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2024-2025学年广东省惠州市华罗庚中学高一（下）6月质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面中，复数对应的点的坐标在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列结论正确的是( )
A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等
C. 两个单位向量之和不可能是单位向量 D.
3.九章算术问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈．问积几何．今译：已知正四棱台体建筑物方亭如图，下底边长丈，上底边长丈，高丈．问它的体积是多少立方丈？( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.设，是两个不重合的平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，，则 D. 若，，则
7.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是：：，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少，则( )
A. B. C. D.
8.已知直三棱柱的体积为，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设为复数为虚数单位，下列命题正确的有( )
A. 若，则
B. 对任意复数，，有
C. 对任意复数，，有
D. 在复平面内，若，则集合所构成区域的面积为
11.在中，角，，所对的边分别是，，，下列命题正确的是( )
A. 若，，则面积的最大值为
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.高一年级有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，抽取总样本量为通过分层随机抽样的方法得到男生、女生的平均身高为和，则估计高一年级全体学生的平均身高为______结果保留一位小数
13.已知复数，其中，且，则的最小值是______．
14.如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知，，点为线段中点，，设，．
用向量，表示；
若，求．
16.本小题分
记的内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面，，其中为上的点，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
记内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，C.
证明：
若，求．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
所以
，
所以；
点为线段中点，用三点共线的向量表达式结论得
，
由知，
则，
由，则，
则．
16.根据题意可知，及正弦定理可得，
即，由余弦定理可得，
因为，故；
因为，即，
所以的面积为．
17.解：Ⅰ取中点，连接，，
因为，其中为上的点，且．
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为面，面，
所以，，
因为底面为等边三角形，
所以，
以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系：
所以，，，，，，，
，，
设面的法向量，
所以，
所以，即，
令，则，，
所以，
又，
所以，
所以平面D.
Ⅱ由Ⅰ知，，
设面法向量，
所以，即，
令，则，，
所以，
平面的法向量，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值．
18.解：证明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
由知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，舍；
当时，；
综上所述，．
19.解：证明：设，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为底面是正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为等边三角形，是的中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为，
设正方形的边长为，则，，
因为平面，平面，所以，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为；
存在，当时，平面平面，
因为平面，平面平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
设，则，所以，
由知平面，
因为平面，所以，所以，
因为，
，
所以，
所以，
得，
解得，
所以当时，平面平面．

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