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2024-2025学年安徽省马鞍山市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，丨丨，与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.已知某圆锥的母线与底面所成的角为，且母线长为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
4.为庆祝中华全国总工会成立周年，某单位举行工会知识竞赛，进入决赛的名选手得分如下：，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
5.对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标，两次都没击中目标，恰有一次击中目标，至少有一次击中目标，下列关系不正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
7.在年春晚的舞台设计中，工程师设计了一个三角形装饰灯架用于悬挂灯光设备已知灯架的两边米，米，且为了加固结构，需从边的中点到顶点安装一条加固杆，则加固杆的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.在中，，，直线与交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为复数，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则可以是( )
A. B. C. D.
11.如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，底面，，且，为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短路程为
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当平面时，直线与底面所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，则______．
13.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为 ．
14.如图，等腰三角形的底边，将绕顶点旋转角后得到，且，分别沿着，将，折起，使得，重合于点，得到三棱锥，若三棱锥外接球的半径为，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校对高一年级的学生进行了一次测试整理参加此次测试的学生的分数得到如图所示的频率分布直方图．
求的值；
从分数在内的学生中抽取人，求分数在内被抽取到的学生人数；
估计此次测试分数的平均值同组数据以这组数据的中间值作为代表．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点．
证明：平面；
证明：平面平面C.
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若，且，求．
18.本小题分
甲、乙、丙三人相约下围棋，共下局，规则如下：每局由两人上场对弈，第三人轮空，一局结束后，原轮空者上场与胜者对弈下一局，败者轮空，按此规则循环下去第一局由三人中随机选择两人进行对弈．
求第一局由乙、丙两人进行对弈的概率；
若甲、乙、丙三人每局对弈中战胜对手的概率均为，每局对弈相互独立且没有平局，第一局由乙、丙两人进行对弈．
(ⅰ)丙提出用掷骰子来决定谁先落子：连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记骰子朝上的点数分别为和，若，则由乙先落子，否则由丙先落子请你运用所学知识判断这个方法公平吗？说明理由；
(ⅱ)求在局对弈中甲轮空局的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且．
求证：；
记平面底面，求二面角的大小；
当异面直线与所成角为时，求三棱锥的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.由，解得．
分数在与内的频率之比为：，
故被抽到的人数为．
估计此次测试分数的平均值为．
16.证明：在直四棱柱中，，，且，
点为棱的中点，点为棱的中点，
取中点为，连接和，
则，，
点为的中点，，，
，，四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面C.
连接，由，，得，
又，则，
点为的中点，，
又平面，平面，，
又，，平面，平面，
由知，平面，
平面，平面平面C.
17.由，根据正弦定理得，
在中，，
所以，化简得，
因为在中，，
所以，即，结合，可得；
由正弦定理得，可得，，
所以，解得，
由余弦定理得，
即，解得舍负，所以．
18.首局所有对弈情况为：
甲、乙，甲、丙，乙、丙，
所以由乙、丙两人进行对弈的概率为；
由已知样本空间，共有个样本点，
设，则中所有的样本点为：
，，，，，，
，，，，，，，，，
共有个样本点，故乙先落子的概率为：，
所以这个方法不公平；
轮空情况如下表所示：
第一局 第二局 第三局 第四局
甲 乙 甲 乙
丙
丙 甲
乙
丙 甲 乙
丙
乙 甲
丙
其中甲轮空局的可能有种，所以在四局比赛中甲轮空局的概率为．
19.证明：因为底面，底面，所以，
因为底面为矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，为棱的中点，所以，
由，易得平面，
因为平面，所以，
延长与交于点，则即，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
所以即二面角的平面角，大小为．
与所成角即与所成角，即，则，
由，所以，
所以，则，，
由，
得，
又，
所以，
则．
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