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2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨十二中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 2 + 的共轭复数是( )
A. 2 + B. 2+ C. 2 D. 2
2.已知向量 = (1,2)， = (2, )，若 // ，则 =( )
A. 4 B. 1 C. 2 D. 4
3.已知△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 30°， = 1, = 3，则角 的值为( )
A. 3 B.
2
3 C.
2
3或 3 D. 2
4.在△ 中， 是 靠近 点的三等分点， =( )
A. 2 1 3 + 3
B. 1 2
+ 1 2
C. 1 3
+ 23

D. 3 + 1 4 4
5.正方体 1 1 1 1中，异面直线 1与 1所成的角为( )
A. 60° B. 45° C. 30° D. 90°
6.已知圆锥高为 2，母线与底面所成角为 45°，则该圆锥的表面积为( )
A. 4 B. 4 2 C. (4 2 + 4) D. 8 2
7 .已知向量 , 夹角为3，| | = 2, |
| = 1，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. 1 2 C. D.
1
2
8.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高为
15( 3 1) ，在它们之间的地面上的点 ( , , 三点共线)处测得楼顶 ，教堂顶 的仰角分别是 15°和 60°，
在楼顶 处测得塔顶 的仰角为 30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. 20
B. 30
C. 20 3
D. 30 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 满足 (1 + ) = 1，以下说法正确的是( )
A. 1 复数 的虚部是 2 B. = 2 2

C. 2在复平面内对应的点在第二象限 D. | | = 2
10.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，则下列四个结论正确的是( )
A. 1 1 ⊥ 1
B. 1 1//平面 1
C.正方体的外接球的表面积为 12
D. 8三棱锥 1 的体积为3
11.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则如下判断正确的是( )
A.若sin2 + sin2 > sin2 ，则△ 是锐角三角形
B.若 2 = 2 ，则△ 为等腰三角形或直角三角形
C.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
D.若△ 的面积 = 1 ( 24 +
2 2)，则 = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
→ →
12.已知向量 = ( 2,3)， = (3, )，且 ⊥ ，则 = ．
13.在△ 中， = 2， = 120°， = 30°，则△ 外接圆的半径为______．
14.如图，平行六面体 1 1 1 1中， = 5， = 5， 1 = 6，
∠ = ∠ 1 = ∠ 1 =

3，则 1的长为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
已知平面向量 ， 满足：| | = 3，| | = 2， , = 3．
(1)求| |；
(2)当( + ) ⊥ ( )时，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，侧棱 ⊥底面 ， 是 的中点， 是 的中点．
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(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥平面 ．
17.(本小题 15 分)
3
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 4， = 6，设 为△ 的角平分线，求 的长．
(3)若 = 2，且△ 的面积为 3，求△ 的周长．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知( + )( ) = ( ) ．
(1)求 ；
(2)若△ 3 3的面积为 4 ，且
= 2 ，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，四边形 中， // ，∠ = 90°， 为 中点，点 在 上， // ， = 3 ， = 2 .
将四边形 沿 翻折至四边形 ′ ′，使得面 ′ ′与面 所成的二面角为 60°．
(1)证明： ′ //平面 ′ ；
(2)求面 ′与面 ′ ′所成二面角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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9.
10.
11.
12.2
13.2
14.3 19
15.(1)由题意| | = 3，| | = 2， = 3 × 2 × ( 12 ) = 3，
2 2
又因为| |2 = 2 + = 9 + 6 + 4 = 19，
所以| | = 19；
(2)因为( + ) ⊥ ( )，则( + ) ( ) = 0，
2
可得 2 + ( 1) = 0，
即 9 3 + 3 4 = 0，
= 12解得 7．
16.解：(1)证明：如图，连 ，由四边形 为菱形，
为 的中点， 为 的中点，
所以 为 的中点，
所以 // ，
因为 平面 ， 不在平面 上，
所以 //平面 ；
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(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
在菱形 中， ， 为菱形的对角线，
所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
17.(1) 3因为 3 = 0，由正弦定理可得
3
3 = 0，
在△ 中，可得 > 0，
可得 = 3，
又因为 ∈ (0, )，

可得 = 3；
(2)因为 = 4， = 6， = 3， 为△ 的角平分线，
1
所以 △ = 2 =
1 1
2 2 + 2
= 12 2 ( + )

2，
4 × 6 × 3即 2 = (4 + 6) × ×
1
2，
12 3
可得 = 5 ；
(3)因为 = 2，且△ 的面积为 3，
可得 1 1 3△ = 2 = 2 × 2 = 3，可得 = 4，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 ，
即 4 = ( + )2 3 × 4，
解得 + = 4，
所以△ 的周长 + + = 2 + 4 = 6．
18.解：(1)由( + )( ) = ( ) ，
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根据正弦定理得( + )( ) = ( ) ，整理得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2
由余弦定理得 = = 12 2 = 2，结合 ∈ (0, )

，可知 = 3．
(2) 1 3 3根据题意，△ 的面积 = 2 = 4 ，
3 3 3 1 3
即 = ，可得 = 3，所以 4 4 = = 2 = 2．
因为 = 2 ，所以 = + 1 = + 1 ( ) = 1 + 2 3 3 3 3
，
两边平方得
2 2 2
= ( 1 23 + 3
)2 = 1 49 + 9
+ 4 1 29 = 9 +
4 2 + 29 3，
1
因为 29 +
4 2 + 2 1 2 2 69 3 ≥ 2 3 3 + 3 = 2，当且仅当 = 2 , = 6时取等号．
所以
2
的最小值为 2，可知 的最小值为 2．
19.(1)证明：因为在四边形 中， // ，且 // ，所以 ，
又∠ = 90°，所以四边形 为矩形，
折叠后，显然 // ， 平面 ′ ， 平面 ′ ，
所以 //平面 ′ ，同理可证 ′//平面 ′ ，
又 ′ ∩ = ，所以平面 ′ //平面 ′ ，又 ′ 平面 ′ ，
所以 ′ //平面 ′ ；
(2)由∠ = 90°， // ，所以 ⊥ ，所以 ⊥ ， ⊥ ′，
所以面 ′ ′与面 所成二面角的平面角为∠ ′ = 60°，
结合 ∩ ′ = ，所以 ⊥平面 ′，可得平面 ′ ⊥平面 ，
又 为 的中点，所以△ ′为等边△，
如图以 为原点建立空间直角坐标系，设 = 3 = 6，则 = 2 = 4，
所以 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， (2,4,0)， ′(0,1, 3)，
所以 = (2,0,0) ， ′ = (0,1, 3)， = (2,2,0)， ′ = (0, 1, 3)，
设平面 ′ ′的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则
′
，可得 = (0, 3, 1)，
= + 3 = 0
再设平面 ′的法向量 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0
则 ，解得 = ( 3, 3, 1)，
′ = + 3 = 0
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设面 ′与面 ′ ′所成二面角为 ，
| | = | | = |0×( 3) 3× 3+1×1| 1则 | || | = ，( 3)2+12 ( 3)2+( 3)2+12 7
所以 = 1 cos2 = 427 ．
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