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3.1.1.1函数的概念
一、选择题
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中的每一个值都有定义域中的至少一个值与它对应
B．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集
C．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了
D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
2．(多选)下列各图是函数图象的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
3．已知集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2－1}，则A∩B＝(　　)
A． 　　　　　　 B．{(0，－1)，(1，0)}
C．[－1，＋∞) D．{0，1}
4．与函数y＝为同一函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝－ D．y＝x2
5．函数f (x)的定义域A＝{x∈Z|0≤x≤3}，则f (x)＝＋6x的值域为(　　)
A． B．
C． D．{0，4}
6．(多选)记无理数e＝2.718 281 828 459 045…小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记作m＝f (n)，其定义域为A，值域为B，则(　　)
A．f (5)＝8
B．函数f (n)的图象是一群孤立的点
C．n是关于m的函数
D．B A
7．(多选)给定集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成定义在集合M上的函数的是(　　)
A．“求倒数” B．“加上1”
C．“求绝对值” D．“求平方”
二、填空题
8．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数，其解析式可以为________．
9．已知函数f (x)＝，又知f (t)＝6，则t＝________．
10．函数y＝的值域是________．
11．已知函数y＝f (x＋1)的定义域为[1，2]，则函数y＝f (2x－1)的定义域为________．
12．函数f (x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f (x) 1 3 1
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f (g(1))的值为________；满足f (g(x))>g(f (x))的x的值是________．
三、解答题
13．(源自苏教版教材)判断下列对应是否为函数：
(1)x→，x≠0，x∈R；
(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；
(3)当x为有理数时，x→1；当x为无理数时，x→0．
14．(源自人教A版教材)已知函数f (x)＝．
(1)求函数的定义域；
(2)求f (－3)，f的值；
(3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值．
15．已知函数f (x)＝．
(1)求f (2)与f，f (3)与f．
(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x)与f有什么关系？证明你的发现．
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 024)＋f＋f＋…＋f的值．
答案解析
1．ACD　[根据函数的概念可判断，A，C，D是正确的．对于B，如函数y＝1，值域是{1}，是有限集．]
2．BD　[根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有一个y和它对应，满足条件的只有BD．]
3．C　[A＝{x|y＝x－1}，所以A＝R，由y＝x2－1≥－1，得B＝{y|y＝x2－1}＝[－1，＋∞)，
则A∩B＝[－1，＋∞)．]
4．B　[函数y＝的定义域为(－∞，0]，而y＝－的定义域为[0，＋∞)，y＝x2的定义域为(－∞，0)，因而排除C、D．又y＝x中，x≤0，∴y≤0，即值域为(－∞，0]，这与函数y＝的值域不同，∴排除A．
故选B．]
5．D　[因为定义域A＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}，所以f (0)＝f (3)＝0，f (1)＝f (2)＝4，故f (x)的值域为{0，4}．]
6．AB　[根据函数的定义可知，定义域A＝N*，
对应关系：数位n对应数字7，1，8，2，8，1，8，2，8，…，
f (5)＝8，函数f (n)的图象是一群孤立的点，故A，B正确；
对于C，n不是关于m的函数，如m＝8时，n可能为3，5，7，9，不符合函数的定义，故C错误；因为0∈B，0 A，所以D错误．故选AB．]
7．CD　[在A中，y＝，
当x＝－1时，y＝＝－1 N，错误；
在B中，y＝x＋1，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，错误；
在C中，y＝|x|，满足函数定义，正确；
在D中，y＝x2满足函数定义，正确．]
8．y＝(x＋1)2(答案不唯一)　[y＝x2的定义域、值域均为R，写出的函数其定义域、值域均为R的都可以．]
9．－　[由f (t)＝6，得＝6，即t＝－．]
10．(0，8]　[通过配方可得函数y＝
＝，∵(x－2)2＋1≥1，
∴0＜≤8，故0＜y≤8．
故函数y＝的值域为(0，8]．]
11．　[∵函数y＝f (x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，可得2≤x＋1≤3，
∴函数y＝f (x)的定义域为[2，3]，令2≤2x－1≤3，解得≤x≤2，
故函数y＝f (2x－1)的定义域为．]
12．1　2　[∵g(1)＝3，f (3)＝1，
∴f (g(1))＝1．
当x＝1时，f (g(1))＝f (3)＝1，
g(f (1))＝g(1)＝3，
f (g(x))当x＝2时，f (g(2))＝f (2)＝3，
g(f (2))＝g(3)＝1，
f (g(x))>g(f (x))，符合题意；
当x＝3时，f (g(3))＝f (1)＝1，
g(f (3))＝g(1)＝3，
f (g(x))故满足f (g(x))＞g(f (x))的x的值为2．]
13．解：　(1)对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当x≠0时x→是函数，这个函数也可以表示为f (x)＝(x≠0)．
(2)考虑输入值为4，即当x＝4时输出值y由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2．这里一个输入值与两个输出值对应，所以，x→y(y2＝x，x∈N，y∈R)不是函数．
(3)由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应．因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为y＝
14．解：　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}．所以，这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}，
即[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)将－3与代入解析式，有
f (－3)＝＝－1；
f＝＝＝．
(3)因为a>0，所以f (a)，f (a－1)有意义．
f (a)＝；
f (a－1)＝＝．
15．解：　(1)∵f (x)＝，
∴f (2)＝＝，
f＝＝，
f (3)＝＝，
f＝＝．
(2)由(1)发现f (x)＋f＝1．证明如下：
f (x)＋f＝＝＝1．
(3)f (1)＝＝，
由(2)知f (2) ＋ f＝1，
f (3)＋f＝1，…，
f (2 024) ＋ f＝1，
∴原式＝＋1＋…＋1＝＋1×2 023＝．
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