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2024-2025学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列中，则的值为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. 和 D. 和
4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，记为“朝上的点数不大于”出现的次数，则随机变量的方差( )
A. B. C. D.
5.已知数列是等差数列，其前项和为，若，，则数列中最小的项是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为( )
A. B. 或 C. D.
8.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，则经过次移动后，该质点位于处的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某地月份第天的平均气温为单位：，，线性相关，由，的前天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A. ，负相关
B. 第天的平均气温为
C. 前天平均气温的平均数为
D. 若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大
10.已知随机变量，，则( )
A. B.
C. D.
11.烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园将樱花抽象并按照一定的规律循环出如图：图将樱花抽象后，得樱花数，图以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推假设第个图的樱花数是，设数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 数列是递增数列
D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的公比为，若，，则 ______．
13.已知函数，若曲线在处的切线与直线相互垂直，则 ______．
14.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式的二项式系数和为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若展开式的第项的系数为，求实数的值．
16.本小题分
某科技公司年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下单位：个：
学校 企业 自由开发者
有需求
无需求
已知调查了个学校和个自由开发者．
Ⅰ求和的值；
Ⅱ估计目标用户对该设备有需求的概率；
Ⅲ是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？附：．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，．
求和的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个号球，一个号球和一个号球；乙袋内装有两个号球，一个号球；丙袋内装有三个号球，两个号球和一个号球．
从甲袋中一次性摸出个小球，记随机变量为号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出个球，若摸出的是号球放入甲袋，摸出的是号球放入乙袋，摸出的是号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出个球求第二次摸到的是号球的概率．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的最小值；
求函数的极值；
当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ的展开式的二项式系数和为，得，解得；
Ⅱ若展开式的第项的系数为，即，
解得．
16.解：Ⅰ由题意可知，，
解得；
Ⅱ由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为；
Ⅲ列出列联表：
学校用户 非学校用户 总计
有需求
无需求
总计
零假设：学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异，
由表格得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异．
17.已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，，
设等差数列的公差为，数列的等比为，
则，，，，
即且，
解得，，
所以和的通项公式分别为，．
由得，
则，
则，
因此，
所以．
18.从甲袋中一次性摸出个小球，记随机变量为号球的个数，
由题意可知：随机变量的可能取值为，，，则有：
，
可得随机变量的分布列为：
所以随机变量的期望；
现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出个球，
若摸出的是号球放入甲袋，摸出的是号球放入乙袋，摸出的是号球放入丙袋；
第二次从放入球的袋子中再随机摸出个球，
记第一次从甲袋中随机摸出个球，摸出的是、、号球分别为事件，，，
第二次摸到的是号球为事件，
则，
所以．
19.当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，函数取得最小值，即，
当时，的最小值为，此时．
由题意得，，其定义域为，
则，
当时，恒成立，函数在上单调递增，
不存在极值；
当时，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，存在极大值，无极小值；
综上所述，当时，函数不存在极值；
当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值．
由题意知，当时，不等式在上恒成立，
即，等价于在上恒成立，
设，即
则，
令，则，
当时，恒成立，则在上单调递增，
又，，
，使，即，
当，，即，
当，，即，
即在上单调递减，在上单调递增，
当，存在最小值，即，
由，得，
，
，
又，的最大值为．
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