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2024-2025 学年河南省南阳市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(4 + ) (1 + 5 )的虚部为( )
A. 4 B. 4 C. 4 D. 4
2.已知 ( 2,1)， (4, 5)，点 满足 = 1 2
，则点 的坐标是( )
A. ( 3,3) B. ( 8,7) C. (1, 2) D. (10, 11)
3.函数 ( ) = tan(2 12 )的定义域为( )
A. { | ≠ 7 24 + , ∈ } B. { | ≠
13
24 + , ∈ }
C. { | ≠ 7 + 24 2 , ∈ } D. { | ≠ 24 + 2 , ∈ }
4.如图，矩形 ′ ′ ′ ′是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出的
直观图，其中 ′ ′ = 1， ′ ′ = 3，则原四边形 的周长为( )
A. 2 35 + 6 B. 2 5 + 6 C. 12 D. 2 33 + 6
5.为了得到函数 = 5 (2 + 3 8 )的图象，可以将函数 = 5 2 的图象( )
A. 向右平移16个单位长度 B.向右平移8个单位长度
C. 向左平移16是个单位长度 D.向左平移8个单位长度
6.在正四棱锥 中， = 2， = 2 2，点 是棱 的中点，则三棱锥 的体积为( )
A. 2 7 B. 2 6 7 63 3 C. 3 D. 3
7.在平行四边形 中， = 3, = 2, ∠ = ，点 满足 = 1 3 3 ，点 是 的中点，则
=( )
A. 12 B.
1
2 C.
3 D. 34 4
8 28.已知三棱锥 的所有顶点都在表面积为 3 的球的球面上， ⊥平面 ， = = = 2，则
直线 与 所成角的余弦值为( )
A. 2 B. 26 4 C.
3 3
6 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,3)， = (3, 1)，下列命题中正确的有( )
A. = 10 B. // C. ⊥ D. | + | = | | + | |
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10.已知 1， 2 ∈ ，设 1 = 1 + ， 2 = + ( , ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.若 1 + 2 ∈ ，则 2 = 1 B.若 21 + 22 = 0，则| 2| = 2

C. 1 1 1若 1 = ，则 2 = 2 + 2 D.若| 2| = 2，则| 2 + 4|的最大值为 82
11.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， ⊥底面 ，
= 2 ，点 为线段 上的动点(不包括端点)，则下列结论正确的是( )
A. 2该四棱锥的体积为 3
B.一定存在点 ，使 //平面
C.一定存在点 ，使 ⊥平面
D. + 的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某圆锥的侧面展开图是半径为 4，圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的底面直径为______．
13.已知角 的终边上有一点 (2, 3)，则 tan(2 3 ) = ______．
14.如图，为了测量一条大河两岸 ， 之间的距离，无人机升至 米的空中
沿水平方向飞行至 点进行测量， ， ， 在同一铅垂平面内.在 点测得 ，
的俯角为 ， ( < )，则| | = ______米.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 为第二象限角，且 = 2．
(1)求 和 的值；
(2) sin(3 )cos(5 + )求 7 的值．cos( 2 )
16.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 + = ( + )2．
(1)求 ；
(2)若 + = 6，△ 的面积为 2 3，求 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 3 ) 1( > 0)．
(1)若 ( )的最小正周期为 ，求 ( )的单调递增区间；
(2)若 ( ) = ( ) 1 在区间[0, ]上恰有两个零点，求 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，∠ 1 = 60°， = = 1 = 2， = 2 2， 1 ⊥ 1．
(1)求证：平面 1 1 ⊥平面 ；
(2)求直线 1 与平面 1所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 = ( 1, 1), = ( 2, 2).作： = ， = ，当
, 不共线时，记以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ( , ) = | 1 2 2 1|；当 , 共线时，规定
( , ) = 0．
(1)已知 = (1,2), = (2,4)，求 ( , )；
(2)若向量 = + ( , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)，求证： ( , ) + ( , ) = (| | + | |) ( , )；
(3)记 = , = , = ，且满足 = + ( > 0, , ∈ ), ⊥ , | | = | | = | | = 1，求 ( , ) +
( , )的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.83
13.3 313
14. ( )sin sin
15.解：(1)因为 为第二象限角，且 = 2，
= 1 1 5所以 1+tan2 = 5 = 5 ，
= = 2 55 ；
(2) sin(3 )cos(5 + ) = ( ) = = 5．
cos(7 ) sin 52
16.解：(1)因为 2 + = ( + )2，所以 2 + = 2 + 2 + 2，
整理得： 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
所以由余弦定理得： = 2 = 2 = 2．
又因为 0 < < 2 ，所以 = 3．
(2)因为△ 的面积为 2 3 1，所以2 = 2 3，
1
即2 ×
3
2 = 2 3，解得 = 8，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 + = ( + )2 ，
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因为 = 8， + = 6，所以( + )2 = 36 8 = 28，
即 2 = 28，因为 > 0，所以 = 2 7．
17.解：(1)由题意知 ( ) = 2 ( +
3 ) 1 = 2 2 1+ 2 3
= 3 2 + 2 × 1 2 2 1 = 3 2
2 = 2 (2 6 )，
( ) 2 因为 的最小正周期为 ，且 > 0，所以2 = ，

解得 = 1，所以 ( ) = 2 (2 6 )，
令 2 + 2 ≤ 2

6 ≤

2 + 2 ， ∈ ，
解得 6 + ≤ ≤

3 + ， ∈ ，
即 ( )的单调递增区间为[ 6 + ,

3 + ]( ∈ )．
(2)令 ( ) = 0，得 sin(2 6 ) =
1
2，
∈ [0, ] ≤ 2 ≤ 2 当 时， 6 6 6，
1
又 ( )在区间[0, ]上恰有两个零点，即 sin(2 6 ) = 2有两解，
5
所以 6 ≤ 2

6 <
13
6 ，
1
解得2 ≤ <
7 1 7
6，即 的取值范围是[ 2 , 6 )．
18.(1)证明：连接 1 ，如图所示．
在三棱柱 1 1 1中，∠ 1 = 60°， = 1 = 2，
所以四边形 1 1是菱形，
所以 1 ⊥ 1 ，又 1 ⊥ 1， 1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 ，
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又 平面 1 ，所以 1 ⊥ ，
在△ 中， = = 2, = 2 2，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
又 平面 ，
所以平面 1 1 ⊥平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 ， 1 ，
又 = 12 = 1, ∠ 1 = 60°, 1 = 2，
所以 1 ⊥ , 1 = 3，
由(1)知平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 1 ⊥ ．
在△ 中，∠ = 90°， = 2， = 1，
所以 = 2 + 2 = 22 + 12 = 5，
所以 1 = 21 + 2 = ( 3)2 + ( 5)2 = 2 2．
因为 1/ / 1， 1 平面 1， 1 平面 1，所以 1//平面 1，
所以 1到平面 1的距离和 到平面 1的距离相等，
由(1)知 ⊥平面 1 1，又 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，
则 2 2 21 = + 1 = 2 2，
在△ 1中，易得 = 2 2, 1 = 2 2, 1 = 2 3，
2
cos∠ = + 1
2 1 2由余弦定理得 1 2 =
1
，
1 4
所以 sin∠ 1 = 1 cos2∠
15
1 = ，4
1
所以 △ 1 = 2 1sin∠ 1 = 15．
设点 1到平面 1的距离为 ，
又 1 1 = 1 1 = 1 ，
1
所以3 × 15 =
1 × 13 2 × 2 × 2 × 3，
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解得 = 2 5，5
设直线 1 与平面 1所成角的大小为 ，
所以 = 10 1
= 10 ，
即直线 1 与平面 1所成角的正弦值为
10．
10
19.(1)根据题意可知， = (1,2), = (2,4)，得 ( , ) = |1 × 4 2 × 2| = 0；
(2)证明：因为 = ( 1, 1), = ( 2, 2)， = + ，所以 = ( 1 + 2, 1 + 2)，
因此 ( , ) = |( 1 + 2) 1 ( 1 + 2) 1| = | || 1 2 2 1|，同理 ( , ) = | || 1 2 2 1|，
所以 ( , ) + ( , ) = (| | + | |)| 1 2 2 1| = (| | + | |) ( , )；
(3)根据题意可知，当 , = 为锐角时， , = 2 ，
当 , = 为钝角时， , = 3 2 ，
当 , = 1为锐角时， ( , ) + ( , ) = 2 2 | || |sin , + 2
1 | || |sin , 2
= + sin( 2 ) = + = 2sin( +

4 )，
当 = 4时， ( , ) + ( ,
)取到最大值 2，
当 , = 为钝角时， ( , ) + ( , ) = 2 12 | || |sin , + 2
1 | || 2 |sin ,

= + sin( 3 2 ) = = 2sin(

4 )，
当 3 4 = 2，即 = 4时， ( , ) + ( ,
)取得最大值 2，
故最大值 2．
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