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2024-2025学年吉林省普通高中 G8教考联盟高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {2,3,4,6}， = { | 2 10 > 0}，则 ∩ =( )
A. {4,6} B. {3,4,6} C. {3,6} D. {2,3}
2.对四组数据进行统计，获得如图散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则( )
A. 1 < 2 < 3 < 4 B. 2 < 1 < 3 < 4 C. 1 < 2 < 4 < 3 D. 2 < 1 < 4 < 3
3.“ < ”是“ 2 < 2”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数 ( )与 ( )都是定义域为 的奇函数，则函数 = ( ) ( )的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
5.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人参加比赛，如果 4 人中须既有男生又有女生，选法有( )种
A. 21 B. 120 C. 60 D. 91

6 2 , ≥ 4.已知函数 ( ) = ( + 1), < 4，则 (2 + log23)的值为( )
A. 24 B. 4 C. 12 D. 8
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7.已知正实数 ， 满足 2 + = 2 ，则 + 的最小值为( )
A. 32+ 2 B.
3
2+ 2 2 C. 2 + 2 D. 2 + 2 2
8 ( ) = |2
1|, < 2,
.已知函数 2 3, ≥ 2, 若关于 的方程[ ( )] ( ) 1 = 0 有 4 个不相等的实数根，则
实数 的取值范围是( )
A. 1 < < 0 B. 0 < < 1 C. 1 < < 1 D. 0 ≤ < 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述正确的是( )
A. 1 1不等式 < 2 的解集是{ | > 2 }
B.函数 = 2与 = ( )2是同一函数
C.已知函数 (2 + 1)的定义域为[ 1,1]，则函数 ( )的定义域为[ 1,3]
D.若函数 ( 1) = 3 ，则 ( ) = 2 2( ≥ 1)
10.下列叙述正确的是( )
A.甲、乙、丙等 5 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 36 种排法
B.用数字 0，1，2，3 这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有 18 个
C. 4 个人分别从 3 个景点中选择一处游览，有 81 种不同选法
D.正十二边形的对角线的条数是 54
11.已知函数 ( )与 ( )的定义域均为 ，且 ( ) + (1 ) = 3， ( ) + ( 3) = 3，若 = ( )的图象
关干点(1,0)对称，则( )
A. (0) = 3 B. ( ) = ( )
C. ( + 2)是奇函数 D. 2025 =1 ( ) = 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在( + 1 6 ) 的展开式中，常数项为______. (用数字作答)
2
13.若函数 ( ) = ( 1) + 1, ≥ 2(3 + 2) 3, < 2 是定义在 上的增函数，则实数 的取值范围是______．
14.甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若
未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为 0.6，乙每次听写的正确率均
为 0.8，第 1 次听写的人是甲、乙的概率各为 0.5，则第二次听写的人是甲的概率______；第 次听写的人是
甲的概率______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 + 1．
(1)求函数 ( )在 = 0 处切线的方程；
(2)求函数 ( )的极值．
16.(本小题 15 分)
为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取
100 名学生进行调查统计，数据如表：
整理数学 数学成绩
合计
错题习惯 优秀 非优秀
有 20 30 50
没有 10 40 50
合计 30 70 100
(1)依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；
(2)在调查统计有整理数学错题集习惯的 50 名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取 5 人组建
研讨小组，再从 5 人研讨小组中随机抽取 3 人进行访谈，用 表示访谈时成绩优秀的人数，求 的分布列及
数学期望．
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，
( 2 ≥ ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + 2) ．
(1)求 ( )的单调区间及最值；
(2)求出方程 ( ) = ( ∈ )的解的个数．
18.(本小题 17 分)
已知定义域都为 的函数 ( )与 ( )满足： ( )是偶函数， ( )是奇函数，且 ( ) + ( ) = 2 3 ．
(1)求函数 ( )、 ( )的解析式；
(2)直接说明函数 ( )的单调性，并解关于 不等式： ( 2 + 4 ) + ( 6) > 0；
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(3) ( ) = 3 2设 3 +2， ( ) = (2 ) 2 ( ) + 2 3，对于 1 ∈ ，都有 2 ∈ [0, + ∞)，使得 ( 1) = ( 2)，
求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)

设随机变量 的概率分布为 ( = ) = ! ， ∈ ，其中 是大于 0 的常数， 为自然对数的底数.则称
服从参数为 的泊松分布，记为 ～ ( )．
(1)若 = 2，求 ( = 1)；
(2)已知当 ≥ 20，0 < ≤ 0.05 时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于 ～ ( , )， ～ ( )，有 ( =
) ≈ ( = ). 212请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若 ～ (20, )，0 < ≤ 0.05， ( ≤ 2) > 223，
求实数 的取值范围；
(3)若 1～ ( 1)， 2～ ( 2)，且 1， 2的任意取值均相互独立，记 = 1 + 2，试判断随机变量 是否服
从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由．
参考数据： 0.8 = 2.23．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.20
13.( 2 , 33 4 ]
14.2 1 25 6 × ( 5 )
1 + 13
15.(1)因为函数 ( ) = 3 3 2 9 + 1，所以求导得 ′( ) = 3 2 6 9．
所以 ′(0) = 9.又 (0) = 1，
所以函数在 = 0 处的切线方程为 1 = 9( 0)，即 9 + 1 = 0．
(2)因为 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( 2 2 3) = 3( 3)( + 1)．
令 ( ) = 0，解得 = 3 或 = 1．
当 > 3 或 < 1 时， ′( ) > 0；当 1 < < 3 时， ′( ) < 0．
所以 ( )在( ∞, 1)，(3, + ∞)上单调递增，在( 1,3)上单调递减．
所以 ( )的极大值为 ( 1) = 1 3 + 9 + 1 = 6，极小值为 (3) = 33 3 × 32 9 × 3 + 1 = 26．
16.(1)零假设 0：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，
100×(20×40 10×30)2
由列联表中的数据可得 2 = 30×70×50×50 ≈ 4.762 > 3.841 = 0.05，
依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.05；
(2)由分层抽样可知，5 人研讨小组中，成绩非优秀的人数为 5 × 3050 = 3
20
人，成绩优秀的人数为 5 × 50 = 2
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人，
由题意可知，随机变量 的可能取值有 0、1、2，
3 1 2 1 2 1 ( = 0) = 33 = 10， ( = 1) =
3 2 3
3 = 5， ( = 2) =
2 3
3 =
3
5 5 5 10
，
故随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2
1 3 3
10 5 10
所以， ( ) = 0 × 1 3 3 610 + 1 × 5 + 2 × 10 = 5．
17.(1)由题设 ′( ) = ( + 3) ，故 < 3 时， ′( ) < 0， > 3 时， ′( ) > 0，
1
所以 ( )在( ∞, 3)上单调递减，在( 3, + ∞)上单调递增，且 ( ) ≥ ( 3) = 3，
当 → ∞ 1时， ( ) → 0， →+∞时， ( ) →+∞，故 ( ) ∈ [ 3 , + ∞)．
综上， ( )的递减区间为( ∞, 3) 1，递增区间为( 3, + ∞)，最小值为 3，无最大值；
(2)由(1)分析，可得 ( )的大致图象如下：
当 < 1 3时， ( ) = 无解；
1
当 3 < < 0 时， ( ) = 有两个不同解；
当 = 1 3或 ≥ 0 时， ( ) = 有且仅有一个解．
18.(1)由题设， ( ) + ( ) = ( ) ( ) = 2 3 且 ( ) + ( ) = 2 3 ，
所以 ( ) = 3 + 3 ，
两式相减可得 ( ) = 3 3 ；
(2)由 = 3 ， = 3 在 上均单调递增，
故 ( )在 上单调递增，
由 ( 2 + 4 ) + ( 6) > 0，
则 ( 2 + 4 ) > ( 6) = (6 )，
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所以 2 + 4 > 6 ，
即 2 + 5 6 = ( + 6)( 1) > 0，可得 < 6 或 > 1，
所以解集为( ∞, 6) ∪ (1, + ∞)；

(3) ∈ ( ) = 3 2时， 3 +2 = 1
4
3 +2，
0 < 4因为 3 +2 < 2，
故 ( ) ∈ ( 1,1)，
当 ≥ 0 时， ( ) = (2 ) 2 ( ) + 2 3
= 32 + 3 2 2(3 3 ) + 2 3
= (3 3 )2 2(3 3 ) + 2 1，
令 = 3 3 ，则 ≥ 0，
则 ( ) = ( ) = 2 2 + 2 1 = ( 1)2 + 2 2 ≥ 2 2，
由 1 ∈ ，都 2 ∈ [0, + ∞)，使得 ( 1) = ( 2)，
只需 2 2 ≤ 1 1，即 ≤ 2，
所以实数 1的取值范围为( ∞, 2 ].

19.(1) 因为随机变量 的概率分布为 ( = ) = ! ， ∈ ，
1 2
如果 = 2 ( = 1) = 2 2，那么可得 1! = 2；
0 1 2 1+ +
2
(2)根据 ( ≤ 2) = ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) ≈ 0! +
+ 1! 2! =
2
，
其中 = 20 ，0 < ≤ 1．
2
1+ + 2
令函数 ( ) = 2 ，其中 0 < ≤ 1，那么导函数 ′( ) =

2 < 0，
因此函数 ( )在区间(0,1)上单调递减，
0．821+0.8+
又因为 (0.8) = 2 0.8 =
212
223，
1+ +
2
212
因此对于不等式 2 > 223，它的解为 0 < < 0.8，
即 0 < 20 < 0.8，所以 0 < < 0.04；
(3)根据题： ( = ) = ( 1 + 2 = ) =

=1 ( 1 = , 2 = )
1 2
= ( 1 = ) ( 2 = ) =
1 2
! ( )!
=1 =1
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( 1 2 1+ 2) != 2 1 ! ( )! = !

! ( )! 1 2
=1 =1
( 1+ 2) ( 1+ 2)
= !
1 2 = ! ( 1 +

2)
=1
因此可得 ～ ( 1 + 2)，所以随机变量 服从泊松分布，对应的参数是 1 + 2．
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