形的内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF、∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP．
【解答】解：（1）∵△AEF沿EF折叠得到△PEF，
∴△AEF≌△PEF，
∴AE＝PE，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE＝PE，
∴BE＝EP，
∴∠B＝∠EPB＝42°，
∴∠BEP＝180°﹣∠B﹣∠EPB＝180°﹣42°﹣42°＝96°；
（2）由（1）得△AEF≌△PEF，
又∵PF⊥AC，
∴∠AFP＝90°，
∴∠AFE＝∠PFEAFP＝45°，
∵∠B＝42°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
在△AEF中，∠AEF＝∠PEF＝180°﹣∠BAC﹣∠AFE＝65°．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD＝AD，于是AD+DC＝BC，从而可知△ACD的周长＝BC+AC；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，由翻折的性质可知∠CBA＝2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x＝90°．
操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE＝DA，最后根据BE＝AB﹣DE﹣AD计算即可．
【解答】解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD＝AD，
∴AD+DC＝BC＝7．
∴△ACD的周长＝CD+AD+AC＝BC+AC＝7+5＝12cm．
故答案为：12cm．
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x．
由翻折的性质可知：∠BAD＝∠CBA＝2x，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴x+2x+2x＝90°．
解得；x＝18°．
∴2x＝2×18°＝36°．
∴∠B＝36°．
故答案为：36°．
操作二：在Rt△ABC中，AC6．
由翻折的性质可知：ED＝AD，DC⊥AB．
∵，
∴10CD＝6×8．
∴CD＝4.8．
在Rt△ADC中，AD3.6．
∴EA＝3.6×2＝7.2．
∴BE＝10﹣7.2＝2.8．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】因为点P关于OA、OB的对称点P1、P2，所以：PM＝MP1，PN＝NP2，以此解答．
【解答】解：△PMN的周长为P1P2的长，
根据题意得：PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长为：PM+PN+MN＝P1M+MN+P2N＝P1P2＝5cm．
【点评】解答此题要明确轴对称的性质：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
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