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2024-2025 学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
2 1+ .若复数 ( ∈ )的实部与虚部相等，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
3.如表是某校 120 名学生假期阅读时间(单位：小时)的频率分布表，现按比例分层抽样的方法从[10,15)，
[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取 20 名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是( )
分组 频数 频率
[10,15) 12 0.10
[15,20) 30
[20,25) 0.60
[25,30) 0.05
合计 120 1.00
A. 2，5，8，5 B. 2，5，12，1 C. 4，6，8，2 D. 3，6，10，1
4.在△ 中，若满足 ： ： = 2： 3： 7，则△ 为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.有 4 张相同的卡片，分别标有数字 1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取 1 张卡片， 1表示事
件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”， 2表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为 5”，则( )
A. ( 1) = ( 2) B. 1与 2为互斥事件
C. 1与 2为相互独立事件 D. 1与 2为对立事件
6.如图，无人机在离地面高 100 的 处，观测到山顶 处的仰角为 15°，山脚 处的俯角为 45°，已知∠ =
60°，则山的高度 为( )
A. 100 2
B. 150
C. 150 2
D. 150 3
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7.如图，过圆锥 的轴的截面是边长为 4 的正三角形，过 的中点 ′作平行于底
面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为( )
A. 11 + 3
B. 11 + 2 3
C. 12 + 3
D. 12 + 2 3
8.如图，矩形 的长为 3，宽为 2， 是 边的中点， 是 边上靠近点 的三等分点， 与 交于点 ，
则∠ 的余弦值为( )
A. 2 B.
10
2
10
C. 2 2 D. 2 2
5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小胡同学参加射击比赛，打了 8 发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9(单位：环)，则下
列说法正确的是( )
A.这组数据的众数为 9 B.这组数据的 40%分位数是 7：5
C.这组数据的极差是 4 D.这组数据的标准差是 2
10.在空间直角坐标系 中， (1,0,0)， (2,1, 2)， (1,2,3)，则( )
A. = 10 B. | | = 13
C. 2 13 D. 366异面直线 与 所成角的余弦值为 13 点 到直线 的距离是 9
11.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , , = 3 , = 2，则下列说法正确的是( )
A.若 = 1，则 = 1 B.当 ∈ 时，| |最小值为 3
C.当△ 有两个解时， 的取值范围是[ 3, 2) D.当△ 为锐角三角形时， 的取值范围是( 3, 2 3)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.单位向量 , 满足| + | = 11，则 = ______．
13.如图，在直三棱柱 1 1 1的侧面展开图中， ： ： = 1：2： 3，
且 = 3 + 3.若该三棱柱的外接球 的表面积为 12 ，则 1 = ______．
14.如图，九宫格中已填入数字 1，3，5，7，9，随机将数字 2，4，6，8 填入空格中，
则第三行与第三列数字和相等的概率为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别 ， ， 其中 = + 2, = 2 ，且 = 2 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧棱 ⊥底面 ，且 = 3．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，
培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决策、初赛采用
线上知识能力竞赛，共有 500 名学生参加，从中随机抽取了 50 名学生，记录他们的分数，将数据分成 5
组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图：
(1)根据直方图，求 的值；
(2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数；
(3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局
2
两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为3，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率．
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18.(本小题 17 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，且 = +
(1)求角 ；
(2)若△ 的面积为 4 3，
①已知 为 的中点，且 + = 8，求△ 中线 的长；
②求内角 的角平分线 长的最大值．
19.(本小题 17 分)
在梯形 中， // ，∠ = 3， = 2 = 2 = 4， 为 的中点，线段 与 交于 点(如图
1)将△ 沿 折起到△ ′位置，使得平面 ′ ⊥平面 (如图 2)．
(1)求证： //平面 ′；
(2)求二面角 ′的大小；
(3) 58 线段 ′上是否存在点 ，使得 与平面 ′所成角的余弦值为 8 ？若存在，求出 的值；若不存 ′
在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.92
13.2 2
14.14
15.(1)因为 = 2 ，所以由正弦定理可得 = 2 ，
又 = 2 ， = + 2，所以 2 = 2 + 2，解得 = 2 2；
(2)由(1)可得 = 2 2， = 2， = 4，
2+ 2 =
2 4+8 16 2
所以 2 = 2×2×2 2 = 4 ，
可得 = 1 cos2 = 144 ，
所以 = = 7．
16.(1)证明：因为 ⊥底面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)根据题意建系如图：
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则 (0,2,0)， (2,2,0)， (2,0,0)， (0,0,3)，
所以 = (2,0,0), = ( 2, 2,3), = (0, 2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则 = 0 2 2 + 3 = 0
，即
= 0 2 = 0
，取 = (3,0,2)，
| =
| 6 6 13
所以点 到平面 的距离为 | ．| = 13 = 13
17.(1)由频率分布直方图，[50,60)的频率为 0.08，[60,70)的频率为 0.12，
[80,90)的频率为 0.42，[90,100]的频率为 0.08，
所以 0.08 + 0.12 + 10 + 0.42 + 0.08 = 1，解得 = 0.03；
(2)由频率分布直方图，估计这次知识能力测评的平均数为：

= 55 × 0.08 + 65 × 0.12 + 75 × 0.3 + 85 × 0.42 + 95 × 0.08 = 78 分，
因为前三组[50,60)，[60,70)，[70,80)的频率之和为 0.08 + 0.12 + 0.30 = 0.50，
所以估计这次知识能力测评的中位数为 80 分；
(3)因为甲最终获胜，比分可能是 2：0，2：1，
设甲 2：0 获胜为事件 ，2：1 获胜为事件 ，
所以 ( ) = ( 2 )2 = 43 9，
( ) = 1 × ( 2 )2 + 2 × 1 2 83 3 3 3 × 3 = 27，
又 ， 两个事件互斥，
则甲最终获胜的概率为 ( ) + ( ) = 2027．
18.(1) = 因为 + ，

由正弦定理得 = + ，
整理可得 2 = 2 + 2 ，
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由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
可得 = 12，
因为 0 < < ，
所以 = 3；
(2)①因为 △ =
1
2 = 4 3，
所以 = 16，
且 + = 10，解得 = 8， = 2 或 = 2， = 8，
因为 为中线，
由于 2 = + ，
2 2 2
可得 4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 = ( + )2 2 + = 102 16 = 84，
所以 = 21；
②由 △ + △ = △ ，因为 为角平分线，
1
可得 △ = 2 30° +
1
2 30° =
1
2 60°，
16 3
解得 = + ，
由于 + ≥ 2 = 8，
当且仅当 = = 4 时取等号，
故 ≤ 2 3．
19.(1)证明：在梯形 中， // ，∠ = 3，
= 2 = 2 = 4， 为 的中点，
可得△ 为等边三角形，四边形 为菱形，
故 BC// ，而 平面 ′， 平面 ′，
所以 //平面 ′，
(2)由(1) 得 = 2，∠ = 3， = 4，
故 AC⊥ ， ⊥ ，
而平面 ′ ⊥平面 ，平面 ′ ∩平面 = ， ′ 平面 ′ ， ′ ⊥ ，
所以 ′ ⊥平面 ，
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所以 ， ， ′两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则 ′(0,0,1)， ( 3, 0,0)， ( 3, 2,0)，
′ = ( 3, 0, 1)， = (0,2,0)，
设平面 ′的一个法向量为 = ( , , )，
′则
= 0 3 = 0，则 ，
= 0 2 = 0
取 = 1 得 = (1,0, 3)，
平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
= | | 3故 | | | | = 2 ，
二面角 ′的大小为6；
(3) 设 = , (0 < < 1)，
′
则 = ′ ， (0,1,0)， ′ = (0, 1,1)，
的 (0,1 , )， = ( 3, 1 , )，
设平面 ′的一个法向量为 = (1,0, 3)，
与平面 | 3 3 | = 1 58 6′所成角的正弦值为
3+(1 )2+ 2× 1+3 64
= 8 ，
化简得 3 2 7 + 2 = 0 = 1，解得 3 ( = 2 舍去)，

故存在 = 1 583，使得 与平面 ′所成角的余弦值为 ． ′ 8
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