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2024-2025 学年湖南师大附中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 = 4 + .若 ，则 =( )
A. 8 B. 8 C. 2 D. 2
2.已知集合 = {1,2,3,4,5,9}， = { | 2 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,4,9} B. {1,3,9} C. {1,2,3} D. {1,2,3,4,5,9}
3.已知向量 = (0,1)， = ( 2, )，若 ⊥ (2 )，则 =( )
A. 12 B. 1 C.
3
2 D. 2
4. 15° + 75° =( )
A. 22 B.
3 1 6+ 2 6
2 C. 4 D. 2
5.如图，下列正方体中， ， ， ， 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 和 为异面直
线的是( )
A. B.
C. D.
2 5( ≤ 1)
6.已知函数 ( ) = ( > 1) 是 上的增函数，则 的取值范围是( )
A. 3 ≤ < 0 B. 3 ≤ ≤ 2 C. ≤ 2 D. < 0
7.等比数列{ }中， 1 = 2， 8 = 4，函数 ( ) = ( 1)( 2)…( 8)，则 ′(0) =( )
A. 26 B. 29 C. 212 D. 215
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8.函数 = ( + )( > 0, > 0,0 < < ) 的部分图象如图所示， = 2 3, ∠ = 6，则 =( )
A. 12
B. 1
C. 2
D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A.若随机变量 ～ (2, 2)，且 ( < 4) = 0.8，则 (0 < < 4) = 0.6
B.某物理量的测量结果 ～ (2, 2)， 越大，该物理量在一次测量中的结果在(1.8,2.2)的概率越大
C.已知随机变量 ～ ( , 2)，若 ( > 2) + ( ≥ 6) = 1，则 = 2
D.已知随机变量 ～ (2,3)，若 = 2 + 1，则 ( ) = 36
10.已知函数 ( ) = 1 3 23 + ( ∈ )，则下列说法正确的有( )
A.当 = 1 时， ( )有且仅有一个零点
B.若函数 ( )在区间[0,2]上单调递增，则 ∈ ( ∞,1]
C.存在实数 ，使得 ( ) + (2 ) = 1 在 上恒成立
D.若 = 2，则过原点有两条直线与曲线 = ( )相切
11
2 2
.造型 在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆 ：
2 + 2 = 1( > > 0)
的左、右焦点分别为 1， 2，焦距为 4，若动点 满足| 1|| 2| = 4，则动点 的轨迹 就是一个双纽线.
下列说法正确的是( )
A.轨迹 仅经过一个整点(即横、纵坐标都是整数的点)
B.若点 位于椭圆 上，且∠ 31 2 = 2，则 的离心率为 3
C.点 与原点 之间的距离不超过 2 2
D.若直线 = 与曲线 有且仅有一个公共点，则 ≥ 1 或 ≤ 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12
2 2
.若双曲线

3 = 1 的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线离心率为______．
13.函数 = ( )， ∈ ( 2,7)的图像如图所示，设 = ( )的导函数为 =
( ) ′( )′ ，则 的解集为______． ( ) > 0
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14.某盒子中有黑、白球各 1 个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重
复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量 ，则 的数学期望为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中， = 3，
3
边上的高等 4 ．
(1)求 的值；
(2)若 = 2，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
已知圆 的方程为( + 3)2 + 2 = 100， (3,0)， 为圆 上任意一点， 的中垂线与 相交于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2) 3过点 的直线与点 的轨迹相交于 ， 两点，若△ 的内切圆半径为 ，且 = 10 | |，求直线 的方
程．
17.(本小题 15 分)
1
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1 = 2 = 4，cos∠ = 2， 是四边形 1 1(不含边界)
内的动点且 = 4．
(1)求证： ⊥平面 1 1；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 2 ( 2) ( ∈ )．
(1)当 = 0 时.求曲线 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)若函数 ( )恰有两个零点，求实数 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
已知集合 = { (2 1), (2 2), , 2, 1,0,1,2, , (2 1)}( ∈ ).定义集合 =
{( 1, 2, 3)| ∈ ， = 1，2，3， 1 < 2 < 3， 1 + 2 + 3 = 0}．
(1)写出集合 2；
(2)记集合 中的元素个数为 ，证明：数列{ +1 }为等差数列；
(3)从集合 中任取 2 + 1 个不同的数，证明：这 2 + 1 个数中一定存在三个不同的数 1， 2， 3.使得
( 1, 2, 3) ∈ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.(1,4) ∪ (6,7)
14.3
15.解：(1)设△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
1
由题意可得2 × ×
3 = 1 = 14 2 ，即
2
2 ，
1 3
由正弦定理得 = 22 sin ，又 = 3，所以 = 8；
2
3
(2) =
22×
由正弦定理得 sin2 =
8 = 2，
( 3 22 )
由余弦定理得 2 + 2 = 2 + 2 = 22 + 2 × 2 × 12 = 6，
又( + )2 = 2 + 2 + 2 = 6 + 2 × 2 = 10，所以 + = 10，
所以△ 的周长为 + + = 2 + 10．
16.(1)圆 ：( + 3)2 + 2 = 100 的圆心 ( 3,0)，半径 = 10，连接 ，则| | = | |，
| | + | | = | | + | | = | | = = 10 > | |，
因此点 的轨迹是以 ， 为左右焦点，长轴长 2 = = 10 的椭圆，而焦距 2 = 6，短半轴长 = 4，
2 2
所以点 的轨迹方程为 ．
25+ 16 = 1
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(2)由(1)知 是点 的轨迹的右焦点，则过 的直线 与该轨迹必交于两点，
且直线 不垂直于 轴，
设其方程为 = + 3， ( 1, 1)， ( 2, 2)( 1 ≠ 2)，
则| | = 1 + 2| 1 2|，
由 为△ 的内切圆半径，且△ 的周长为 4 ，
得 1 3△ = 2 4 = 2 10 | | = 3 1 +
2 | 1 2|，
1
又 △ = 2 | | | 1 2| = 3| 1 2|，
所以 3 1 + 2 | 1 2| = 3| 1 2|，
所以 3 1 + 2 = 3，
解得 =± 2，
所以直线 的方程为 ± 2 3 = 0．
17.解：(1)证明：在△ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 12，
故 = 2 3，
由勾股定理得 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ 1， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1C.
(2)因为 ⊥平面 1 1 ， 平面 1 1 ，所以 ⊥ ，
因为 = 4，所以 = 42 (2 3)2 = 2，
又 是四边形 1 1(不含边界)内的动点，
则点 在以 为圆心，半径为 2 的圆上，
以 为原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向， 1方向为 轴正方向，如图建系，
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则 (0,0,0)， (0,2 3, 0)， (2,0,0)，
令 = ∠ , ∈ (0, 2 )，则 (2 , 0,2 )， = ( 2,2 3, 0)， = (0,2 3, 0)， = (2
2,0,2 )， = (2 , 0,2 )，
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0 2 1 + 2 3 则 1 = 0,
1 = 0 (2 2) 1 + 2 1 = 0,
则取 1 = ( 3 , , 3(1 ))，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 2 3 则 2
= 0
2 = 2 2 + 2 2 = 0
则取 2 = ( , 0, )，
|cos < , > | = | 1 2| = | 3 3| = | 3 1)| = 3× 1 故 1 2 | 1|| ，2| cos2 6 +7 (1 cos )(cos +7) +7
令 = ∈ (0,1)，
则|cos 1, 2 | = 3 ×
1 8 ．
+7 = 3 × 1 + +7
因为函数 = 8 8 8 +7在(0,1)上单调递减，则 = +7 ∈ (1, 7 )，
则|cos 1,
8 21
2 | = 3 × 1 + ， +7 ∈ (0, 7 )
所以设平面 与平面 所成角为 ，
则 = |cos 1, 2 | ∈ (0,
21 )，7
所以平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为(0, 21 )．7
18.(1)当 = 0 时，函数 ( ) = 2 ，导函数 ′( ) = 2 1 ，那么 ′(1) = 1，而 (1) = 2，
因此切线为 2 = 1，即 + 1 = 0．
(2) ( ) = 2 ( 2) 的定义域为(0, + ∞)，
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导函数 ′( ) = 2 ( 2) 1 = ( +1)(2 1) ，
当 ≥ 0 时，由 ′( ) > 0，得 > 12；由 ′( ) < 0
1
，得 0 < < 2，
( ) 1 1函数 在( 2 , + ∞)上单调递增，在(0, 2 )上单调递减，
2 < < 0 1 1 1 1当 时，由 ′( ) > 0，得2 < < ；由 ′( ) < 0，得 0 < < 2或 > ，
( ) 1 1在( 2 , )上单调递增，在(0,
1
2 ), (
1
, + ∞)上单调递减，
当 = 2 时， ′( ) ≤ 0 1，且当 = 2时取等号， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
< 2 1 1 1 1当 时，由 ′( ) > 0，得 < < 2；由 ′( ) < 0，得 0 < < 或 > 2，
( ) ( 1 1 1 1函数 在 , 2 )上单调递增，在(0, ), ( 2 , + ∞)上单调递减，
1 1
所以当 ≥ 0 时，函数 ( )在( 2 , + ∞)上单调递增，在(0, 2 )上单调递减；
当 = 2 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 2 < < 0 1 1 1 1时，函数 ( )在(0, 2 ), ( , + ∞)上单调递减，在( 2 , )上单调递增；
当 < 2 时，函数 ( )在(0, 1 ), ( 1 1 1 2 , + ∞)上单调递减，在( , 2 )上单调递增．
(3)由(2)知，当 = 2 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，则 ( )最多一个零点；
2 < < 0 ( ) = 1 1 1当 时， 在 2处取得极小值 ( 2 ) = 4 + 1 + 2 > 0，则 ( )最多一个零点；
< 2 1 1当 时， ( )在 = 处取得极小值 ( 2 ) = 1
1
+ ln( ) > 0，则 ( )最多一个零点；
当 ≥ 0 1 1时，函数 ( )在(0, 2 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
( ) 1 1 1 = ( 2 ) = 4 + 1 + 2，要函数 ( )有两个零点，则必有 4 + 1 + 2 < 0，
解得 > 4 + 4 2，此时，当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ( )趋近于正无穷大， (1) = 2 > 0，
因此当且仅当 > 4 + 4 2 时，函数 ( )恰有两个零点，
所以实数 的取值范围是 ∈ (4 + 4 2, + ∞)．
19.(1)已知 = { (2 1), (2 2), …, 2, 1,0,1,2, ……, (2 1)}( ∈ )，
当 = 2 时，2 1 = 3，所以 2 = { 3, 2, 1,0,1,2,3}，
根据 的定义，需满足 1， 2， 3 ∈ 2， 1 < 2 < 3且 1 + 2 + 3 = 0．
设 2 = 0，则 1 = ， 3 = ，
当 = 1 时，三元组为( 1,0,1)；
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当 = 2 时，三元组为( 2,0,2)；
当 = 3 时，三元组为( 3,0,3)，设 1 < 2 < 0 < 3，则 3 = ( 1 + 2)，
取 1 = 2， 2 = 1，则 3 = ( 2 1) = 3，三元组为( 2, 1,3)，
设 1 < 0 < 2 < 3，则 1 = ( 2 + 3)，
取 2 = 1， 3 = 2，则 1 = (1 + 2) = 3，三元组为( 3,1,2)，
所以 2 = {( 3,0,3)，( 3,1,2)，( 2, 1,3)，( 2,0,2)，( 1,0,1)}．
(2)证明：当 ∈ 时， = { (2 1), (2 2), , 2, 1,0,1,2, , (2 1)}．
对于集合 ， 1 + 2 + 3 = 0 且 1 < 2 < 3， ∈ ．
当 1 = (2 1)时， 2 + 3 = 2 1，
则( 2, 3)可以为(0,2 1)，(1,2 2)， ，(( 1), + 1)，共 组．
当 1 = (2 2)时， 2 + 3 = 2 2，
则( 2, 3)可以为(0,2 2)，(1,2 3)， ，( 1, )，共 1 组．

当 1 = 1 时， 2 + 3 = 1，则( 2, 3) = (0,1)，共 1 组．
所以 = 1 + 2 + + = 2 ( + 1)．
则 +1 = 2( + 1)( + 2) 2 ( + 1) = + 1．
因为( +2 +1) ( +1 ) = ( + 2) ( + 1) = 1(常数)，
= 2×3 1×2且 2 1 2 2 = 2，
所以数列{ +1 }是以 2 为首项，1 为公差的等差数列．
(3)证明：设从集合 中取出的 2 + 1 个不同的数为 1 < 2 < < 2 +1．
假设不存在三个不同的数 1， 2， 3，使得 1 + 2 + 3 = 0．
考虑 1， 2， ， 2 +1中最小的数 1 = (2 1)，为了不满足 1 + 2 + 3 = 0，
与 1相加和为 0 的数 2 1 不能同时取到；
同理对于 2 = (2 2)，2 2 也不能同时取到等．
将集合 中的数分成 组：{ (2 1), 2 1}，{ (2 2), 2 2}， ，{ 1,1}，另外还有单独的 0．
从这 2 + 1 个数中取数，根据抽屉原理，因为总共取 2 + 1 个数，而上述分组有 组再加上 0 这一组，共
+ 1 组．
如果不存在满足 1 + 2 + 3 = 0 的三个数，那么每组中最多取 2 个数(除了 0 单独考虑)，这样最多取 2
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个数，这与取了 2 + 1 个数矛盾．
所以这 2 + 1 个数中一定存在三个不同的数 1， 2， 3，使得 1 + 2 + 3 = 0，即( 1, 2, 3) ∈ ．
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