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2024-2025 学年吉林省长春市四县区联考高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据 5，7，4，6，12，10，11，9 的第 70 百分位数次为( )
A. 7 B. 9 C. 9.5 D. 10
2025
2.已知复数 = 2 + ，则 =( )

A. 1 2 B. 1 2 C. 1 + 2 5 5 5 5 5 5 D.
1
5+
2
5
3.下列叙述中，错误的是( )
A.数据的标准差比较小时，数据比较分散
B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C.极差为一组数据中最大值与最小值的差
D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
4.已知向量 ， ，其中| = 2，| | = 2，且( ) ⊥ ，则向量 与 的夹角是( )
A. 4 B.

6 C. 2 D. 3
5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 7，圆台的侧面积为 84 ，则圆台较小底面的半
径为( )
A. 8 B. 7 C. 5 D. 3
6.从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之和是
3 的倍数的概率为( )
A. 1 B. 15 3 C.
2 2
5 D. 3
7.下列命题中，正确命题的个数是( )
①如果 ， 是两条平行直线，那么 平行于 所在的任何一个平面；
②如果直线 和平面 满足 // ，那么 与平面 内的任何一条直线平行；
③如果直线 ， 和平面 满足 // ， // ，那么 // ；
④如果直线 ， 和平面 满足 // ， // ， ，那么 // ；
⑤如果平面 的同侧有两点 ， 到平面 的距离相等，那么 // ．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.文峰塔建于清道光三十年(1850 年)，具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，该
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塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其
建筑特色和地理位置(南山之巅)使其成为俯瞰山城的重要观景点.某校“文峰数智社”为了测量其高度，设
文峰塔高为 ，在与点 同一水平面且共线的三点 ， ， 处分别测得顶点 的仰角为 30°，45°，60°，且 =
= 22 ，则文峰塔的高 约为( )
(参考数据： 6 ≈ 2.449, 3 ≈ 1.732)
A. 24
B. 27
C. 30
D. 33
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( 2,0)， = (1,1)，则下列结论正确的是( )
A. | | = | | B. ( + )//
C. 与 3的夹角为4 D. 在
上的投影向量为( 1, 1)
10.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有 500 人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样
本容量为 的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50,100]，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间[50,60)的人数为 32，则由样
本估计总体可知下列结论正确的为( )
A. = 200 B.估计考生成绩的众数为 72
C.估计考生成绩的中位数为 71 D.估计该市考生成绩的平均分为 70.6
11.下列命题中，正确的是( )
A.在△ 中， > ，则 >
B.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
C.在△ 中，若 = ，则△ 必是等腰直角三角形
D.在△ 中，若 = 60°， 2 = ，则△ 必是等边三角形
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 = (1 + )，则| | = ______．
13.在矩形 中， = 1， = 3，点 1在对角线 上，点 在边 上，且 = ， = 1 4 3 ，
则 = ______．
14.菱形 的边长为 3，∠ = 60°，沿对角线 折成一个四面体，使得平面 ⊥平面 ，则经过这
个四面体所有顶点的球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， ， 分别为 ， 1 1的中点．
(1)求证： ⊥ ．
(2)若 1 = 3， = = 2，求三棱锥 的体积．
16.(本小题 15 分)
某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在 10 分及以上的为一等品，低于 10 分的为二等品.下面
是检验员从一批产品中随机抽样的 6 件产品的评分：
10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8
1
经计算得 6 26 =1 = 98.03，其中 为抽取的第 件产品的评分. = 1，2，3，…，6．
(1)求这组样本平均数和方差；
(2)从以上随机抽取的 6 件产品中任意抽取 2 件，求这两件均为一等品的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 为 的中点， // ，∠ = 90°， = = = 1，
= 2．
(1)求证： //平面 ；
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(2)求证： ⊥平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化
金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行
了相关 专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 ，乙同学答对每题的
1
概率都为 ( > )，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为2，恰有一人
5
答对的概率为12．
(1)求 和 的值；
(2)试求两人共答对 3 道题的概率．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 = + 35 ．
(1)求 的值；
(2)当 与 边上的中线长均为 2 时，求△ 的周长；
(3)当△ 内切圆半径为 1 时，求△ 面积的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.73
14.15
15.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， ， 分别为 ， 1 1的中点，
故 EH// 1， // ．
又∵ 1 ⊥ ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
故 AB⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)解：∵ 1 = 3， = = 2， 1 ⊥平面 ，
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∴ ⊥平面 ，∴三棱锥 的体积为：
=
1
= 3 △ =
1
3 ×
1
2 × 2 × 2 × 3 = 2．
16. (1) = 10.1+9.8+10.0+9.7+10.0+9.8由题意可知， 6 = 9.9，
1 1
所以样本方差为 2 = 6 2 6 2 2 26 =1 ( ) = 6 =1 = 98.03 9.9 = 0.02；
(2)设事件 为两次都抽到一等品，
用 1， 2， 3表示抽取的 6 件产品中的三个一等品，用 1， 2， 3表示抽取的 6 件产品中的三个二等品，
则该试验的样本空间可表示为 = {( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, 3)，( 2, 3)，( 2, 1)，( 2, 2)，
( 2, 3)，( 3, 1)，( 3, 2)，( 3, 3)，( 1, 2)，( 1, 3)，( 2, 3)}，共有 15 个样本点，
则 = {( 1, 2)，( 1, 3)，( 2, 3)}，
所以 ( ) = 3 = 115 5，
1
即两件均为一等品的概率为5．
17.(1)证明：如图：取 的中点 ，连接 ， ，
则 // ，且 = 12 ，又 //
1
且 = 2 ，
所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
由题设易知 为直角梯形，且∠ = ∠ = 90° = 1， 2
则 2 = 2 + 2 = 2，所以 = 2，
因为 = = 1，∠ = 45°，所以∠ = 45°，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
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因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(3)如图：取 的中点 ，连接 ，
则 // ，由(2)知 ⊥平面 ，则 ⊥平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
1 3 1 2
因为 = 2 = 2 , = 2 = 2 ，
又 = 2 + 2 = ( 3 )2 + ( 2 2 52 2 ) = 2 ，
2
sin∠ = 所以 =
2 = 105 ．5
2
所以直线 与平面 10所成角的正弦值为 5 ．
= 1
18.解：(1)由题意可得 2 ，
(1 ) + (1 ) = 512
= 1 3 2
即 2
= =
，解得 4或 3，
+ = 1712 =
2
3 =
3
4
∵ > ，∴ = 34 , =
2
3．
(2)设 = {甲同学答对了 道题}， = {乙同学答对了 道题}， = 0，1，2，
由题意得， ( 1) =
1 3 3 1 3 3 3 9
4 × 4 + 4 × 4 = 8 , ( 2) = 4 × 4 = 16，
( 2 1 1 2 41) = 3 × 3 + 3 × 3 = 9 , (
2
2) = 3 ×
2 4
3 = 9．
设 = {甲、乙二人共答对 3 道题}，则 = 1 2 + 2 1．
由于 和 相互独立， 1 2与 2 1互斥，
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( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 3 × 4 + 9 × 4 = 5所以 1 2 2 1 1 2 2 1 8 9 16 9 12．
5
所以甲、乙两人共答对 3 道题的概率为12．
19.解：(1)由正弦定理得 sin = sin cos + 35 sin ，
又由 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，得 cos sin = 35 sin ，
因为 sin ≠ 0 3，所以 cos = 5．
(2) 6由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 4 = 2 + 2 5 ， 由 边上的中线长为 2，
2 + 2 = 10,
得 2( 2 + 2) = 16 + 4， 2 + 2 = 10.联立 4 = 2 + 2 6 ,解得 + = 2 5，5
所以 + + = 2 + 2 5，即△ 的周长为 2 + 2 5．
(3)由△ 内切圆半径为 1，得 + + = 4 ，因为 2 = 25 +
2 65 ，
4 2
所以 5 ( + ) =
2 + 2 65 ，得 + =
2
5 + 2，因为 + ≥ 2 ，
2
所以5 + 2 ≥ 2 ，
解得 ≥ 15+5 5 0 < ≤ 15 5 52 或 2 ，
又因为△ 2 5 15 5 5的面积大于其内切圆面积，即5 > ，得 > 2 > 2 ，
≥ 15+5 5 = = 5+ 5所以 2 ，当且仅当 2 时，△ 的面积取到最小值 3 + 5．
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