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2024-2025学年吉林省普通高中 G8教考联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.已知复数 满足 = 1 ，则复数 的虚部为( )
A. B. 1 C. 2 D. 2
2.已知圆锥的侧面积为 2 ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为( )
A. 3 B. 62 C. 2 D. 3
3.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在
如图分布形态中， ， ， 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A. < <
B. < <
C. < <
D. < <
4.如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 .现测得∠ = 75°，
∠ = 60°， = 50 ，在点 测得塔顶 的仰角为 30°，则塔高 为( )
A. 25
B. 25 3
C. 25 2
D. 25 6
5.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ， ∩ = ，则 //
B.若 // ， ，则 //
C.若 ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
6.围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流.在用户出行旅游决策中，某
机构调查了某地区 1000 户偏爱酒店的用户与 1000 户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，
得到统计图，则下列说法中不正确的是( )
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A.偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高
B.在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等
C.小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等
D.在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高
7.“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭
投入壶中.甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没
1 1
有入壶，那么换另一个人投掷.若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为2，3，甲先开始投掷，则第 4 次仍
然由甲投掷的概率为( )
A. 4 B. 79 24 C.
1 41
8 D. 72

8.已知非零向量 与 满足( + ) = 0，且| | = 2 2, | + | = 6 2，点 是△ | | | |
的边 上的动点，则 的最小值为( )
A. 1 B. 14 C.
1
5 D.
7
8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )

A.若点 的坐标为( 1,1)，则 对应的点在第三象限
B.若| 1| = | 2|，则 1 =± 2
C.若| | = 1，则 1 < | 2| < 3
D.复数 = 1 2 是方程 2 + 2 + 5 = 0 在复数范围内的一个解
10.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是 1”为事件 ，“第二次向上的点数是偶数”
为事件 ，“两次向上的点数之和是 8”为事件 ，则( )
A. 与 相互独立 B. 与 7互斥 C. ( + ) = 12 D. ( ) =
1
6
11.如图，矩形 中， 为 的中点， = = 1，将△ 沿直线 翻折成 1 ，连结 1 ，
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为 1 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A.存在某个位置，使得 ⊥
B. //平面 1
C.异面直线 与 1所成的角的余弦值为
5
5
D.当三棱锥 1 的体积最大时，三棱锥 1 的外接球的表面积是 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 ， 是夹角为 60°的两个单位向量，若向量 + 在向量 上的投影向量为 2 ，则 = ______．
13.《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图几何体是一个
刍童，其上下底面都为正方形，边长分别为 6 和 2，
侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为 2 2，则该几何体的体积为______．
14 1+ 1 1.在锐角△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = ，则 + 2 的取值范围
为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且满足sin2 sin2 = sin2C.
(1)求角 ；
(2)设点 为边 中点，且 = 2，求 + 最大值．
16.(本小题 15 分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是
文明城市的主要创造者.长春市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如
图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)试估计样本成绩的平均数和上四分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是 54，方差是 7，落在[60,70)的平均成绩为 66，方差是 4，求两组成绩合

并后的平均数 和方差 2．
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17.(本小题 15 分)
如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形， = 2， = ， ∩ = ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若二面角 为 60°，且 = 2 2，求 与平面 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名
4 3
著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛.已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为5 , 4，通过
第二轮的概率分别为 1， 2( 1, 2 ∈ (0,1))，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加．
(Ⅰ)若 21 = 3，求甲没有进入决赛的概率；
(Ⅱ)若 1 =
2
3， =
3
2 5，求甲、乙均只通过一轮的概率；
(Ⅲ) = 2 15 16设甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为 1，两人均进入决赛的概率为 2，若 1 2，求 +1 2
的值．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，侧面 ⊥平面 ，△ 是边长为 2 的等边三角形，底面 为直角
梯形，其中 // ， ⊥ ， = = 1， 为线段 中点，连接 ．
(1)证明： //平面 ；
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(2)求 到平面 的距离；
(3)线段 上是否存在一点 ，使得平面 15 与平面 夹角的余弦值为 5 ？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.1043
14.( 5 33 , 3)
15.(1) ∵ sin2 sin2 = sin2C.
由正弦定理得： 2 2 = 2，
即 2 + 2 2 = ，
2 2 2
∴ = + 2 =
1
2，
又 ∈ (0, )，
∴ = 2 3；
(2) ∵ 为边 中点，
∴ = 1 ( 2 +
)，
∴
2
= 14 (
+ )2 = 14 (
2 + 2 + ) = 1 [( + )2 54 2 ] = 4，
∴ 5 = ( + )2 16 ≤ 5 × ( + 2 5 22 2 2 ) = 8 ( + ) ，
∴ + ≤ 8 63 (当且仅当 = 时取等号)，
∴ + 8 6最大值为 3 ．
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16.(1)根据题意可得(0.005 + 0.010 + 0.020 + + 0.025 + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.030；
(2)估计样本成绩的平均数为：

= (45 × 0.005 + 55 × 0.010 + 65 × 0.020 + 75 × 0.030 + 85 × 0.025 + 95 × 0.010) × 10 = 74；
因为各组的频率依次为 0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1，
0.75 0.05 0.1 0.2 0.3
所以上四分位数(80,90)内，且为 80 + 0.025 = 84；
(3)由题成绩在[50,60)有 100 × 0.1 = 10 人，
成绩在[60,70)有 100 × 0.2 = 20 人，
10×54+66×20
则这两组成绩的总平均数为 = 10+20 = 62，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
2 = 1030 × [7 + (54 62)
2] + 2030 × [4 + (66 62)
2] = 37．
17.(1)证明：因为 为正方形，所以 ⊥ ，
因为 = ， 为 中点，所以 ⊥ ，
又 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
平面 .所以 ⊥ ．
(2)由(1)得 ⊥ ， ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，即∠ = 60°，
= 2，则 = 2，又 = 2 2，
则 2 = 2 + 8 2 × 2 × 2 2 × 12 = 6，
因为 2 + 2 = 2，可得 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ，且 平面 ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，则 ， ， 两两互相垂直，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
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有 (0,0, 6), (0,2,0), (2,0,0), (2,2,0)，
则 = (0, 2, 6), = (0,2,0), = ( 2,0, 6)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
⊥ 则 ，则 = 0 2 + 6 = 0
⊥
，即为 ，
= 0 2 = 0
取 = ( 6, 0,2)，
设 与平面 所成角为 ，
则 = |cos , | = | 2 6 6，10× 6+4 | = 5
= 1 sin2 = 19，5
故 与平面 所成角的余弦值为 19．
5
18.(Ⅰ) 4 3甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为5 , 4，
通过第二轮的概率分别为 1， 2( 1, 2 ∈ (0,1))，
每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加．
∵ 4每次是否通过互不影响，甲同学通过第一轮的概率分别为5，
2 4 2 8
通过第二轮的概率为 1 = 3，甲进入决赛的概率5 × 3 = 15，
∴ 8 7甲没有进入决赛的概率 1 15 = 15；
(Ⅱ) 4 3甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为5 , 4，
2 3
通过第二轮的概率分别为 1 = 3 , 2 = 5，
4 2 4 2 2
甲只通过一轮的概率为：5 × (1 3 ) + (1 5 ) × 3 = 5，
3 3 3 3 9
乙只通过一轮的概率为：4 × (1 5 ) + (1 4 ) × 5 = 20，
∵甲、乙的比赛情况相互独立，
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∴ 2 9 9甲、乙均只通过一轮的概率5 × 20 = 50；
(Ⅲ)设甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为 1，两人均进入决赛的概率为 2，
4 3
甲进入决赛的概率为5 1；乙进入决赛的概率为4 2，
两人都不进入决赛的概率为(1 45 1)(1
3
4 2)，
4
甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为 1 = 1 (1 5 1)(1
3
4 2)，
4 3
两人均进入决赛的概率为 2 = 5 1 × 4 2 =
3
5 1 2，
= 2 4 3 3若 1 2，所以 1 (1 5 1)(1 4 2) = 2 × 5 1 2，
15+ 16即 = 36．1 2
19.解：(1)证明：在四棱锥 中，取 中点 ，连接 ，
由 为 的中点，且 = 2， = 1 1，得 // // ， = 2 = 1 = ，
则四边形 为平行四边形， // ，而 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 ， ，由△ 为等边三角形，得 ⊥ ，
而平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，由 = = 1， / / ，得四边形 是平行四边形，
于是 // ，而 ⊥ ，则 ⊥ ，直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 (0, 1,0), (0,1,0), (1,0,0), (1, 1,0), (0,0, 3)， = (1,0, 1), = ( 1,1,0)，
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设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = + 3 = 0则 ，则
⊥
，
= + = 0
取 = 1，得 = ( 3, 3, 1)，
又 = (0,1,0)，

= |
| 3
所以 到平面 的距离 | | = 7 =
21
7 ，
因为 //平面 ，
所以 到平面 的距离为 到平面 21的距离，即 7 ．
(3)令 = = (0, , 3 ), ∈ [0,1]，
= + = (0,1, 3) + (0, , 3 ) = (0,1 + , 3 3 )， = (1,1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 ⊥
= + = 0
，则 ，
⊥ = (1 + ) + ( 3 3 ) = 0
取 = 3( 1)，得 = ( 3(1 ), 3( 1), + 1)，
平面 的法向量为 = (0,0, 3)，
|cos <

, > | = | | = 3( +1) = 15于是
|
，
|| | 3 7 2 10 +7 5
化简得 2 2 5 + 2 = 0，又 ∈ [0,1]，
= 1 1解得 2，即 = 2，
15 1所以线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ， = 2．
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