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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高二下学期期末热身考试数学试卷（九）
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知数列 满足 ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
2．数列的前n项和，则（ ）
A．140 B．120 C．40 D．50
3．函数在上（ ）
A．既无极大值也无极小值B．有极小值无极大值C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值
4．若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个无穷等比数列、的公比分别为，：数列与数列有无穷多个公共项；，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（ ）．
A．B．C． D．
8．函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ）
A．B．函数的对称中心为
C．过引曲线的切线，有且仅有1条D．若成等差数列，则
10．已知函数（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是上的增函数B．若，则为函数的极大值点
C．当且仅当时，函数有两个不同的零点
D．若函数在上存在零点，则的最小值是
11．已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（ ）
A．的第2项小于B．C．为递减数列 D．中存在小于的项．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么至少前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：，）．
13．甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为1时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为．若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为 ；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为 ．
14．已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
四、解答题（共6小题，共70分）
15．已知函数．
(1)讨论函数的单调性．
(2)当时，，求a的取值范围．
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，求曲线过点的切线方程；
(3)若存在三个不同的零点，且，证明：.
17．已知是各项均为正数的等比数列，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．”（注：1匹=4丈，1丈=10尺，一月按30天算）．若该女子从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，问：
(1)她每天比前一天多织多少尺布？
(2)第15天织布多少尺？
19．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等．
(1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p，
①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；
(2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为，
（ⅰ）求证：是等比数列；
（ⅱ）求的最大值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A D D C A ABD ABD
题号 11
答案 ACD
12．8 13． 14．
15．（1）由，则，，
令，
当时，有，即，所以在R上单调递减；
当时，，，
方程的两根为，，且，
当和时，，即，
当时，，即，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在R上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，，
所以不等式，即，
两边取对数可得，
当时，上式对恒成立，
当时，上式转化为恒成立，
令，由，知是偶函数，
所以只需对恒成立即可，
令，，
则，
令，则，
，则，故，则，
所以在上单调递减，故，即，
所以在上单调递减，
所以，则，对，
所以，
即可.
所以的取值范围为.
16．（1），
①当时，，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得或，令，解得；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
③当时，令，解得或，令，解得；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）当，时，，则，
设切点为，
则切线的斜率，
所以切线方程为
又因为经过点，
所以，
即，整理得，
解得或，
所以过点的切线方程为或.
（3）法一：若存在三个不同的零点，
则可设，
整理得，
所以.
因为，所以，
所以，可得.
法二：若存在三个不同的零点，
因为，可设，，，
则，，，
化简可得，，
两式相减可得，
所以，
所以，可得.
法三：若存在三个不同的零点，
则，，，
两两相减可得，，
因为，所以，，
两式相减可得，
所以，
因为，所以.
所以，可得.
17．(1) (2)
18．(1)尺 (2)尺
19．(1)①随机变量X的分布列见解析，期望；②
②已知甲得8分（答对4题）概率为，得.则其至少答对3题的概率：
（2）（ⅰ）证明：对，得分n的递推：
最后一题答错（概率）：之前得分，故含；
最后一题答对（概率）：之前得分，故含.
即.
所以
初始项：，，故.
因此，是以为首项，为公比的等比数列.
（ⅱ）由差数列累加求和：
，
偶数项（）: 为负，正数，且随着n增大，正数减小，故为最大值；
奇数项（）：为正，正数，随着n增大，正数减小，趋近于0，故最大值趋近于.
综上，为最大值，计算，即最大值为.

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