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平面直角坐标系专题考点复习
知识点1：有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
【题型1 用有序数对表示位置或路线】
【例1】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)( )
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（ ）

A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？
知识点2：坐标平面内点的坐标特征
点的坐标:
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）.
坐标平面内点的坐标特征:
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
【题型2 判断点所在的位置】
【例2】（23-24八年级·上海长宁·期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限．
【变式2-2】（23-24八年级·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点在x轴上，则点A的坐标是 ．
【变式2-3】（23-24八年级·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
知识点3：平行于坐标轴的直线的表示
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
【题型3 平行于坐标轴的直线的表示】
【例3】（23-24八年级·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在轴上，求点的坐标
(2)若点的纵坐标比横坐标大4，求点的坐标；
(3)若点，且与坐标轴平行，求点的坐标．
【变式3-1】（23-24八年级·上海·阶段练面直角坐标系中，点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，那么直线与y轴的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合．
【变式3-2】（23-24八年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，，两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是 ．
【变式3-3】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）已知点，点，直线与坐标轴平行且，则点的坐标是 .
知识点4：象限角平分线的特点
①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【题型4 角平分线上的点的特征】
【例4】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）若点在第二、四象限角平分线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式4-1】（23-24八年级·河南周口·专题练习）若，表示同一个点，那么这个点一定在（ ）
A．第二、四象限角平分线上 B．第一、三象限角平分线上
C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上
【变式4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）已知坐标平面内一点，若、两点关于第一、三象限内两轴夹角平分线对称，则点的坐标为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
(1)若点P在y轴上，则点P的坐标为__________．
(2)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________．
(3)若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为__________．
知识点5：点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.
注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
【题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】
【例5】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ．
【变式5-1】（23-24八年级·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ．
【变式5-2】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）若点到x轴的距离为4，则点P坐标为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ．
知识点6：平面直角坐标中对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】
【例6】（23-24八年级·广东深圳·期末）如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-1】（23-24八年级·北京·期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y= ．点A关于x轴的对称点的坐标是 ．
【变式6-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知点和点关于直线(直线上各点的纵坐标都是2)对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】
【例7】（23-24八年级·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式7-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是
【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，，点在轴上，且．
(1)求点的坐标，并画出；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
【变式7-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ．
知识点7：平面直角坐标中点的平移
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）.“下减上加”
【题型8 由平移方式求点的坐标】
【例8】（23-24八年级·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24八年级·天津·期中）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移4个单位长度．再向下平移4个单位长度，得到的对应点A′的坐标为（　　）
A．（-6，7） B．（-6，-1） C．（2，-1） D．（2，7）
【变式8-2】（23-24八年级·全国·专题练习）把图形M先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，如果平移后的图形上有一点A的坐标为，那么平移前该点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，第一象限内有两点，将线段平移使点分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【题型9 由图形的平移求点的坐标】
【例9】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是
【变式9-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【变式9-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ．
【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．

【题型10 平面直角坐标中规律探究】
【例10】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， 按照这个规律，可得第个点的坐标是 ．
【变式10-1】（23-24八年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为 ．
答案详解
知识点1：有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
【题型1 用有序数对表示位置或路线】
【例1】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A选项：由图象可知不能到达点A，正确．
B选项：由图象可知能到达点A，与题意不符．
C选项：由图象可知到达点A，与题意不符．
D选项：由图象可知(到达点A正确，与题意不符．
故选：A．
【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为 ．
【答案】
【详解】解：∵共有八列，每列8人，则战士乙站在第七列倒数第3个，则从前面数是第6个，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为．
故答案为：
【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（ ）

A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F
【答案】B
【详解】解：目标用表示，目标用表示，
第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
表示为的目标是目标C．
故答案为：B．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？
【详解】（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为（+3，+4），（+2，0），D；
（2）P点位置如图1所示；
（3）如图2，根据已知条件可知：
A→B表示为：（＋1，＋4），B→C表示为：（+2，0），C→D表示为：（＋1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10；

（4）由M→A（3﹣a， b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）．
知识点2：坐标平面内点的坐标特征
点的坐标:
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）.
坐标平面内点的坐标特征:
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
【题型2 判断点所在的位置】
【例2】（23-24八年级·上海长宁·期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、当时，为不属于任何象限，不符合题意；
B、的值不确定，
不一定位于第四象限，不符合题意；
C、，
，
一定位于第四象限，符合题意；
D、，
当时，不属于任何象限，不符合题意；
故选：C．
【变式2-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限．
【答案】二
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴点P在第二象限．
故答案为：二．
【变式2-2】（23-24八年级·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点在x轴上，则点A的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵点在x轴上，
∴，
解得，
则，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
【变式2-3】（23-24八年级·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：点在第二象限，
，，
，
为整数，
，
，
则点坐标为，
故选：B．
知识点3：平行于坐标轴的直线的表示
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
【题型3 平行于坐标轴的直线的表示】
【例3】（23-24八年级·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在轴上，求点的坐标
(2)若点的纵坐标比横坐标大4，求点的坐标；
(3)若点，且与坐标轴平行，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：点在轴上，
点的纵坐标为零，即，解得，
则，
∴点的坐标为，
故答案为：，
（2）解：，
，
点的坐标为，
故答案为：，
（3）解：当轴时，
点和点的横坐标相等，即：，解得：，
∴，
点的坐标为，
当轴时点和点的纵坐标相等，即，解得，
∴，
点的坐标为，
故答案为：或．
【变式3-1】（23-24八年级·上海·阶段练面直角坐标系中，点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，那么直线与y轴的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合．
【答案】B
【详解】解：∵点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，
∴轴，
∴轴，
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，，两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是 ．
【答案】或
【详解】解：∵，两点在平行x轴的同一直线上，
∴A和B点的纵坐标相等，则，
又B到y轴的距离为3，
∴，
解得：或．
∴点B的坐标是或．
答案：或．
【变式3-3】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）已知点，点，直线与坐标轴平行且，则点的坐标是 .
【详解】解：①当直线AB∥y轴时，
∵A（ 2， 1），
∴点B的横坐标为 2，
∵AB＝3，
∴点B的纵坐标为 1＋3＝2或 1 3＝ 4，
∴B点的坐标为（ 2，2）或（ 2， 4）．
②直线AB∥x轴时，
∵A（ 2， 1），
∴点B的纵坐标为 1，
∵AB＝3，
∴点B的横坐标为 2＋3＝1或 2 3＝ 5，
∴B点的坐标为（1， 1）或（ 5， 1）．
综上所述，点B的坐标是（ 2，2）或（ 2， 4）或（1， 1）或（ 5， 1）．
故答案为（ 2，2）或（ 2， 4）或（1， 1）或（ 5， 1）．
知识点4：象限角平分线的特点
①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【题型4 角平分线上的点的特征】
【例4】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）若点在第二、四象限角平分线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【详解】∵点在第二、四象限角平分线上，
∴，
∴，
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·河南周口·专题练习）若，表示同一个点，那么这个点一定在（ ）
A．第二、四象限角平分线上 B．第一、三象限角平分线上
C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上
【详解】解：∵点，表示同一个点，
∴，
∴这个点一定在第一、三象限的角平分线上．
故选：B．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）已知坐标平面内一点，若、两点关于第一、三象限内两轴夹角平分线对称，则点的坐标为 ．
【详解】解：由图中可得答案为（-2，1）．
故答案为（-2，1）．
【变式4-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
(1)若点P在y轴上，则点P的坐标为__________．
(2)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________．
(3)若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为__________．
【详解】（1）∵点在y轴上，
∴，则，
∴点P的坐标为，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：，则
∴点P的坐标为．
故答案为：；
（3）∵点P在一、三象限角平分线所在直线上，
∴，
解得：．则．
∴点P的坐标为．
故答案为：．
知识点5：点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.
注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
【题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】
【例5】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ．
【详解】解：∵A、B两点的坐标分别为、，
∴，
设C点纵坐标为y（），且的面积为6，
∴，即
∴，
∵点C到y轴距离是1，
∴C点的横坐标为，
∴点C的坐标为或。
故答案为：或
【变式5-1】（23-24八年级·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ．
【详解】∵点在第四象限，且点到轴的距离为，则纵坐标，到轴的距离是，则横坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）若点到x轴的距离为4，则点P坐标为 ．
【详解】解：点到x轴的距离为4，
，
解得，
，或
点的坐标为或
故答案为：或．
【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ．
【详解】解：设点的坐标为，
到轴的距离为2，
的横坐标为，即，
是“美丽点”，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
点的坐标为或，
故答案为：或
知识点6：平面直角坐标中对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】
【例6】（23-24八年级·广东深圳·期末）如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∵点关于原点的对称点为，
∴，，
∴点在第二象限；
故选择：B
【变式6-1】（23-24八年级·北京·期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y= ．点A关于x轴的对称点的坐标是 ．
【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)，
∴x=3，y=4，
∴A点坐标为(3，4)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)．
故答案为：3；4；(3，-4)．
【变式6-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知点和点关于直线(直线上各点的纵坐标都是2)对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【详解】解：∵直线上各点的纵坐标都是2
∴直线∥x轴，如下图所示
∵点和点关于直线对称，点A到m的距离为2－（-3）=5
∴点B到m的距离也为5个单位长度，且A、B的横坐标相同
∴点B的坐标为（2,7）
故答案为：（2,7）．
【变式6-3】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【详解】∵关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C、B关于直线m对称，即关于直线对称，
∵点的坐标为，
∴，解得：，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】
【例7】（23-24八年级·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．
【详解】解：设点C的坐标是，则，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴在x轴上，且，
∵的面积是10，，
∴，
∴，
∴点C的坐标是或．
故选：C
【变式7-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是
【详解】连接，
，
，
，
故答案为：．
【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，，点在轴上，且．
(1)求点的坐标，并画出；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
【详解】（1）解：点在点的右边时，，
点在点的左边时，，
所以，的坐标为（）或（），
如图所示：
（2）解：的面积 ；
（3）解：设点到轴的距离为，
则 ，
解得 ，
点在轴正半轴时，（ ），
点在轴负半轴时，（ ），
综上所述，点的坐标为（ ）或（ ）．
【变式7-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ．
【详解】解：设点，则有，，
∵的面积是的面积的3倍，
∴
解得：或，
∴点或；
故答案为或．
知识点7：平面直角坐标中点的平移
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）.“下减上加”
【题型8 由平移方式求点的坐标】
【例8】（23-24八年级·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，
点的坐标为，
点正好落在轴上，
，
，
，
点的坐标为，
故选：A．
【变式8-1】（23-24八年级·天津·期中）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移4个单位长度．再向下平移4个单位长度，得到的对应点A′的坐标为（　　）
A．（-6，7） B．（-6，-1） C．（2，-1） D．（2，7）
【详解】解：将点A（-2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，
那么平移后对应的点A′的坐标是（-2+4，3-4），即（2，-1），
故选：C．
【变式8-2】（23-24八年级·全国·专题练习）把图形M先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，如果平移后的图形上有一点A的坐标为，那么平移前该点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【详解】解：在坐标系中，点先向右平移2个单位得，再把向下平移6个单位后的坐标为，则平移前该点的坐标为．
故选：A．
【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，第一象限内有两点，将线段平移使点分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、．
分两种情况：
①在轴上，在轴上，
则横坐标为0，纵坐标为0，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
②在轴上，在轴上，
则纵坐标为0，横坐标为0，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．
故选：D．
【题型9 由图形的平移求点的坐标】
【例9】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是
【详解】解：由题意可知，
，
，
，
或，
线段进行平移得到线段，
，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得，
∴c的值是12或4．
故答案为：12或4．
【变式9-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【详解】解：由平移变换的性质可知是由向上平移个单位，向右平移4个单位得到，
故．
，
，
故选：A．
【变式9-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ．
【详解】解：∵点O平移到点，
∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度，
∴点平移至点C的坐标为，即．
故答案为：．
【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．

【详解】解：设，
，，，
，
∵平移线段至线段，
∴，
∵，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【题型10 平面直角坐标中规律探究】
【例10】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， 按照这个规律，可得第个点的坐标是 ．
【详解】解：∵，，，，，
∴结合图象可得对于纵坐标来说每6个一循环，
∵，
∴的纵坐标和的纵坐标相等，为，
∵，，，，，
∴结合图象可得对于对于横坐标来说，，，
∵，
∴正好满足此规律，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式10-1】（23-24八年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由题意可知即长方形的周长为,
分析可知，每一次相遇后出发到再相遇点和点所运动的路程和为，
设点与点每次相遇所需时间为秒，
则解得：
即每秒相遇一次，
则根据运动方式可求出 ………
可以发现相遇点的坐标次一循环，
则的坐标与坐标一样，
即
故选:A.
【变式10-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，，，，，…，
∴点的坐标6次一循环．
∵，
∴当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为．
故选：C．
【变式10-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为 ．
【详解】解：根据所给翻滚方式可知，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
…，
由此可见，每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现，
又因为，
所以，
所以点的坐标为．
故答案为：．

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