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2024-2025学年江西省上饶市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边上一点，则( )
A. B. C. D.
2.若，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
4.设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为．
A.
B.
C.
D.
8.已知棱长为的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形包括边界内运动，且平面，则的长度最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. 的虚部为 B. C. D.
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
11.已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则有两解
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，点为的外心，满足，则的值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的弧长为，半径为，则扇形的面积为______．
13.如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______．
14.已知中，，，的最小值为，若为边上任意一点，为边的中点，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求的值；
若且，求在方向上的投影数量．
16.本小题分
已知，求的值．
已知，求．
17.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．
求证：平面；
求证：．
18.本小题分
已知函数．
求的单调增区间；
若关于的方程在区间内有两个不同的解，
求实数的取值范围；
求用表示．
19.本小题分
在中，角，，对应的边分别为，，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，．
求角；
若为边中点，求的最大值；
柯西不等式是以数学家柯西的名字命名请借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：经，当且仅当时等号成立求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15，．
则，
由于，所以，
所以或．
由可知，，
若且，则，解得，
则，，可得，；
所以在方向上的投影数量．
16.方法一：因为，
所以原式；
方法二：原式；
因为
，
所以，
所以．
17.证明：取中点，连接，，，
易知为中位线，故，且，
因为四边形是平行四边形，
所以，，
故，又因为是的中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
连接，交于，连接，如图：
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以为的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以．
18.原式，
令，所以有，
即单调增区间为．
由，得，
化简得，即，其中，，所以有，
即时，方程在区间内有两个不同的解，
所以实数的取值范围为；
当时，，可得，
此时，
结合而，可得；
当时，可得，
此时，
结合，可得．
所以有．
19.因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
且，则，可得，
且，所以；
在中，，由知，
由余弦定理，即，
所以，当且仅当时取等号，所以，
因为为边中点，所以，
所以
，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为；
，
又，，，
因为，
所以，
由三维分式型柯西不等式有：
，
当且仅当，即时等号成立，
由余弦定理，得：，
所以，即，
则，
令，则，
因为，解得，
当且仅当时等号成立，所以，则，
令，
则当，即时，有最大值，
则有最小值为．
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