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2.2.4.1均值不等式
一、选择题
1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使≥2成立的条件有(　　)
A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s3．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝(　　)
A．28 B．32
C．36 D．40
4．若a>0，b>0，则“ab≤4”是“a＋b≤4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(多选)下列说法正确的有(　　)
A． x∈R，x＋>2
B．若正实数x，y满足2x＋y＝1，则的最大值为
C．若a，b均为正实数，则a＋的最小值为2
D．若正实数x，y满足x2＋y2＝1＋xy，则16．数学里有一种证明方法叫做无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．在同一平面内有形状、大小相同的图①和图②，其中四边形ABCD为矩形，三角形BCE为等腰直角三角形，设AB＝，BC＝(a>0，b>0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是(　　)
A．(a>0，b>0)
B．(a>0，b>0)
C．(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
7．(多选)若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．> B．≥1
C．≥2 D．
二、填空题
8．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
9．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
10．下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1．其中正确的个数是________．
11．已知x＞0，y＞0，且满足＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．
12．已知正实数a，b，c不全相等，且abc＝1，设p＝，q＝，则p与q的大小关系是________．
三、解答题
13．已知a，b，c为正数，求证：≥3．
14．已知a，b，c都是非负实数，试比较与(a＋b＋c)的大小．
15．已知a，b都是正数，运用均值不等式知识比较的大小关系．
答案解析
1．C　[当均为正数时，≥2，
故只需a、b同号即可，
∴①③④均可以．]
2．A　[∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，
∴a＋2b≤a＋b2＋1．∴t≤s．]
3．C　[4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36．]
4．B　[因为a>0，b>0，取a＝4，b＝1，则满足ab≤4，但是a＋b＝5>4，
所以“ab≤4”不能推出“a＋b≤4”；
反过来，因为2≤a＋b，所以当a＋b≤4时，有2≤4，即ab≤4．
综上可知，“ab≤4”是“a＋b≤4”的必要不充分条件．故选B．]
5．BCD　[对于A，当x<0时，x＋<0，即 x∈R，x＋>2是错误的，A不正确；
对于B，因为正实数x，y满足2x＋y＝1，则＝＝＝，当且仅当2x＝y＝时取“＝”，即的最大值为，B正确；
对于C，因为a，b均为正实数，则a＋＋2＝≥2＝2，当且仅当＝且＝，即a＝2b＝4时取“＝”，所以当a＝4，b＝2时，a＋取最小值2，C正确；
对于D，x，y为正实数，2xy≤x2＋y2＝1＋xy，当且仅当x＝y＝1时取“＝”，则有06．A　[由四边形ABCD为矩形，三角形BCE为等腰直角三角形，可推出三角形ABF也为等腰直角三角形，
所以题图①的阴影部分面积S1＝S△ABF＋S△BCE＝＝，
题图②阴影部分的面积S2＝S矩形ABCD＝＝．由两图阴影部分面积关系直观得出S1≥S2，即，当且仅当a＝b时，等号成立．故选A．]
7．BD　[因为a>0，b>0，a＋b＝4，
所以0a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，所以，a＝b＝2时取等号，D正确．]
8．　[∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝．]
9．x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝＝1＋，
∴x≤．当且仅当a＝b时等号成立．]
10．2　[由均值不等式知②④正确．]
11．3　2　[因为x＞0，y＞0且1＝≥2，所以xy≤3．
当且仅当＝＝，
即x＝，y＝2时取等号．]
12．p∵2，
∴．
同理得．
又a，b，c不全相等，故以上三个不等式中至少有一个等号不成立．
∴<，即<，即p13．证明：　左边＝－1＋－1＋－1
＝－3．
∵a，b，c为正数，
∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)，
≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)，
≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴－3≥3，
即≥3．
14．解：　由，
得(a＋b)．
同理得(b＋c)，
(a＋c)．
所以[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)．
故(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
15．解：　因为≥2，
所以，即．
又因为＝＝，所以．
又由均值不等式得，
故(当且仅当a＝b时，等号成立)．
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