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2024-2025学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是虚数单位，复数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校名学生的体育达标情况，抽取名学生作为样本，第个学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为( )
A. 全校学生体育达标的人数 B. 样本学生体育达标的人数
C. 全校学生体育达标率 D. 全校学生体育达标率的估计值
6.已知中，是的中点，且，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，等边与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10.佛山公里徒步自年首次推出条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到年，现场参与人数为万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示下面分别为年佛山公里徒步参与人数的扇形统计图图、年佛山公里徒步参与人数的条形统计图图，单位：万人，已知年高明线的参与人数是年的倍，则( )
A. 年佛山公里徒步总的参与人数是万
B. 年顺德线的参与人数超过了年南海线与顺德线的参与人数总和
C. 五条线的参与人数年与年相比增加人数最少的是三水线
D. 五条线的参与人数年与年相比增长率最高的是南海线
11.已知在中，，，，点为所在平面内一点，则( )
A. 若为的垂心，则 B. 若为的重心，则
C. 若为的外心，则 D. 若为的内心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为______．
14.已知正四面体内部有一个半径为的小球，则正四面体棱长的最小值为______若小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体所有接触点的轨迹形成的图形面积为，则正四面体的棱长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为中点．
求证：平面；
若，证明：底面为菱形．
16.本小题分
某商场停车收费标准如下：停车时间在小时内含小时免费，超过小时的部分，每小时收费元不足小时的部分按小时算，如停车时长为小时，则按小时计算，收费元，一天之内封顶元为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了辆车一天内的停车时长单位：小时，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
估计停车费为元的频率；
估计停车时长的第百分位数；
假设这个商场节假日一天有辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入．
17.本小题分
已知向量，，函数．
求的解析式；
求的最小正周期及单调递增区间；
若在区间上的值域为，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点．
当平面平面时，
求证：；
求点到平面的距离；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
已知的面积为，内角，，所对的边分别为，，，点在内，且满足．
证明：；
证明：；
若，，，求及的长度．
参考答案
1.
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13.
14.
15.证明：连接，设，连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
在直四棱柱中，可得平面，平面，
所以，
又因为，，
所以平面，
平面，
所以，又因为四边形为平行四边形，
可证得四边形为菱形．
16.根据题意得，停车时长落在区间的车辆停车费为元，频率为；
根据题意得：停车时长在的频率为：，
停车时长在的频率为：，
设停车时长的第百分位数为，由题知，
所以，解得，
所以停车时长的第百分位数为；
依题意得一台车的停车费用的频率分布表如下：
停车时长
停车费用
频率
每一台车的停车费用的平均值的估计值为：元，
所以该商场节假日一天的停车费收入的估计值为元．
17.因为，，
所以
；
由知，的最小正周期为，
令，解得，
所以的单调递增区间为，；
因为，
时，，
且的值域为，所以，
解得，所以实数的取值范围是
18.证明：梯形中，，，，
，，
取的中点，连接，易知四边形为正方形，
，可知，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
；
，，，，平面，
平面，
点到平面的距离为；
取的中点，的中点，连接，，
可知，
由知，，
设点在平面上的射影为，则由，，
可得≌，从而，
在直线上，
设直线由平面所成的角为，
则，
可知分别在左右对称位置时，长度相同，
而当在右侧时，较长，此时较小，
因此只需考虑在上或在左侧的情况，
过作，则，
设，则，，
，，
，
，
．
设，，则，
，
，
，当且仅当，即时，取等号，
，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19.证明：在中，由余弦定理得，
由三角形面积公式得，即，则，所以；
证明：由知，，，，
设，，，同理，
所以；
由，，，得，，由得，
，即，所以；
由，解得，，而，，
则，
，
于是，
由正弦定理，得．
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