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2024-2025 学年宁夏银川二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}，集合 = { | +2 1 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. { 1,0} C. {0,1} D. ( ∞,1]
2.已知命题 ： ∈ (0, + ∞)，3 2 2 5 > 0，则￢ 为( )
A. ∈ (0, + ∞)，3 2 2 5 ≤ 0 B. ∈ (0, + ∞)，3 2 2 5 > 0
C. (0, + ∞)，3 2 2 5 ≤ 0 D. ∈ (0, + ∞)，3 2 2 5 ≤ 0
3 2 , ≥ 0.函数 ( ) = ( + 3), < 0，则 ( 8) =( )
A. 4 B. 2 C. 8 D. 6
4.函数 = ( 1) 2 为幂函数，则函数为( )
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数
5 3 = 4 = 6 2 1.若 ，则 + =( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
6.已知二次函数 ( ) = 2 + ( ∈ )的值域为[0, + ∞) 9 1，则 + 的最小值为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
7.设 ( )是定义在 上的奇函数，且 (2) = 0.若 ( )在(0, + ∞)上单调递减，则不等式( 1) ( ) > 0 的解
集是( )
A. ( ∞, 2) ∪ (1,2) B. ( 2,0) ∪ (1,2)
C. ( 2,0) ∪ (0,2) D. ( 2,0) ∪ (2, + ∞)
8 ∈ (0, 1.当 3 ]
3
时，不等式8 ≤ 2+ 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. (0, 19 ] B. [
1
9 , 1) C. [
1
3 , 1) D. [
1
9 , 3]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )

A.设有一个经验回归方程 = 3 5 ，变量 增加一个单位时， 平均增加 5 个单位
B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数 的值越接近于 1
C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D.在一元线性回归模型中，决定系数 2越接近于 1，说明回归的效果越好
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10.已知log3 > log3 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. 0 < 1 1 < B. 3
> 1 C. log3( ) > 0 D. (
1 1
3 ) < ( 3 )
11.已知定义域为 的函数 ( )在( 1,0)上单调递增，且 (1 + ) = (1 )，图象关于点(2,0)对称，则以
下说法正确的有( )
A. (0) = ( 2) B. ( )的周期为 4
C. ( )在(2,3)上单调递减 D. (2024) > (2025) > (2026)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { | 2 ≥ 0}， = { | ≥ }，若 ∪ = ，则实数 的取值范围是______．
13.已知函数 ( ) = 3( 2 2 )是偶函数，则 = ．
14 .已知函数 ( ) = ln 32+ + + ( + 1) ( ≠ 0)，则| (2024) + (2025) + ( 2026) + ( 2027)
1
| +
2的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
为增强学生体质，促进学生身心全面发展，某调研小组调查某中学男女生清晨跑操(晨跑)的情况，现随机对
80 名学生进行调研，得到的统计数据如下表所示：
参加晨跑 不参加晨跑 合计
男生 32 8 40
女生 10 30 40
合计 42 38 80
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)分别求男生和女生中参加晨跑的概率；
(2)依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，能否认为学生是否参加晨跑与性别有关．
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16.(本小题 15 分)
由国家统计局提供的数据可知，2017 年至 2023 年中国居民人均可支配收入 (单位：万元)的数据如表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入 1.65 1.83 2.01 2.19 2.38 2.59 2.82
(1)求 关于 的线性回归方程(系数精确到 0.01)；
(2)利用(1)中的回归方程，分析 2017 年至 2023 年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测 2025 年
中国居民人均可支配收入．
附注：参考数据：7 =1 = 15.47,
7
=1 = 67.28．



参考公式：回归直线方程 = + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 ， =
2 2 =1

．
17.(本小题 15 分)
已知函数： ( ) = 2( 2 + 2 1)， ∈ ．
(1)若 ( )过定点(1,2)，求 ( )的单调递增区间；
(2)若 ( )值域为 ，求 的取值范围．
18.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2， ∈ ．
(1)若 = 2，求 ( ) < 0 的解集；
(2)解关于 的不等式： ( ) < 1．
19.(本小题 17 分)
定义在 上的函数 ( )，如果满足：对任意 ∈ ，存在常数 > 0，都有 ≤ ( ) ≤ 成立，则称函数 ( )
是 上的有界函数，其中 称为函数 ( )在 的上界．
(1)判断函数 ( ) = 4 2在其定义域内是否属于有界函数；
1 2 (2)若函数 ( ) = 1+ 2 ，且 > 1，则函数 ( )在区间[0, + ∞)上是否存在上界 ，若存在，求出 的取值
范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数 ( ) = 1 + + 2 在[0, + ∞)上是以 3 为上界的有界函数，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞,2]
13.1
14.4
15.解：(1) 10 1由题意可得，女生中参加晨跑的概率为 = 40 = 4，
32 4
男生中参加晨跑的概率为 = 40 = 5，
(2)零假设为 0：学生是否参加晨跑与性别无关．
2 = 80×(32×30 10×8)
2 11×880
42×38×40×40 = 399 ≈ 24.261 > 7.879，
依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，推断 0不成立，故可认为学生是否参加晨跑与性别有关．
16. (1) 1+2+3+4+5+6+7 15.47由题可知： = 7 = 4， = 7 = 2.21，
7 2 =1 = 140，

= 67.28 7×4×2.21 5.4所以 140 7×16 = 28 ≈ 0.19，

所以 = = 2.21 0.19 × 4 = 1.45，

故所求线性回归方程为 = 0.19 + 1.45；
(2)由(1)中的回归方程的斜率 = 0.19 > 0 可知，2017 年至 2023 年中国居民人均可支配收入逐年增加；

令 = 9 得： = 0.19 × 9 + 1.45 = 3.16，
所以预测 2025 年中国居民人均可支配收入为 3.16 万元．
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17.解：(1)由 ( )过定点(1,2)，则 (1) = log2( + 2 1) = 2，
即 + 1 = 4，解得 = 3，所以 ( ) = 2(3 2 + 2 1)，
由 3 2 + 2 1 > 0 得函数的定义域是：( ∞, 1) ∪ ( 13 , + ∞)，
因为 = 3 2 + 2 1 = 3( + 13 )
2 4 13在( 3 , + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
( ) ( 1可得 在 3 , + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
( ) 1所以 的单调递增区间是( 3 , + ∞)；
(2)若 ( )值域为 ，则 2 + 2 1 可以取到(0, + ∞)的任何数，
令 ( ) = 2 + 2 1，
当 = 0 时， ( ) = 2 1，显然可以取到(0, + ∞)的任何数，故成立；
当 > 0 时， ( ) = 2 + 2 1 开口向上，只需要其 ( ) ≤ 0，
即 ≥ 0，即 4 + 4 ≥ 0，解得 ≥ 1，又 > 0，故 > 0；
当 < 0 时， ( ) = 2 + 2 1 开口向下，不可以取到(0, + ∞)的所有值，故不符合．
综上可知， 的取值范围是[0, + ∞)．
18.函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2， ∈ ，
(1)若 = 2， ( ) < 0，则 2 2 + 3 4 < 0，即 2 2 3 + 4 > 0，
而 = 9 32 = 23 < 0，故 ( ) < 0 的解集为 ；
(2)若 ( ) < 1，则 2 + (1 ) 1 < 0 ( 1)( + 1) < 0，
( )当 < 1 时，解不等式( 1)( + 1) < 0 得， < 1 或 > 1，
( )当 = 1 时，解不等式( 1)( + 1) < 0 得， < 1 或 > 1，
( )当 1 < < 0 时，解不等式( 1)( + 1) < 0 得， < 1 > 1或 ，
( )当 = 0 时，( 1)( + 1) < 0 1 < 0，解得 < 1，
( )当 > 0 时，解不等式( 1)( + 1) < 0 1得， < < 1，
综上所述，当 = 0 时，不等式 ( ) < 1 的解集为( ∞,1)；
当 > 0 1时，不等式 ( ) < 1 的解集为( , 1)；
当 1 < < 0 1时，不等式 ( ) < 1 的解集为( ∞,1) ∪ ( , + ∞)；
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当 = 1 时，不等式 ( ) < 1 的解集为( ∞,1) ∪ (1, + ∞)；
当 < 1 时，不等式 ( ) < 1 1的解集为( ∞, ) ∪ (1, + ∞)．
19.(1)令 = 4 2( ≥ 0)，则 ( ) = ，
当 = 0 时，函数 = 4 2( ≥ 0)的最大值为 = 4，所以 ∈ [0,4]，
即 ( ) ∈ [0,2]，| ( )| ≤ 2，
所以 ( )为有界函数；
(2) ( )存在上界 ， 的范围是 ≥ 1，
( ) = 1 2

解答如下： 1+ 2 = 1 +
2
2 +1，
因为 > 1， ∈ [0, + ∞)，所以 = 2 + 1 在[0, + ∞)上递增，
所以 2 + 1 ≥ + 1 1 1，所以 0 < 2 +1 ≤ +1，
所以 1 < ( ) ≤ 1 1+ ，
> 1 1 因为 ，所以1+ < 0，所以| ( )| < 1，
所以 ( )存在上界 ， 的范围是[1, + ∞)；
(3)由题意知，| ( )| ≤ 3 在[0, + ∞)上恒成立，
所以 3 ≤ ( ) ≤ 3，即 3 ≤ 1 + + 2 ≤ 3 在[0, + ∞)上恒成立，
因此 4 ≤ ≤ 2 在[0, + ∞)上恒成立，
所以( 4 ) ≤ ≤ (2 ) ，
设 = , ( ) = 4 1 , ( ) = 2
1
，
由 ∈ [0, + ∞)，可得 ≥ 1，设 1 ≤ 1 < 2，
( ) ( ) = ( 2 1)(4 则 1 2 1)1 2 > 0，1 2
( 1) ( ) =
( 1 2)(2 1 2+1)
2 < 0，1 2
所以 ( )在[1, + ∞)上单调递减， ( )在[1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在[1, + ∞)上的最大值为 (1) = 5，
( )在[1, + ∞)上的最小值为 (1) = 1，
所以 的取值范围[ 5,1]．
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