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2024-2025 学年湖南省衡阳市常宁市直升班高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列{ }中， 4 + 8 = 20，则 6 =( )
A. 6 B. 8 C. 7 D. 10
2 22.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 6，则双曲线 的渐近线方程为( )
A. =± 5 B. =± 6 C. =± 55 D. =±
6
6
3.已知正四面体 的棱长为 1，点 在 上，且 = 2 ，点 为 中点，则 用基底{ , 3 ,
}
表示为( )
A. 2 1 + 1 B. 2 + 1 1 3 2 2 3 2 2
C. 2 + 1 + 1 D. 2 1 3 2 2 3 2 +
1
2

4.设直线 的方程为 + 2 = 0，则直线 的倾斜角 的范围是( )
A. [0, ] B. [ , ] C. [ , 3 ] D. [ , ) ∪ ( 4 2 4 4 4 2 2 ,
3
4 ]
5.斜率为 3的直线过抛物线 ： 2 = 4 的焦点，且与 交于 ， 两点，则| | =( )
A. 2 B. 163 C. 1 D.
3
2
6.数列{ }中 1 = 1， +1 + ( 1) = 2 1( ∈ )，则 2025 =( )
A. 1 B. 2025 C. 4048 D. 4050
7.已知 ( 2,0)， (4,0)，在直线 ：4 + 3 + = 0 上存在点 ，使 ⊥ ，则 的最大值是( )
A. 9 B. 11 C. 15 D. 19
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为棱 1 1的中点， 为侧面 1 1的中心，点 ， 分别为
直线 ， 上的动点，且 ⊥ ，当| |取得最小值时，点 到平面 的距离为( )
A. 62 B.
5
2 C. 1 D.
3
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.点 在圆 1： 2 + 2 = 1 上，点 在圆 ： 22 + 2 6 + 8 + 24 = 0 上，则( )
A. | |的最小值为 2 B. | |的最大值为 7
C. 4两个圆心所在的直线斜率为 3 D.两个圆相交弦所在直线的方程为 6 8 25 = 0
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10.在平面直角坐标系中，已知直线 ： + + = 0( , 不同时为 0)， ( 0, 0)到直线 的距离为 =
| 0+ 0+ |， = ( , )为直线 的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面 ： + + + =
2+ 2
0( , , 0) ( , , ) = | 0+ + + |不同时为 ， 0 00 0 0 到平面 的距离为 ， = ( , , )为平面 的法向量.若 2+ 2+ 2
平面 ： + 2 + 1 = 0，点 (1,1,2)，则( )
A.点 (1,0,1) ∈ B.若 为原点，则 ⊥
C.点 到平面 1的距离为2 D.若 (0,0,1)，则 //
11.在平面直角坐标系 中，动点 ( , )到两个定点 1(0, 1)， 2(0,1)的距离之积等于 4，则下列命题中
正确的个数是( )
A.曲线 关于 轴对称 B. 的最大值为 2
C. | 1| + | 2|的最小值为 4 3 D. | |的最大值为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.抛物线 = 1 24 的焦点坐标为______．
13.已知点 ( 2, 2)， ( 2,6)， (4, 2)，点 在圆 2 + 2 = 4 上运动，则| |2 + | |2 + | |2的最大
值为______．
2 2 2 2
14 .已知椭圆 2 +

2 = 1( > > 0)

与双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)具有相同的焦点 1， 2，且在第一象

限交于点 ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 1， 2，若∠ 1 2 = 3，则
2 2
1 + 2的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
5 3
在等比数列{ }中， > 0， 1 + 2 = 1024， 3 2 = 256．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = log4 ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
已知△ 三个顶点分别为 (1,1)， ( 1, 3)， (3, 1)．
(1)求 边上的高线长；
(2)过△ 内一点 (1,0)有一条直线 与边 ， 分别交于点 ， ，且点 平分线段 ，求直线 的方程．
17.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 1 1 1中，∠ 1 = 60°， ⊥ ， 1 ⊥ ， = 1， 1 = 2．
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(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2) 3直线 1与平面 1 1所成角的正弦值为 4 ，求平面 1 1与平面 1 1夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
如图 1，设半圆的半径为 2，点 、 三等分半圆，点 ， 分别是 、 的中点，将此半圆以 为母线卷
成一个圆锥(如图 2).在图 2 中完成下列各题：
(1)求在圆锥中的线段 的长；
(2)求四面体 的体积；
(3)求三棱锥 与三棱锥 公共部分的体积．
19.(本小题 17 分)
已知动点 到直线 = 4 的距离是 与点(2,0)距离的 2倍，记 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动直线 ： = 22 + ( ≠ 0)与 交于两点 ， ，曲线 上是否存在定点 ，使得直线 ， 的斜率和
为零？若存在求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0,1)
13.88
14.2+ 32
15.解：(1)等比数列{ }中， > 0， 1 + 2 =
5
1 + 1 = 1024， 3 2 =
2
1 1 =
3
256，
解得 = 4(舍负)， 1 =
1
210，
= 1所以 × 4 1 = 4 6 210 ；
(2) = log4 = 6，
= 5+ 6 × = ( 11) 2 2 ．
16.解：(1) (1,1)， ( 1, 3)， (3, 1)，
∴ = 1+3直线 的斜率为 1+1 = 2，
∴直线 的方程为 1 = 2( 1)，化为 2 1 = 0，
|2×3 1×( 1) 1| 6 5
∴点 到直线 的距离为 = =
22+( 1)2 5
，
即 边上的高线长为6 5；
5
(2)由题知，直线 1+1的斜率为 = 1 3 = 1，
∴直线 的方程为 1 = 1 × ( 1)，即 + 2 = 0，
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设 ( 0, 0)，因为点 (1,0)平分线段 ，则 (2 0, 0)，
∵点 ， 分别在直线 ， 上，
2 =
1
∴ 0
0 1 = 0 0 3
2 0 0 2 = 0
，解得 ，
0 =
1
3
0+1
∴直线 1的斜率为 = 31 = ，1 23
∴直线 1的方程为 0 = 2 ( 1)，即 2 1 = 0．
17.解：(1)证明：在△ 1 中，∠ 1 = 60°， = 1， 1 = 2，
2+ 2 2
由余弦定理可得：cos∠ 1 = 1 12 1
，
2
60° = 2 +1
2 1 2所以 2×2×1 ，解得
2
1 = 3，
因为 2 2 21 + = 1 ，所以在△ 1 中， 1 ⊥ ，
因为 1 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)由(1)及 ⊥ 得 1 ， ， 两两相互垂直，
则以 为原点，分别以直线 ， ， 1为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图：
设 = ( > 0)，由(1)知， 1 = 3，
则 1(0,0, 3)， (0, , 0)， (0,0,0)， 1( 1,0, 3)，
则 1 = (0, , 3)， = (0, , 0)， 1 = ( 1,0, 3)，
设平面 1 1的法向量 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ 1，
= 0 = 0
所以 ，可得 ，
1 = 0 + 3 = 0
令 = 3，则 = 0， = 1，所以 = ( 3, 0,1)，
设直线 1与平面 1 1所成角为 ，
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= |
1 | 3则
| 1
= ，
| | | 2+3 3+1
3 = 3所以 4 ，解得 = 1，则
1 = (0, 1, 3)， 2+3 2
因为在三棱柱 1 1 1中， 1// 1，所以 1 = 1 = ( 1,0, 3)，
设平面 1 1的法向量 = ( 0, 0, 0)，则 ⊥ 1， ⊥ 1，
1 = 0 + 3 = 0所以 ，可得 0 0 ，
1 = 0 0 + 3 0 = 0
令 0 = 1，则 0 = 3， 0 = 3，所以 = ( 3, 3, 1)，
设平面 1 1与平面 1 1的夹角为 ，
= | | 3+0+1 2 7则 | | | | = 2× 7 = 7 ．
18.解：(1)在图 2 中，设圆锥的底面圆半径为 ，
则 2 = 12 × 2 × 2 ，解得 = 1，
因为在图 1 中，点 、 三等分半圆，
所以在图 2 中，点 、 为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以△ 为等边三角形，

所以 60 = 2 = 2，所以 = 3，
又因为点 、 分别是 、 的中点，
所以 = 12 =
3
2 ；
(2) 1 3 3 3△ = 2 × 3 × 3 × 2 = 4 ，
圆锥的高 = 22 12 = 3，
1 3 3 3所以 = 3 × 4 × 3 = 4，
1
所以 = 2 =
1 × 1 = 1 2 2 4
3
= 16，
3
即四面体 的体积为16；
(3)连接 ， 交于点 ，连接 并延长 交 于点 ，
则三棱锥 与三棱锥 公共部分即为三棱锥 ，
因为点 、 分别是 、 的中点，
1
所以 为 的中点，且 = 3 ，
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所以 1 1 = 3 = 4，
所以三棱锥 1与三棱锥 公共部分的体积为4．
19.解：(1)设动点 的坐标为( , )，由已知得| 4| = 2 ( 2)2 + 2，化简整理得 2 + 2 2 = 8，
2 2
所以曲线 的方程为： 8 + 4 = 1；
(2)曲线 上存在定点 (2, 2)或 ( 2, 2)，使得直线 ， 的斜率和为零，
2
理由如下：由已知 = 2 + ( ≠ 0)与
2 + 2 2 = 8，联立 整理得 2 + 2 + 2 4 = 0，
由已知得 = 2 2 4( 2 4) > 0，且 ≠ 0，解得 ∈ ( 2 2, 0) ∪ (0,2 2)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 4，
假定曲线 上存在定点 ( 0, 0)使得直线

， 的斜率和为零，即 0 1 0 2 0
+
1
= 0，
0 2
0 (
2
2 1+ ) (
2
0 2 2+ ) 2则 + = 0，整理得( 0 )[2 0 ( 1 + 2)] 2 [ 0( 1 + 2) 2 1 2] = 0，0 1 0 2
因此可得( 0 )[2 ( 2 )]
2
0 2 [ 0( 2 ) 2(
2 4)] = 0，整理得( 2 0 0) + 2 0 0
4 2 = 0，
2 = 0
因当 ∈ ( 2 2, 0) ∪ (0,2 2)时，恒有( 2 0 0) + 2 0 0 4 2 = 0 成立，则有
0 0 ，
0 0 = 2 2
0 = 2 0 = 2
解得 或 ，显然点 (2, 2)或 ( 2, 2)在椭圆 上．
0 = 2 0 = 2
所以曲线 上存在定点 (2, 2)或 ( 2, 2)，使得 ， 的斜率和为零．
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