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2024-2025学年广东省深圳高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位的虚部为( )
A. B. C. D.
2.一组数据，，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.和垂直的一个单位向量的坐标可以是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，且，则
B. 若，，且，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
6.已知两个随机事件和，其中，，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，，则( )
A. B. C. D.
8.我国古代举世闻名的数学专著九章算术将底面为矩形的棱台称为“刍童”已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
B. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
C. 若是关于的方程的一个根，则
D. 若，则的模为
10.有一组样本数据，，，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中且，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，已知矩形中，，，为中点，现将沿翻折后得到如图的四棱锥，点是线段上不含端点的动点，则下列说法正确的是( )
A. 当为线段中点时，平面
B.
C. 不存在点，使平面
D. 当为线段中点时，过点，，的截面交于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如素数是除了和它自身外，不能被其他自然数整除的大于的自然数在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是______．
13.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则 ______．
14.已知圆为的外接圆，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某芯片工厂生产甲型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这种芯片中抽取件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
求甲型芯片指标的平均数和第百分位数；
现采用按比例分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取件，再从这件中任取件，求指标在和内各件的概率．
16.本小题分
如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是正方形，且侧面底面，，为侧棱的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，，边上的高等于．
求的值；
若，求的面积．
18.本小题分
在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛题目选自模块或模块已知在模块的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为和假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响每个人在各模块中的结果也互不影响．
若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块的循环答题热身赛参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获枚印章，若答错则对手获枚印章连续获两枚印章的选手最终获胜甲回答第题，乙回答第题，依次轮流答题求到第个问题甲获胜的概率．
在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获枚印章，答错没有印章．
(ⅰ)若，，求甲、乙共获得枚印章的概率；
(ⅱ)若甲没有获得印章，乙获得枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为求甲、乙至少有人获得印章的概率．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中
求二面角的正切值；
若与平面交于点，求线段的长；
若点是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
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3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由频率分布直方图可得各组频率依次为：
，，
，，
，．
因为各组的组中值依次为：，，，，，，
所以甲型芯片指标的平均数为：
．
设第百分位数为，
因为前四组的频率和为：，
前五组的频率和为：，
所以，
则，解得：．
所以甲型芯片指标的平均数为，第百分位数为．
根据频率分布直方图及分层抽样可得：
指标在内取件，分别编号为，，；
指标在取件，分别编号为，，．
从甲型芯片指标在内取件，再从这件中任取件，
样本空间可记为，，，，，，，，，
，，，
，，，共包含个样本点；
指标在和内各件，包含的样本点有：
，，，，，，
，，，共种；
所以根据古典概型的概率公式可得：指标在和内各件的概率为．
16.证明：如图，连接交于，连接，
因为底面是正方形，所以为中点，又为侧棱的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
取的中点为，连接，
易知，且，
又平面底面，平面底面，
所以平面，
所以三棱锥的体积为：
．
17.边上的高等于，
，即，
由正弦定理得，
又，，
又，
，
，
故；
由知，
，，，
由余弦定理可得：，
即，
则，即，解得，
的面积．
18.题目选自模块或模块，
在模块的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，，
在模块的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为和，
假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响．每个人在各模块中的结果也互不影响．
设“甲答对”为事件，“乙答对”为事件，设“到第个问题甲胜”为事件，
则，
．
设表示甲在第个模块答题中答对的事件，
表示乙在第个模块答题中答对的事件其中，．
设表示甲在两个模块答题中答对个的事件，
表示乙在两个模块答题中答对个的事件其中，，．
根据独立性假定，得
，．
设“甲、乙共获得枚印章”，
则，且与互斥，与，与分别相互独立．
．
设“甲、乙至少有一人获得印章”，
，
，
由已知，
所以，
．
19.取的中点，连接F、，
则由正方体的性质可得：，，且平面
，，
故为二面角的平面角，
又平面，
，
正方体的棱长为，
，
则，
二面角的正切值为．
如图，连接，
四边形为正方形，
，
由正方体性质可知：平面，
平面，
，
，
平面．
平面，
，
同理可证得，
，
平面．
，与平面交于点，
≌≌，
，即为的外心．
由正方体的性质可得：，
是正三角形；
为正的中心．
正方体的棱长为，
因为点为的中点，
．
如图，由知，则．
由正方体的体对角线公式可得：，
．
平面，平面，
，即，．
，
，即，
即，
两边平方后，整理得，
又，
，
点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆．
平面，
与平面所成的角为，且，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
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