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2024-2025学年辽宁省辽阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.“为等比数列”是“为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若正数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率曲线在点处的曲率为( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则( )
A. 点为图象的一个对称中心 B.
C. 的一个周期为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合，，若，则 ______．
13.已知函数在上单调递增，则的取值范围是______．
14.设等比数列的前项和为，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足．
证明：数列为等比数列．
若，求满足条件的最小整数．
17.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求，；
若有三个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若的解集为，求，的值；
若，求不等式的解集；
在的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
判断的单调性；
若恒成立，求的取值范围；
若方程有两个不同的根，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意，，
所以，
又满足上式，所以；
因为，
所以
即．
16.证明：由，
两边取倒数可得，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
由等比数列的通项公式可得，
所以．
令，易知单调递增，
因为，，
所以满足条件的最小整数为．
17.因为，
所以，
因为，，
所以，
解得；
因为有三个零点，
即有三个解，
显然不是函数的零点，
所以关于的方程有三个不同的根，
即曲线与直线有三个交点．
令，
则，
因为，
所以当，时，，；
当时，，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
因为，所以当时，直线与曲线有三个交点，
故实数的取值范围是．
18.因为关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两根为，，
所以，即，
解得；
因为，所以，
即，
当时，不等式为，解得，故解集为；
当时，不等式可化为，解得或，故解集为或；
当时，，不等式可化为，解得，故解集为；
当时，，不等式可化为，解得，故解集为；
当时，，不等式可化为，解得，故解集为；
综上，当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
由知不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
只需．
因为，且，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，
即，
解得，
故实数的取值范围为．
19.由已知，，，
当时，，所以在和上单调递减；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在和上单调递减；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在和上单调递减；
综上所述，当时，在和上单调递减，
当时，在上单调递增，在和上单调递减，
当时，在上单调递增，在和上单调递减；
因为恒成立，
所以恒成立，
令，则令，则在上单调递增，
因为，所以，即，
由，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
证明：设，由得，，
当时，，此时，
因为，
，当时，，
所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且，
由得，，
因为函数在上单调递增，且，所以，
所以，故，
又，
所以，
令，则，
要证，只要证，即证，
即证，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以，即成立，故．
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