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北京市通州区2024-2025学年高一年级下学期期末考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部是 B．
C． D．在复平面内，复数对应的点在第二象限
3．已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（ ）
A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4
4．一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ）
A．31 B．33 C．34 D．35
5．某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ）
A．20 B．30 C．50 D．60
6．已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
7．已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（ ）
①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形
②鳖臑的四个面均为直角三角形
③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍
④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．已知复数的共轭复数为，则 .
12．天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
13．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm，则该圆柱的侧面积为 cm2；该陀螺的体积为 cm3.
14．在中，，，点在线段上，若，则 ；若，当取得最小值时， .
15．如图1，正方形中，，为的中点，，.将沿翻折到，沿翻折到，连接，如图2.给出下列四个结论：
①平面平面；
②当时，三棱锥的体积为；
③设二面角的平面角为，当时，；
④设直线与平面所成角为，当时，则.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点.
(1)平面；
(2)平面.
17．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)若，，求及的值；
(2)若，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.
(1)求图中的值；
(2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团.
（ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数；
（ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率.
19．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，.
(1)求证：；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
20．如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为.
(1)求证：平面平面；
(2)若，恰为二面角的平面角，求的面积.
21．在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且.
(1)当时，
（ⅰ）求角的度数；
（ⅱ）若，，求的值；
(2)若，且，，求的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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