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2024-2025 学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用 1，3，5，7 这 4 个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2.若随机变量 ～ (2, 2)，且 ( > 3) = 0.3，则 (1 < < 3) =( )
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7

3.已知函数 ( ) = 2 (2+ ) (2)，则 → 0 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4 1.二项式( 6 ) 的展开式中常数项为( )
A. 15 B. 15 C. 20 D. 20
5.若随机变量 的分布列为
0 1 2
0.3 0.4
则 (3 + 1) =( )
A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4
6.现有 5 本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下
列说法正确的是( )
A.将全部的书放到 6 个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有56种不同的放法
B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有 96 种不同的放法
C.将书分给 3 位不同的学生，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 2 本，有 90 种不同的分法
D.现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右(可以不相邻)的顺序排列的不同的
排法有 120 种
7 1 1 1.若数列{ }满足 + 2 + 3 + +
1 4
= 2 +1，且不等式 4 ≤ 4 + 37 对一切正整数 恒成立，则 1 2 3
的最大值( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8 ( ) = 1.函数 22 + 2025( ∈ )有两个极值点 1， 2满足 1 < 2 ≤ 2 1，则 1 + 2的取值范围为( )
A. (1,2 2] B. (2,3 2] C. (2,4 2] D. (0,3 2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是( )
A.若等比数列{ }的前 项和 = 2 + ，则实数 = 1
B.若数列{ }为等比数列，且 2 7 + 3 6 = 6，则 1 2 3 8 = 81
C.若等差数列{ }的前 项和为 ，则 ， 2 ， 3 2 ， 成等差数列
D.若等差数列{ }的前 项和为 ， 1 = 10，公差 = 2，则 的最大值为 30
10.已知 ( ) = (3 2) ( ∈ )展开式的二项式系数和为 512， ( ) = 2 0 + 1 + 2 + + ，下列
选项正确的是( )
A. 0 + 1 + 2 + + = 1 B. | 0| + | 1| + + | 9 | = 3
C. 1 + 2 2 + 3 3 + + = 27 D. (3)被 8 整除的余数为 1
11.已知函数 ( ) = ( + 1) ， ( ) = ( + 1)，则( )
A.函数 ( )在(0, + ∞)上无极值点
B.函数 ( )在 上单调递增
C.若对任意 > 0 1，不等式 ( ) ≥ ( 2)恒成立，则实数 的最小值为
D.若 ( 1) = ( 2) = ( > 0)，则 1( 2 + 1)的最大值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若等差数列{ }的前 项和为 ，且 5 + 7 = 12，则 11 = ______．
13.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，若 (2) = 3，且 ( ) + ′( ) > 0，则不等式( 2
) ( 2 ) < 6 的解集为______．
14.某校开学后，食堂从开学第一天起，每天中午只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中
2
午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为3，如果第 1 天选择米饭套餐，那
3 1
么第 2 天选择面食套餐的概率为4；如果第 1 天选择面食套餐，第 2 天选择米饭套餐概率为3，如此往复.设
该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ( ∈ )，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知数列{ }满足 = 1，且 = 1 +1 +1．
(1) 1求证：{ }是等差数列，并求{ }的通项公式；
(2) = 1
1
令 + 2 ，求数列{ }的前 项和 ．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 12 ( 3)
2 + 1, ( ∈ )．
(1)当 = 1 时，求曲线 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性．
17.(本小题 15 分)
有 2 台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为 94%，第二台加工的合格品率为 98%；若将这
两批零件混合放在一起，则合格品率为 96%．
(1)设第一台车床加工的零件有 件，第二台车床加工的零件有 件，求证： = ；
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取 4 个零件，用频率估计概率，记这 4 个零件中来自第二台车床的个数
为 ，求 的分布列、数学期望和方差．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 2 = + 2( ∈ )．
(1)求数列{ }通项公式；
(2)数列{ }

满足 = 2

，求数列{ }的前 项和 ；
(3) = 1设 ，求证：数列{ }中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 为自然对数的底数)， ( ) = ln( + 1)．
(1)求函数 ( )在区间[0, ]上的最值；
(2)若对 ∈ (0, 2 )，求证： ( ) >
( )；
(3) 1 1求证：sin 2+ sin 4 + + sin
1 1
2 > 2 ln( + 1)( ∈ )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.66
13.( 1,2)
14.1439 × (
1 1 4
12 ) + 13
15.(1) 根据数列{ }满足 1 = 1，且 +1 = +1，
1 1
两边取倒数，可得 = 1， +1
{ 1所以 }是首项和公差均为 1 的等差数列，
1
所以 = 1 + ( 1) × 1 =
1
，所以 = ；
(2) = 1
1
由 + 2 = + 2
，

则 = 1 + 2 + + = 1 + 2 + 2 + 22 + + + 2 ，
2
根据分组求和可得 = (1 + 2 + + ) + (2 + 22 + + 2 ) =
(1+ )
2 +
2(1 2 ) +1
1 2 = 2 + 2 + 2 2．
16.(1)当 = 1 时， ( ) = 3 + 2 + 1，因此导函数 ′( ) = 3 2 + 2 1，
所以 (1) = 1 + 1 1 + 1 = 2， ′(1) = 3 + 2 1 = 4，
因此 ( )在(1,2)处的切线方程为 2 = 4( 1)，即得 4 2 = 0；
(2) ( ) = 3 12 ( 3)
2 + 1，因此导函数 ′( ) = 3 2 ( 3) = (3 )( + 1)．
当 = 3 时， ∈ ( ∞, + ∞)，导函数 ′( ) = 3( + 1)2 ≥ 0， ( )单调递增；
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< 3 ∈ ( ∞, ), ( ) > 0, ( ) ∈ ( 当 时， 3 ′ 单调递增； 3 , 1), ′( ) < 0, ( )单调递减；
∈ ( 1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增；

当 > 3 时， ∈ ( ∞, 1)， ′( ) > 0， ( )单调递增； ∈ ( 1, 3 ), ′( ) < 0, ( )单调递减；
∈ ( 3 , + ∞), ′( ) > 0, ( )单调递增；
综上，当 = 3 时， ( )在( ∞, + ∞)上单调递增；
当 < 3 时， ( ) 递减区间是( 3 , 1)； ( )递增区间是( 1, + ∞), ( ∞, 3 )；

当 > 3 时， ( )递减区间是( 1, 3 )； ( )递增区间是( ∞, 1), (

3 , + ∞)．
17.(1)证明：已知第一台车床加工的零件有 件，合格品有 0.94 件，
第二台车床加工的零件有 件，合格品有 0.98 件，
0.94 +0.98
混合后的合格率为 + = 0.96，解得 = ；
(2)由 = 1可知，一个零件来自第二台车床概率为 + = 2，
随机变量 可能取值有 0，1，2，3，4，来自第二台车床零件的个数 服从二项分布，
则 ～ (4, 12 )，
( = ) = 4(
1 ) ( 1 4 2 2 ) ， = 0，1，2，3，4，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 1 3 1 1
16 4 8 4 16
1
所以 ( ) = 4 × 2 = 2， ( ) = 4 ×
1 × 12 2 = 1；
18.(1)根据数列{ }的前 项和为 ，且 2 = + 2( ∈ )，
当 = 1 时， 1 = 1 = 2 1 2，解得 1 = 2，
当 ≥ 2，由 = 2 2，可得 1 = 2 1 2，

作差得 1 = = 2 2 (2 1 2)，化简得 = 2， 1
可知数列{ }为等比数列，所以 1 = 2 × 2 = 2 ．
(2) = 2 22

可知 = 2 = 2 ，
1 2 3 则 = 1 + 2 + 3 + + = 2 + 22 + 23 + + 2 ，
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1 1 2 3 1
则2 = 22 + 23 + 24 + + 2 + 2 +1，
1 1
1 = 1 1 1
(1 )
作差得2 2+ 22 + + 2 2 +1 =
2 2
1
2+
1 2 +1
，化简得 = 2 2 ．
2
(3) 1 1已知 = = 2 ，可知( , )在函数 ( ) =
1
2
上，
设等差数列 = + ，是一个首项为 + ，公差为 的等差数列，
则( , )在函数 ( ) = + 上，
可知 = ( )是指数函数， = ( )是一次函数，
易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在 = ( )上，又在 = ( )上，
即数列{ }中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.(1)对函数 ( )求导可得 ′( ) = ( + )，
令 ( ) = + ，则 ( ) = 2sin( + 4 )，
当 ∈ [0, ]时， + 4 ∈ (

4 ,
5
4 )，
3
由正弦函数性质可知，当 + 4 ∈ ( 4 , )，即 ∈ (0, 4 )， ( ) > 0，
当 + 4 ∈ ( ,
5
4 )，即 ∈ (
3
4 , )， ( ) < 0，
因为 > 0，所以 ∈ (0, 3 4 )时， ′( ) > 0， ∈ (
3
4 , )时， ′( ) < 0，
( ) (0, 3 ) ( 3 即函数 在区间 4 单调递增，在区间 4 , )上单调递减，
3 3
而 ( 3 ) = 4 sin 3 = 2 4 ， (0) = 04 4 2 0 = 0， ( ) =
= 0，
3
所以函数 ( ) 2的最大值为 42 ，最小值为 0；
(2) 证明：要证 ( ) > ( )，只需要证明 > ln( + 1)，其中 ∈ (0, 2 )，
设 ( ) = ln( + 1) 1， ′( ) = +1，
设 ( ) = ′( )， ′( ) = + 1( +1)2
= = 2因为函数 、 ( +1)2在(0,

2 )上均为减函数，
则 ′( ) = + 1 ( +1)2在区间(0, 2 )内单调递减
因为 ′(0) = 1 > 0 ( ) = 1 + 1， ′ 2 ( +1)2 < 0，2

所以 1 ∈ (0, 2 )，使得 ′( 1) = 0，
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当 0 < < 1时， ′( ) > 0；当 1 < < 2时， ′( ) < 0．
所以 ′( )在区间(0, 1)

内单调递增，在区间( 1, 2 )内单调递减
1
又因为 ′(0) = 0， ′( 1) > 0， ′( 2 ) = +1 < 0，2
所以 2 ∈ (

1, 2 )，使得 ′( 2) = 0，
当 0 < < 2时， ′( ) > 0；当 2 < < 2时， ′( ) < 0．
所以 ( )在区间(0, 2)内单调递增，在区间( 2, 2 )内单调递减，
因为 (0) = 0， ( 2 ) = 1 ln(

2 + 1) > 0，
所以 > ln( + 1)在区间(0, 2 )内恒成立，
即对 ∈ (0, 2 )， ( ) >
( )成立；
(3)证明：由(2)得， > ln( + 1)对任意 ∈ (0, 2 )恒成立，
1
令 = 2 ， ∈
，则 sin 12 > ln(
1 2 +1
2 + 1) = ln 2 ，
所以 sin 1 3 1 5 1 7 12 > ln 2，sin 4 > ln 4，sin 6 > ln 6，…，sin 2 > ln
2 +1
2 ，
sin 1 + sin 1+ + sin 1 > ln 3+ ln 5 + + ln 2 +1所以 2 4 2 2 4 2 ．
∈ 2 +1 2 +2 = 1 > 0 ln 2 +1 > ln 2 +2对 ， 2 2 +1 2 (2 +1) ，所以 2 2 +1，
1 1
所以 2(sin 2 + sin 4+ + sin
1 3 5
2 ) > 2(ln 2 + ln 4 + + ln
2 +1
2 )
3 4 5 6 2 + 1 2 + 2
> ln2 + ln3 + ln4+ ln5 + + ln 2 + ln2 + 1
= 3 2 + 4 3 + + ln(2 + 2) ln(2 + 1) = ln( + 1)，
sin 1 1 1 1所以 2 + sin 4+ + sin 2 > 2 ln( + 1)得证．
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