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2024-2025 学年吉林省长春市外五县高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算： 33 + 37 =( )
A. 6 B. 35 C. 41 D. 45

2.根据成对样本数据建立变量 关于 的经验回归方程为 = 2.5 + 1.2.若 的均值为 6.2，则 的均值为( )
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
3 1.已知( 3 + ) ( ∈
)的展开式中含有常数项，则 的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布 (100, 2)( > 0)，试卷满分 150 分，
1
统计结果显示数学成绩高于 120 分的人数占总人数的6，数学考试成绩在 80 分到 100 分(含 80 分到 100
分)之间的人数为 900，则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A. 1600 B. 1800 C. 2100 D. 2700
5.如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省
地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有 4 种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )
A. 96 B. 144 C. 480 D. 600
6.( 1)4( 2 2 + 2)的展开式中， 2的系数与常数项之差为( )
A. 20 B. 19 C. 8 D. 15
7.已知函数 ( ) = + 2 ，记 = ( 2), = ( 3), = ( 0.24 )，则 ， ， 的大小关系
为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
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8 1.某同学喜爱球类和游泳运动.在暑假期间，该同学上午去打球的概率为3，若该同学上午去打球，则下午一
1
定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为4 .已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率
为( )
A. 23 B.
3
4 C.
1
3 D.
1
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A.某学校有 2025 名学生，其中男生 1013 人，女生 1012 人，现选派 10 名学生参加学校组织的活动，记
男生的人数为 ，则 服从超几何分布
B.若随机变量 的均值 ( ) = 2025，则 ( 1) = 2024
C.若随机变量 的方差 ( ) = 2，则 (3 + 2025) = 6
D.随机变量 ～ (2025,0.5)，则 ( ≤ 1012) = ( ≥ 1013)
10.以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有( )
A.第 100 行中，从左到右看第 50 个数最大
B.第 100 行的所有数的和为2100
C. + +1 = +1 +1
D. 3 33 + 4 + 35 + + 3 = 415 16
11 3.已知函数 ( ) = 16 3 + + 8，则下列说法正确的是( )
A. ( ) 1在( 2 ,
1
2 )上是减函数
B. ( ) 1 1的单调递增区间为( ∞, 2 )和( 2 , + ∞)
C. ( )恰有一个零点
D. ( )的极大值大于极小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = ( 2 + 2 ) + 2 在点(1,2)处的切线方程为______．
13.由 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列(由高数位
到低数位)，这样的七位数有______个.
14.某校高一新生组织数学竞赛选拔测试，一共 30 道试题，规定答对一题得 5 分，答错一题扣 1 分.已知小
明同学每道题答对的概率为 0.8，每道题答对与否互相独立，则小明同学总得分的均值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
人们曾经相信，艺术家将是最后被 Ⅰ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是
Ⅰ第一次引起人类的恐慌，由 Ⅰ， 2 等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与
人类绘画作品无异， Ⅰ会取代人类画师吗？某机构随机对 60 人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有
42 2人，30 岁以下认为不会取代的有 12 人，占 30 岁以下调查人数的5．
(1)根据以上数据完成如下 2 × 2 列联表：
理解情况
年龄 总计
会取代不会取代
30 岁以下 12
30 岁及以上
总计 42 60
(2)依据小概率值 = 0.010 的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
16.(本小题 15 分)
盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品
种种子的密度(单位： / 3)进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于 1.2 的
种子为优种，小于 1.2 的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为 0.8 和 0.5．
(1)估计这批种子密度的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(2)用频率估计概率，从这批种子(总数远大于 2)中选取 2 粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为 ，求随
机变量 的分布列和数学期望(各种子的萌发相互独立)．
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17.(本小题 15 分)
某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从 15 岁人群中选取了 9 人，测得他们的身高(单位： )
和体重(单位： )，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值
身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164
体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52
(1)若两组变量间的样本相关系数 满足 0.8 ≤ | | < 1，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高
度相关，说明理由( 精确到 0.01)；
(2)建立 关于 的经验回归方程，并预测某同学身高为 180 时，体重的估计值(保留整数)．

参考数据：9 =1 ( )
2 = 400，9 =1 ( )
2 = 220，9 =1 = 77000， = 8528， 55 ≈ 7.4．

参考公式：样本相关系数 = =1 ( )( ) ，经验回归方程 = + 中斜率和截距最小二乘估计
2 2 =1 ( ) =1 ( )

公式分别为： =
=1 ( )( )
， = ． =1 ( )2
18.(本小题 17 分)
( ) = 已知函数 (0 ≤ ≤ )， > 0， =

2为 ( )的极值点．
(1)求 的最小值；
(2)若关于 的方程 ( ) = 1 有且仅有两个实数解，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
1 2
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为2，乙射击一次命中的概率为3，比赛共进行
轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击 次，每次命中得 2 分，未命中得 0 分；
方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得 6 分，并继续射击；若本次未命中，则得 0 分，并终止射
击．
(1)设甲同学在方案一中射击 轮次总得分为随机变量 ，求 ( 20)；
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定 的最小值，使得当 ≥ 时，甲的总得分期望大
于乙．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5 3 = 0
13.90
14.114
15.解：(1)完成 2 × 2 列联表如下：
理解情况
年龄 总计
会取代不会取代
30 岁以下 18 12 30
30 岁及以上 24 16 30
总计 42 18 60
(2)设 0为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关，
2 = 60×(24×12 18×6)
2
由题意， 42×18×30×30 ≈ 2.857 < 6.635 = 0.010，
所以根据小概率 = 0.010 的独立性检验，我们推断 0成立，
即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于 0.010．
16.(1)估计种子密度的平均值为(0.7 × 0.5 + 0.9 × 0.6 + 1.1 × 0.9 + 1.3 × 1.4 + 1.5 × 1.1 + 1.7 × 0.5) ×
0.2 = 1.24( / 3)；
(2) 3由频率分布直方图知优种占比为(1.4 + 1.1 + 0.5) × 0.2 = 5，
3 4 3 1 17
任选一粒种子萌发的概率 = 5 × 5 + (1 5 ) × 2 = 25．
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因为这批种子总数远大于 2，所以萌发的种子数 符合二项分布 ～ (2, )，
所以 可取的值为 0，1，2，
所以 ( = 0) = 0 0 2 8 82 (1 ) = 25 × 25 =
64
625，
( = 1) = 12 (1 ) = 2 ×
17 × 8 = 27225 25 625，
( = 2) = 2 22 (1 )0 =
17
25 ×
17
25 =
289
625，
所以 的分布列为：
0 1 2
64 272 289
625 625 625
所以期望 ( ) = 0 × 64 + 1 × 272625 625 + 2 ×
289 34
625 = 25 = 1.36，
故期望值为 1.36．
17. 解：(1) =19 ( )( ) =
=1
9 9 = 77000 8528 × 9 = 248，
=1

(
因为 = 9
)( ) = 248 = 248
=1

( )2 =1 ( )2 400×220 40 55
≈ 0.84，
9 9
所以 0.8 ≤ | | < 1，即身高与体重间是高度相关的；
=1

9 ( )( )(2)因为 = 248 =1 2 = 400 = 0.62，9 ( )

所以 = = 52 0.62 × 164 = 49.68，

所以体重关于身高的回归方程为 = 0.62 49.68，
所以当 = 180 时， ≈ 62 ，
即某同学身高为 180 时，体重大概为 62 ．
18. (1) ( ) = + + 解： ′ ，
( ) = 依题意， ′ 2 = 0.所以 = 0， 2
所以 = ，
设 ( ) = ( ) = 1 1，则 ′ =
1
，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 = 1 时， ( )取得最小值 (1) = 1，
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所以 的最小值为 1；
(2) (1) ( ) = ( )由 可知， ，
( ) = 1 1令 ，则 = ，
设 ( ) = ，则 ′( ) =
2
，
当 ∈ (0, 2 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( 2 , )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

且 (0) = 1, ( 2 2 ) = , ( ) = ，

所以 ∈ ( 2, ].
19.解：(1)设甲同学在方案一中射击 轮次，射中的次数为 ，则 = 2
1
，且 ～ ( , 2 )，
所以 ( ) = 2 ( ) = ，
故 E( 20) = 20．
(2)由(1)知 ( ) = ，
设乙同学的总得分为随机变量 ， 的所有可能取值为 0，6，12， ，6 ，
1 2 1 2 1 2
所以 ( 1 = 0) = 3， ( = 6) = 3 × 3， ， ( = 6 ) = ( 3 ) × 3， ， ( = 6 6) = ( 3 ) ×
1
3， ( =
6 ) = ( 23 )
，
( ) = 1 6 × ( 2 ) × 1所以 =1 3 3 + 6 × (
2 ) 3 = 2
1
=1 × (
2
3 ) + 6 × (
2
3 ) ，
= 1 × ( 2设 2 =1 3 ) = 1 × 3 + 2 × (
2
3 )
2 + + ( 1) × ( 2 ) 13 ，
2 2
则 = ( )2 + 2 × ( 2 )3 + + ( 2) × ( 2 ) 1 2 3 3 3 3 + ( 1) × ( 3 ) ，
1 2 2 2
两式相减得，3 =
2
3 + ( 3 ) + + ( 3 )
1 ( 1) × ( 2 ) = 2[1 ( 2 ) 13 3 ] ( 1) × (
2 ) 3 ，
2 2
所以 = 6[1 ( ) 13 ] 3( 1) × ( 3 )
，
2
代入 ( )，得 ( ) = 12 12 × ( ) 1 3 6( 1) × (
2 ) 3 + 6 × (
2
3 )
= 12 8 × ( 2 13 ) ，
设 ( ) = ( ) ( ) = + 8 × (
2 1
3 ) 12，
当 ≥ 12 时， ( ) > 0，且 (11) < 0，
故满足题意的 最小值为 12．
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