资源简介

12.2 一次函数的图象重点题型梳理
知识点1：一次函数
概念 形如（常数，）的函数，叫做一次函数（特别地，当时，是正比例函数）
的作用 的符号函数增减性或图象的倾斜方向；直线的倾斜程度
的作用 的符号直线与轴交点的位置
图象
经过的象限
一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性 随的增大而增大 随的增大而减小
与坐标轴的交点 令，求对应的值，与轴的交点坐标为；令，求对应的值，与轴的交点坐标为
【题型1 辨别一次函数】
【例1】（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】（23-24八年级·上海·课后作业）有下列函数：①； ②； ③； ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有 ，是一次函数的有 （填代号即可）.
【变式1-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-3】（23-24八年级·甘肃兰州·期中）已知．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
知识点2：待定系数法求一次函数解析式
待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式
常见类型 （1）两点型：直接运动待定系数法求解； （2）平移型：由平移前后不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】
【例2】（23-24八年级·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，求函数的解析式．
【变式2-1】（23-24八年级·北京房山·期中）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 1 5
y 15 17 25
（1）写出y与x的函数表达式： ；
（2）当弹簧长度为时，则所挂物体质量为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，则kb的值为 ．
【变式2-3】（2024·四川德阳·模拟预测）在一次数学探索活动中，老师带领同学们研究了一次函数的系数k，b与图象的关系．为了更直观地理解这一关系，老师给出了直角坐标系中的三个特殊点：,．老师要求同学们尝试画出经过这三个点中任意两个点的一次函数图象．同学们通过计算得到了三个一次函数的表达式：．接着，老师提出了一个有趣的问题：分别探究的值，则其中最大的值等于 ．
【题型3 求一次函数图象上的点的坐标】
【例3】（2024·天津南开·三模）直线与x轴交点为 ．
【变式3-1】（23-24八年级·吉林·期末）正比例函数的图象经过，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·单元测试）直线在轴上的截距是 ．
【变式3-3】（23-24八年级·江苏连云港·期中）点在正比例函数的图象上，若，则的值是（ ）
A．15 B．8 C． D．
【题型4 画一次函数的图象】
【例4】（23-24八年级·河南·阶段练习）已知一次函数．
(1)自变量的取值范围是_________；
(2)将下面列表表示的部分数值补充完整；
…… 0 1 2 ……
…… 3 1.5 ……
(3)在下图中画出该函数的图象；

(4)该图象与轴的交点坐标是_________．
【变式4-1】（23-24八年级·广西南宁·期中）已知一次函数的图像直线如图所示

(1)在图中的坐标系中画出一次函数的图像直线（要求：先列表，再描点，最后连线）；
… …
… …
(2)设直线与x轴相交于点A，直线与x轴相交于点B，直线与相交于点C，求的面积．
【变式4-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：
供水时间 0 1 2 3 4 5 6 …
水位读数 2 …

(1)建立平面直角坐标系，如图，横轴表示观察时间，纵坐标表示水位读数，描出以表中的数据为坐标的各点．判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请连接各点，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
(2)若观察时间为，水位读数为多少？
(3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？
【变式4-3】（23-24八年级·宁夏固原·期中） 已知一次函数 的图象经过点 ；
(1)求k的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)若将此函数的图象向上平移3个单位后与坐标轴围成一个三角形，求这个三角形的面积．
知识点3：一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 （1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”； （2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到
向上平移个单位
向下平移个单位
向左平移个单位
向右平移个单位
【题型5 一次函数图象的平移问题】
【例5】（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ．
【变式5-1】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
【变式5-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．

【题型6 判断一次函数的图象】
【例6】（23-24八年级·河北保定·期末）若正比例函数的图象经过第二、第四象限，常数和互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数经过点，则该函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（23-24八年级·四川广安·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2024·山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 一次函数与坐标轴的交点问题】
【例7】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知直线的解析式是，直线的解析式是，两直线交于点A，直线交x轴于点B，若的面积为2，则k的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式7-1】（23-24八年级·上海宝山·期中）若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【变式7-2】（23-24八年级·山东潍坊·期末）已知直线（b为常数）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则直线与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【变式7-3】（23-24八年级·安徽安庆·期中）直线与直线分别交轴于，两点，两直线相交于轴上同一点．
（1）
（2）若，点的坐标是
【题型8 从一次函数的图象中获取信息】
【例8】（23-24八年级·上海·阶段练习）直线在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能为（ ）

A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数的大小关系是 ．（填“”、“”或“”）
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁铁岭·阶段练习）若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．y随x的增大而增大 D．时，
【变式8-3】（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图，一次函数的图象与x 轴的交点坐标为 则下列说法正确的有（ ）
①y随x 的增大而增大；
②，；
③关于x 的方程的解为；
④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型9 一次函数中的面积问题】
【例9】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，，且点B在正比例函数的图象上．
(1)求a的值；
(2)求一次函数的解析式；
(3)求的面积．
【变式9-1】（23-24八年级·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
【变式9-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积．
【变式9-3】（23-24八年级·河南商丘·阶段练习）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A且经过点，直线与交于点．
(1)求k，b和m的值；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10 一次函数图象中的规律探究】
【例10】（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ）

A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·山东日照·二模）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为
A．(2n，2n-1) B．(，) C．(2n+1，2n) D．（，）
【变式10-2】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．

【变式10-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
答案详解
【题型1 辨别一次函数】
【例1】（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：①是一次函数；
②不是一次函数；
③是一次函数；
④不是一次函数，
所以一次函数的个数是2个．
故选：C
【变式1-1】（23-24八年级·上海·课后作业）有下列函数：①； ②； ③； ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有 ，是一次函数的有 （填代号即可）.
【答案】 ①③ ①③④⑤.
【详解】解：①是一次函数，也是正比例函数；
②不是一次函数；
③是一次函数，也是正比例函数；
④是一次函数，但不是正比例函数；
⑤是一次函数，但不是正比例函数；
⑥自变量次数是2，故不是一次函数；
故是正比例函数的有①③；是一次函数的有①③④⑤.
故答案为①③；①③④⑤.
【变式1-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【变式1-3】（23-24八年级·甘肃兰州·期中）已知．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
【详解】（1）解：∵是一次函数，
∴，
解得：，
∴，n为任意实数；
（2）解：∵是正比例函数，
∴，
解得：．
知识点2：待定系数法求一次函数解析式
待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式
常见类型 （1）两点型：直接运动待定系数法求解； （2）平移型：由平移前后不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】
【例2】（23-24八年级·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，求函数的解析式．
【详解】解：将、代入得，，
解得，，
∴函数的解析式为．
【变式2-1】（23-24八年级·北京房山·期中）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 1 5
y 15 17 25
（1）写出y与x的函数表达式： ；
（2）当弹簧长度为时，则所挂物体质量为 ．
【详解】解：（1）由表格可得，点都在函数的图象上，
∴，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
故答案为：；
（2）当时，
即，
解得：，
故答案为：3.5．
【变式2-2】（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，则kb的值为 ．
【答案】9或1
【详解】①当x= 3时，y=1；当x=1时，y=9，
则
解得：
所以k+b=9；
②当x= 3时，y=9；当x=1时，y=1，
则
解得：
所以k+b=1.
故答案为9或1.
【变式2-3】（2024·四川德阳·模拟预测）在一次数学探索活动中，老师带领同学们研究了一次函数的系数k，b与图象的关系．为了更直观地理解这一关系，老师给出了直角坐标系中的三个特殊点：,．老师要求同学们尝试画出经过这三个点中任意两个点的一次函数图象．同学们通过计算得到了三个一次函数的表达式：．接着，老师提出了一个有趣的问题：分别探究的值，则其中最大的值等于 ．
【答案】5
【详解】解：设过，则有：
，
解得：，
则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．
故答案为：5．
【题型3 求一次函数图象上的点的坐标】
【例3】（2024·天津南开·三模）直线与x轴交点为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴当时，，
得，
即直线与x轴的交点坐标为：，
故答案为：．
【变式3-1】（23-24八年级·吉林·期末）正比例函数的图象经过，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：把点代入，得：
，
解得：．
故选：A
【变式3-2】（23-24八年级·全国·单元测试）直线在轴上的截距是 ．
【答案】
【详解】解：当时，，
∴直线在y轴上的截距是．
故答案为：．
【变式3-3】（23-24八年级·江苏连云港·期中）点在正比例函数的图象上，若，则的值是（ ）
A．15 B．8 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在正比例函数的图象上，
，
又，
，
故选：A．
【题型4 画一次函数的图象】
【例4】（23-24八年级·河南·阶段练习）已知一次函数．
(1)自变量的取值范围是_________；
(2)将下面列表表示的部分数值补充完整；
…… 0 1 2 ……
…… 3 1.5 ……
(3)在下图中画出该函数的图象；

(4)该图象与轴的交点坐标是_________．
【详解】（1）解：一次函数自变量的取值范围是全体实数．
故答案为：全体实数．
（2）当时，，
当时，，
当时，，
列表补充完整如下：
…… 0 1 2 ……
…… 3 2 1.5 2 ……
（3）该函数的图象如下：

（4）另，则，
解得：，
故该图象与轴的交点坐标是．
故答案为：．
【变式4-1】（23-24八年级·广西南宁·期中）已知一次函数的图像直线如图所示

(1)在图中的坐标系中画出一次函数的图像直线（要求：先列表，再描点，最后连线）；
… …
… …
(2)设直线与x轴相交于点A，直线与x轴相交于点B，直线与相交于点C，求的面积．
【详解】（1）根据题意，列表如下：
… 0 1 …
… 3 0 …
画图如下，

则直线即为所求．
（2）∵直线与x轴相交于点A，直线与x轴相交于点B，直线与相交于点C，
∴，
解得，
∴，
∴．
【变式4-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：
供水时间 0 1 2 3 4 5 6 …
水位读数 2 …

(1)建立平面直角坐标系，如图，横轴表示观察时间，纵坐标表示水位读数，描出以表中的数据为坐标的各点．判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请连接各点，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
(2)若观察时间为，水位读数为多少？
(3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？
【详解】（1）解：描点作图如下：

这些点是在同—条直线上，设它们所在直线表达式为，把代入得∶
，
解得，
∴它们所在直线表达式为；
（2）解：在中，令，得，
∴水位读数为8cm ；
（3）解：在中，令得∶，
解得，
∵本次实验开始记录的时间是上午，
∴水位读数为时是．
【变式4-3】（23-24八年级·宁夏固原·期中） 已知一次函数 的图象经过点 ；
(1)求k的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)若将此函数的图象向上平移3个单位后与坐标轴围成一个三角形，求这个三角形的面积．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点 ，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知，该函数是一次函数：，
令，则；
令，则，
所以该直线经过点，，其图象如图所示：
（3）解：把直线向上平移3个单位长度后，得到，
当时，，则直线与x轴的交点坐标为 ，
当时，，则直线与y轴的交点坐标为；
∴三角形的面积为．
知识点3：一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 （1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”； （2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到
向上平移个单位
向下平移个单位
向左平移个单位
向右平移个单位
【题型5 一次函数图象的平移问题】
【例5】（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ．
【详解】解：由题意得：，则，
当直线过点时，，
解得：，
，
解得．
当直线过点时，
，
解得：，
，
解得．
故若与线段有公共点，的取值范围是：，
故答案为：．
【变式5-1】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
【答案】B
【详解】根据抛物线平移变化的规律“左加右减，上加下减”知先向上平移n个单位长度，得，
再向右平移m个单位长度，得
即
，
，
故抛物线先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度．
故选B．
【变式5-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 ．
【答案】
【详解】设直线的解析式为,
∵直线经过点，
∴,
解得：，
∴直线的解析式为,
直线向上平移2个单位，得到一次函数的表达式为．
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．

【答案】
【详解】
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴一次函数表达式为，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为，
由直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线，
∴直线的函数表达式为，
∵，且点位于轴的正半轴，
∴点的坐标为，
∵直线恰好经过点，
∴，解得，
故答案为：．
【题型6 判断一次函数的图象】
【例6】（23-24八年级·河北保定·期末）若正比例函数的图象经过第二、第四象限，常数和互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、第四象限，
∴，
∵常数和互为相反数，
∴，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数经过点，则该函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，经过，
把代入，
，
，
，
图象过且与轴交于正半轴．
故选：A．
【变式6-2】（23-24八年级·四川广安·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴
∴
∴一次函数图象第一、二、三象限，
故选：B．
【变式6-3】（2024·山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：当时，，，，
∴的图象经过二、三、四象限，的图象经过一、三、四象限，
故可能的图象为：C，
当时，，，，
∴的图象经过一、二、四象限，的图象经过一、三、四象限，没有符合要求的选项；
当时，，，，
∴的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、二、四象限，没有符合要求的选项；
故选：C．
【题型7 一次函数与坐标轴的交点问题】
【例7】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知直线的解析式是，直线的解析式是，两直线交于点A，直线交x轴于点B，若的面积为2，则k的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：∵，
∴直线经过点，
且点也在直线: 上，
故点，
，
∴；
当点时，则，
解得：；
当点时，则，
解得：．
故选：D
【变式7-1】（23-24八年级·上海宝山·期中）若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【答案】2
【详解】将点代入，得，解得：
∴
当时，
当时，
∴该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
故答案为：2．
【变式7-2】（23-24八年级·山东潍坊·期末）已知直线（b为常数）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则直线与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】解：当x=0时，y=0+b=b，
∴直线y=x+b与y轴交于点（0，b）；
当y=0时，x+b=0，
解得：x=-b，
∴直线y=x+b与x轴交于点（-b，0）．
∴直线y=x+b与两条坐标轴围成的三角形面积=×|b|×|-b|=2，
∴b2=4．
同理，直线y=x+2b与y轴交于点（0，2b），与x轴交于点（-2b，0），
∴直线y=x+2b与两条坐标轴围成的三角形面积=×|2b|×|-2b|=2b2=2×4=8．
故选：D．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽安庆·期中）直线与直线分别交轴于，两点，两直线相交于轴上同一点．
（1）
（2）若，点的坐标是
【详解】∵直线和直线相交轴上同一点
∴，
∴直线与轴的交点为，直线与轴的交点为
∴
∴；
设的坐标为：
∵
∴
∵直线与直线分别交轴于，两点
∴点，
∴
∴
∴
∴点的坐标为或．
故答案为：；或．
【题型8 从一次函数的图象中获取信息】
【例8】（23-24八年级·上海·阶段练习）直线在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据图象可得经过第一、二、四象限，
故，
只有B符合题意，
故选：B．
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数的大小关系是 ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【详解】解：∵直线越靠近轴越大，且由图象可知为正数，
∴，
故答案为：．
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁铁岭·阶段练习）若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．y随x的增大而增大 D．时，
【答案】B
【详解】解：由图象可得，
，故选项A错误，不符合题意；
当，时，故选项B正确，符合题意；
随的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；
当时，，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式8-3】（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图，一次函数的图象与x 轴的交点坐标为 则下列说法正确的有（ ）
①y随x 的增大而增大；
②，；
③关于x 的方程的解为；
④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由图象可得，
随的增大而增大，故①正确，符合题意；
，，故②错误，不符合题意；
当时，，故④正确，符合题意；
关于的方程的解为，故③正确，符合题意；
故选：C．
【题型9 一次函数中的面积问题】
【例9】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，，且点B在正比例函数的图象上．
(1)求a的值；
(2)求一次函数的解析式；
(3)求的面积．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：．
（2）解：将，代入得：
，解得：，
故一次函数表达式为：．
（3）解：，
，
，，
．
【变式9-1】（23-24八年级·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
【详解】（1）解：将点代入直线得，，
解得：，
直线，
令，得，令，得，
点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）解：∵点，关于点对称，
∴点D是的中点，
∴点的坐标为，
将，代入，得
，解得，
直线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴．
连接，
则，
∴，
∴直线过原点O时，满足直线将的面积分成两部分，
将点，代入直线，得
，解得；
当时，
即，
，
点的坐标为，
将点，代入直线，得
，解得；
综上所述，或．
【变式9-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴，
把点的坐标，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：依题意，把代入，
则，
∴，
∴，
则的面积．
【变式9-3】（23-24八年级·河南商丘·阶段练习）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A且经过点，直线与交于点．
(1)求k，b和m的值；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将代入，得：
，
解得．
∴直线的解析式为．
将代入，得：
．
∴．
把代入，得：
，
解得．
（2）解：由（1）得直线的解析式为，直线的解析式为．
令，解得．
∴
令，解得．
∴．
∴．
∵，
．
（3）解：存在．
作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，连接EC，此时的周长最小．如图，
设直线的函数解析式是，
将和代入，得
解得
∴．
令，解得．
则点E的坐标是．
【题型10 一次函数图象中的规律探究】
【例10】（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，
，，，，，
，，，，，…，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故选：B．
【变式10-1】（2024·山东日照·二模）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为
A．(2n，2n-1) B．(，) C．(2n+1，2n) D．（，）
【答案】B
【详解】∵
∴
∵过点作轴的垂线，交直线于点
∴
∵
∴
∵过点作轴的垂线，交直线于点
∴
∵点与点关于直线对称
∴
以此类推便可求得点An的坐标为，点Bn的坐标为
故答案为：B．
【变式10-2】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．

【详解】解：∵点，轴交直线于点B，
∴，
∴，即，
∵，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴，分别交直线和于，两点，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，；
以此类推，
，即，
∴点的横坐标为，
，即；
点的横坐标为…
∴，即．
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
【变式10-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
【详解】解：由题意，，，
，
则第一个正方形的边长为，
即，
，，
，
则第二个正方形的边长为，
即，
，，
，
则第三个正方形的边长为，
即，
，，
以此类推，
可得，，
第2020个正方形的边长为．
故答案为：；．

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