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2024-2025 学年哈尔滨三中高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.设 = 2+ (其中 为虚数单位)，则 =( )
A. 2 + B. 2+ C. 2 D. 2
2.如图：在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点．若 = ， = ， 1 = ，则
下列向量中与 相等的向量是( )
A. 1 1 2 + 2 +
B. 1 + 1 2 2 +
C. 12
1
2 +
D. 12
1
2 +
3.若 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 // ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ， ⊥ ，则 ⊥
4.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 9 2 = 4 2 , = 1 4，则 =( )
A. 3 24 B.
5 2 3 4
4 C. 3 D. 3
5.依次抛掷两枚质地均匀的骰子， 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为 2”， 表示事件“第一次抛掷骰
子的点数为奇数”， 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为 7”，则( )
A. 与 为相互独立事件 B. 与 为互斥事件
C. 与 为相互独立事件 D. 与 为互斥事件
6.须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基
座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座
为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为 6 ，下底面边长为 8 ，侧
面积为 84 2，则该正六棱台的体积为( )
A. 74 2 3 B. 74 3 3
C. 73 2 3 D. 73 3 3
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7.如图，已知平行四边形 中， = 3， = 2 ，∠ = 3， ，
分别是 2， 的中点， 是 上一点，且 = 3 ，则 =( )
A. 9 B. 11 C. 23 D. 272 2 4 4
8.已知正四面体 的棱长为 4，球 1为其内切球，球 2与球 1及正四面体 的三个侧面都相切，则
球 2的表面积为( )
A. 2 5 3 B. 3 C. 2 D.
7
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 为随机事件， ( ) = 0.5， ( ) = 0.3，则下列结论正确的有( )
A.若 ， 为互斥事件，则 ( ∪ ) = 0.8

B.若 ， 为互斥事件，则 ( ∪ ) = 0.2
C.若 ， 相互独立，则 ( ∪ ) = 0.65

D.若 ， 相互独立，则 ( + ) = 0.5
10.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若△ 是锐角三角形，则 >
C.若 = 4， = 3 = ， 3，则满足这组条件的三角形有两个
D.若sin2 > sin2 + sin2 ，则△ 是钝角三角形
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为空间中动点， 为 中点，则下列结论中正确的是( )
A.若 为线段 上的动点，则存在点 使得直线 1 与 1

1所成角为6
B.若 为侧面 1 1上的动点，且 / /平面 1 ，则点 的轨迹的长度为 2
C.若 为侧面 1
2 21 2 3
1上的动点，且 = 3 ，则点 的轨迹的长度为 9
D.若 为侧面 1 1上的动点，则存在点 满足 1 + = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (4,2)， = (8, )，若 // ，则实数 的值为______．
13.在对某中学高三年级学生体重(单位： )的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部
分学生进行测量，已知抽取的男生有 50 人，其体重的平均数和方差分别为 54，20，抽取的女生有 40 人，
其体重的平均数和方差分别为 45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为______．
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14.已知复数 ， 满足| | = 2， = (1 + ) ( 是虚数单位)，则| + 3|的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为 100 的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中 的值及样本中位数；
(2)现用分层抽样的方法从区间[40,50)，[50,60)，[90,100]抽取 5 人，写出从这 5 人中随机抽取 2 人的样本
空间，并求这 2 人成绩至少一人成绩在[90,100]的概率．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 3， = 5，且 + 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 为△ 的内心，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，△ 为等边三角形， = 2 3， = 3， = = = ，∠ =
120°，点 ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证：平面 //平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
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18.(本小题 17 分)
如图，在斜四棱柱 1 1 1 1中，四边形 为平行四边形，∠ = 3， 1 = = 2 = 2，
1 = 5， 1 ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 1 ；
(2)求 1到平面 的距离；
(3) 4 115 在棱 1上是否存在点 ，使直线 与平面 1 所成角的正弦值为 115 ？若存在，求出 的值，若不1
存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知三棱锥 ( = 1,2, , 24)的体积为 ( = 1,2, , 24)，在△ 中， = 2 3， 是△ 内一
点，∠ = 120°，记 = 24 =1 ．
(1)若 ⊥ ， ⊥ ，∠ = 30°， ( = 1,2, , 24)到平面 的距离为 ，求 ；
(2)若 是△ 的重心，且对任意 = 1，2，…，24，均有| + + | = ．
( )求 的最大值；
( )当 最大时，5 个分别由 24 个实数组成的 24 元数组( ,1, ,2, , ,24)( = 1,2, …, 5)满足对任意 = 1，
2 … 3 ， ，5， = 1，2，…，24，均有| , | = ，且对任意 1 ≤ 1 < 2 ≤ 5， ， ∈ 均有
24
1 2 =1 1, 2, = 0，
若 = 5 =1 , ，求
24 2
=1 的值．
(参考公式： =1 = 1 + 2 + + , (
2 2
=1 ) = =1 + 2
24
1≤ < ≤ , =1 = 300)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.36
14.3 2
15.(1)由题意，(0.005 + 0.010 + 0.020 + + 0.025 + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.03．
设中位数为 ，因为(0.005 + 0.010 + 0.020) × 10 = 0.35 < 0.5，
0.35 + 0.03 × 10 = 0.65 > 0.5，所以 ∈ [70,80)，
则 0.35 + ( 70) × 0.03 = 0.5，解得 = 75．
(2)由题意，区间[40,50)，[50,60)，[90,100]的频率比为 0.05：0.1：0.1 = 1：2：2，
所以若从区间[40,50)，[50,60)，[90,100]抽取 5 人，
则从区间[40,50)内抽取 1 人，设为 ，从区间[50,60)内抽取 2 人，设为 ， ，从区间[90,100]内抽取 2 人，
设为 ， ，
记“从这 5 人中随机抽取 2 人，成绩至少一人成绩在[90,100]”为事件 ，
基本事件有( , )，( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )，共 10 个，
事件 包含的基本事件有( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )，共 7 个，
利用古典概型概率公式可知 ( ) = 0.7．
16.(1)若 + 3 = 0，则 + 3 = 0，
因为△ 中， ≠ 0，所以 + 3 = 0，即 = 3 ，
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可得 = = 3，结合 ∈ (0, ) =
2
，可知 3，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 9 + 25 2 × 3 × 5 × ( 12 ) = 49，可得 = 7；
(2)因为△ 1的面积 △ = 2 =
1
2 × 3 × 5 × sin
2
3 =
15 3
4 ，
15 3
△ = 2 = 2 = 3 = 1所以 的内切圆半径 + + 3+7+5 2 ，可得 △ 2 =
1
2 × 3 ×
3 = 3 32 4 ．
17.(1)证明：在△ 中，点 ， 分别为 ， 的中点，
所以 // ，因为 平面 ，而 不在平面 内，
所以 //平面 ．
因为 = ，∠ = 120°，所以∠ = 30°，
因为△ 为等边三角形，所以∠ = 60°，
所以∠ = 90°，又 ⊥ ，所以 // ．
又因为 平面 ，而 不在平面 内，
所以 //平面 ．
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以平面 //平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 ， ．
因为 = = = ，所以 ⊥ ， ⊥ ．
因为 ∩ = ，平面 ∩平面 = ，
所以二面角 的平面角为∠ ．
因为 = 12 = 3，所以 = ×
3 = 1，3 = = 1 + 3 = 2，
所以 = 2 2 = 1．
2 2 2
根据余弦定理得 cos∠ = + 1+1 3 1．2 × = 2×1×1 = 2
所以二面角 1的余弦值为 2．
18.(1)证明：
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因为 1 = 2 = 2， 1 = 5，
所以 1 2 = 2 + 21 ，所以 1 ⊥ ，
在△ 中， = 2， = 1，∠ = 3，
根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 × × cos 3 = 1 + 4 2 × 2 × 1 ×
1
2 = 3，
所以有 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ；
(2)因为 1 ⊥ 8 1 = 5， = 2，
根据勾股定理 1 = 2 + 21 = 4+ 5 = 3，
在 1 中， 1 = 2, = 3． 1 = 3，
2 2 2
根据余弦定理 cos∠ 1 + 1 4+3 9 31 = 2 1 ×
= 2×2× 3 = 6 ，
所以 sin∠ 1 = 1 cos2∠ 1 =
11，
12
所以 = 1 11 1 3 1 ， ，2 1 × × sin∠ 1 = 2 = 2 × = 2
设 1到平面 的距离为 ，
根据等体积法 1 11 1 3 33 1 = 1 得 ，解得 ，3 × 2 × 1 = 3 × 2 × = 3
所以 1到平面 的距离为
33；
3
(3)
因为 ⊥平面 1 ，所以如图建立以点 为坐标原点的空间直角坐标系，
由 1 = 2, cos∠ 1 =
3，
6 sin∠ 1 =
11，
12
则 1(0,
3
3 ,
33 )，因为 = 1，所以 (1,0,0)，3
因为 = 3，所以 (0, 3, 0)，
即有 = (1,0,0)， 1 = (0,
4 3 33 ，
3 , 3 )
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设 = ，则 = 1 = 1 = ( 1,
3 33 ，
1 3 , 3 )
即有 = + = + 1 = (1,0,0) + ( 1,
3 , 333 3 ) = ( 1 ,
3 , 33 )，3 3
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
3 31 = (0, 3 , 3 ) ( , , ) =
33 + 33
则 3 3
= 0
，
= ( , , ) ( 1 , 3 , 333 3 ) = ( 1 ) +
3 33
3 + 3 = 0
33 33
令 = 11则 = 4, = ，即 ，1+ = ( 1+ , 11, 4)
由直线 与平面 1 所成角的正弦值为
4 115，
115

33 33
|
(1,0,0) (
| = | 1+
, 11,4) 1+ 4 115
可得： |
| = | | =
| | | ．|(1,0,0)| |( 33 33 1151+ , 11,4)| ( 21+ ) +27
11 2 16
化简得：
20 2+18 +9 = 115 (7 4)(135 + 36) = 0，因为 > 0
4
，所以 = 7．
19.(1)如图，在△ 中， = ∠ = 12 ．
因为 ⊥ ， ⊥ ，所以∠ = ∠ = 30°，
所以在△ 中，∠ = 180° ∠ ∠ = 30° = ∠ ，
1
所以在△ 中， = = 2cos∠ = 2，
所以 = 4，所以△ = 1的面积为 2 = 4 3，
又因为 ( = 1,2, , 24)到平面 的距离为
1 4 3
所以 = 3 → = 3 ，
4 3
所以 = 24 =1 = 3 × (1 + 2 + … + 24) = 400 3．
(2)( )因为 是△ 的重心，
所以△ 的面积为 = 3 3 3△ = 4 ，
在△ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 2 + 2 + = 12，
由基本不等式知， 2 + 2 + = 12 ≥ 3 ，
所以 ≤ 4，
故 ≤ 3 3，等号当且仅当 = = 2 时成立，
又由 是△ 的重心知， + + = 0，
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所以| + + | = | + + + + + | = |3 |，
所以| | = 3 ( = 1,2, , 24)，
所以 =
1 ≤ 13 → 3 |
| ≤ 33 ( = 1,2, , 24)，
= 24 3所以 24 =1 ≤ 3 =1 = 100 3，等号当且仅当 = = 2，
且 ⊥平面 时成立，所以 的最大值为 100 3；
( ) ( ) 3由 知， = 3 ，所以对任意 = 1，2，…，5， = 1，2，…，24，
3
均有| , | = = 1，
故 2 , = 1，因为 = 1, + 2, + + 5, ，
则 2 = ( 21, + 2, + + 5, ) = 5 + 21≤ 1< 2≤5 1, 2,
所以24 =1
2 24
= 120 + 2 =11≤ < ≤5 1, 2, ，1 2
由于任意 ≤ 1 < 2 ≤ 5， 1， 2 ∈ 均有
24
=1 1, 2, = 0，
所以24 =11≤ 1< 2≤5 1, 2, = 0，
所以24 2 =1 = 120．
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