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3.1.1.2函数的表示方法
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　　)
　
A　　　　　B　　　　C　　　　D
2．已知函数f (x)＝则f (3)的值是(　　)
A．1 B．2　　　　
C．8 D．9
3．已知函数f＝－2，则f (x)的解析式为(　　)
A．f (x)＝x2－2x－1
B．f (x)＝x2－2(x≠0)
C．f (x)＝x2－2x－3(x≠1)
D．f (x)＝x2－2x－1(x≠1)
4．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)
A．f (x)＝x2－1
B．f (x)＝－(x－1)2＋1
C．f (x)＝(x－1)2＋1
D．f (x)＝(x－1)2－1
5．(多选)已知函数f (x)＝满足f (f (a))＝－1的a的值有(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．－2
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．(0，4]　　 B．
C． D．
7．(多选)以下判断中正确的是(　　)
A．f (x)＝与g(x)＝ 表示同一函数
B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．函数f (x)＝x2＋2＋的最小值为2
D．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f＝1
二、填空题
8．设函数f (x)＝若f (m)＞m，则实数m的取值范围是________．
9．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
10．下面叙述了两件事：
(1)小张驾车离开旅馆，在加油站加油时发现公文包遗留在旅馆房间里，于是返回旅馆取了公文包再驾车离开．
(2)小张驾车离开旅馆，一路匀速行驶，只在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．
小张离开旅馆的距离与时间的函数关系可用图象法表示，请在图中选择与事件相吻合的图象．
则(1)与图________吻合，(2)与图________吻合．
11．若函数f (x)满足f (x＋3)＝，则f (x)在[1，＋∞)上的值域为________；若f (f (x))＝，则实数x的值为________．
12．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
三、解答题
13．(源自人教A版教材)某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f (x)．
14．(1)已知f (x2＋2)＝x4＋4x2，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x－1，求f (x)的解析式．
15．设函数f (x)＝
(1)请在下列直角坐标系中画出函数f (x)的图象．
(2)根据(1)的图象，试分别写出函数f (x)与函数y＝t的图象有2，3，4个交点时，相应的实数t的取值范围．
(3)记函数g(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使g(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数g(x)图象上的不动点．试问：函数f (x)图象上是否存在不动点？若存在，求出不动点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
1．A　[因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A选项比较适合题意．]
2．A　[f (3)＝3－2＝1．故选A．]
3．D　[令t＝，可得x＝(t≠1)．所以f (t)＝(t－1)2－2＝t2－2t－1(t≠1)，
因此f (x)的解析式为f (x)＝x2－2x－1(x≠1)．
故选D．]
4．D　[由题意设f (x)＝a(x－1)2＋b(a>0)，由于点(0，0)在图象上，
所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是D．]
5．AD　[设t＝f (a)，则f (t)＝－1．
若t>0，则－t2＝－1，解得t＝1或t＝－1(舍去)，所以f (a)＝1，当a>0时，－a2＝1，方程无解；当a≤0时，a2＋2a＋1＝1，解得a＝0或a＝－2，满足条件．
若t≤0，则t2＋2t＋1＝－1，即t2＋2t＋2＝0，
Δ＝22－4×2＝－4<0，方程无解．故选AD．]
6．C　[因为y＝x2－3x－4＝－，所以对称轴为直线x＝，当x＝时，y＝－．
因为x＝0时，y＝－4，
由二次函数图象可知
解得≤m≤3，所以m的取值范围是．]
7．BD　[A选项，f (x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
而g(x)＝ 定义域为R，故两者不是同一函数，A错误；
B选项，根据函数定义，可知y＝f (x)的图象与直线x＝1可以无交点，也可以有1个交点，故函数y＝f (x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，B正确；
C选项，由均值不等式得f (x)＝x2＋2＋≥2＝2，
当且仅当x2＋2＝时，等号成立，但x2＋2＝无解，故等号取不到，
所以f (x)＝x2＋2＋的最小值不为2，C错误；
D选项，f (x)＝|x－1|－|x|，
则f＝＝0，
故f＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1，D正确．故选BD．]
8．(－∞，－1)　[由题意，得或
解得m＜－1．]
9．y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)　[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0．]
10．③　②
11．(1，2]　1　[因为f (x＋3)＝＝1＋，
所以f (x)＝1＋．
当x≥1时，1所以f (x)在[1，＋∞)上的值域为(1，2]，
因为f (f (x))＝，
所以f (x)＝2，
即1＋＝2，
所以x＝1．]
12．－　[在同一平面直角坐标系内，
作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－．]
13．解：　这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．
用解析法可将函数y＝f (x)表示为
y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
用列表法可将函数y＝f (x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y＝f (x)表示为
14．解：　(1)因为f (x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，
则f (t)＝t2－4(t≥2)，
所以f (x)＝x2－4(x≥2)．
(2)因为f (x)是一次函数，
所以设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b．
又因为f (f (x))＝4x－1，
所以a2x＋ab＋b＝4x－1．
所以
解得或
所以f (x)＝2x－或f (x)＝－2x＋1．
15．解：　(1)函数f (x)的图象如图：
(2)根据图象可知当－22时，
f (x)与y＝t有2个交点；
当t＝1或t＝2时，f (x)与y＝t有3个交点；
当1(3)若f (x)图象上存在不动点，
则f (x)＝x有解，则y＝f (x)与y＝x有交点．
由图象可知：
若－1≤x≤2，则－x2＋2＝x，
解得x＝1(舍去x＝－2)，即不动点为(1，1)；
若x>2，则3x－8＝x，
解得x＝4，即不动点为(4，4)．
综上，函数f (x)图象上存在不动点(1，1)，(4，4)．
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