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2024-2025 学年贵州省黔西南州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{ }为公差不为 0 的等差数列，若 = 10 5 + 3，则 =( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2.过原点且与圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 5 相切的直线 的方程为( )
A. + 2 = 0 B. 2 = 0 C. 2 + = 0 D. 2 = 0
3.已知函数 = ( )的图象是下列四个图象之一，且其导函数 = ′( )的图象如图所
示，则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
4.若随机变量 ～ (4, 2)，且 ( < ) = ( > 2 )，则 2 + 2有( )
A. 64 64 8 5 8 5最大值 5 B.最小值 5 C.最大值 5 D.最小值 5
5.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为( )
A. 1 B. 3 C. 33 154 6 6 D. 4
6.已知(1 + ) 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列，则 =( )
A. 11 B. 14 C. 11 或 23 D. 14 或 23
7.某班级学生男生占 60%，女生占 40%，男生近视率为 30%，女生近视率为 25%.随机选一人发现近视，
则此人是男生的概率为( )
A. 1 3 9 32 B. 5 C. 14 D. 4
8.设 ， ∈ ，若对任意 > 0 不等式 2 + (6 1) ≥ 恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A. ≤ 1 B. ≤ 1 C. ≥ 1 D. ≥ 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 ～ ( , )，0 < < 1， ∈ ，则( )
A. 1若 ( ) = 3 ( )，则 = 2 B.若 2 = 1， ( ) = 2，则 ( ) =
1
2
C.若 ( + ) = 4 ( )，则 = 2 D.若 = 3，则 ( ) ( ) 4有最大值3
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10.某高校安排男生甲、乙、丙和女生 、 到 3 家公司实习，每人只安排一家公司，则( )
A.共有53种安排方式
B.每家公司至少有一人的不同安排共有 150 种
C. 16丙独自一人在一家公司的概率为81
D. A、 在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有 30 种
11.已知函数 ( ) 2 + ( 2) ，则( )
A.当函数 ( )是单调函数时， ∈ ( ∞,0)
B.若 = 2 1，则 ( )的最小值为2+ 2
C.若 ( )恰有两个零点，则 ∈ (0,1)
D.当 = 1 时，曲线 = ( )有且仅有 1 条过原点的切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( ) = + 1 ( ) = 3 ( .已知函数 ， ′ 4 ，则 ′ 4 ) = ______．
13.在线性回归分析模型中，变量 与 相对应的四组数据为( 1,1.5)，(1,0.5)，(2,0)，(4, 1)， 2表示解
释变量对于预报变量变化的贡献率，则 2 =______．

=

=1 ( )( ) = =1
2
附： 2 2 2 ， = ，
2 = 1 =1 ( ) ．
=1 ( )
2
=1 =1 ( )
14.九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源
于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将
1～9 的自然数填入九个格中，如图 1 的九宫格，“？”处应填的数字是______；如图 2，不同的九宫格共
有______种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( )2在 = 2 处有极小值．
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(1)求 的值及 ( )的极小值；
(2)记点 (2, (2))，求过点 且与曲线 = ( )相切的直线方程．
16.(本小题 15 分)
素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——
万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩.某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔
西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了 2024 年 1 月至 5 月的数据统计如
下：
月份 游客数量 (单位：百万人) 旅游消费总额 (单位：亿元)
1 月 2.2 19.8
2 月 3.6 32.3
3 月 4.5 41.6
4 月 4.9 46.5
5 月 6 55.4
参考数据：5 2 =1 = 98.06，
5
=1 = 907.29．
(1)请根据上述数据，用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程(结果精确到 0.01)；
(2)从 2024 年 5 月游客中获取了容量为 200 的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客 150 名，参观马岭
河峡谷的游客 100 名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客 70 名.依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，
能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？

2
附： = =1
( )( ) = =1

2 2 2 , = ,
2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ． =1 ( ) =1
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17.(本小题 15 分)
2025 年 1 月，人工智能( )领域被一颗重磅炸弹彻底引爆—— 以令人惊叹的速度迅速走红，成为
全球瞩目的焦点，它以“低成本，高性能，开源普惠”重构了 行业的竞争格局.黔西南州某中学高二年级
学生小王拟使用 生成范文以提升写作技能，需输入“作文标题”+“关键词”获取范文，若首次
输入生成的范文满足需求(即“满意”)，则停止输入；若不满意，则仅需修改“关键词”重新输入，以此类
1 1
推，至多修改 3 次.已知第 次( ∈ )输入获得“满意”范文的概率为 = 1 × ( ) 1( ∈ 5 2 )，每次输入
结果相互独立．
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(1)求小王输入 3 次才获得“满意”范文的概率；
(2)设小王输入次数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
已知 1( 2,0)， 2(2,0)， 为坐标原点，动点 满足| 1| | 2| + | |2 = 12．
(1)求点 的轨迹方程；
(2) ， 是点 轨迹上的点，且 △ = 2 2，记直线 ， 的斜率分别为 1， 2，证明： 1 2为定值，
并求出该定值．
19.(本小题 17 分)
已知 > 0， ∈ ， < 0，设函数 ( ) = 2 2 , ( ) = ，且 ( )与 ( )的最大值相等．
(1)求 ， 间的等量关系；
(2)( )证明： ( )与 ( )都恰有 1 个零点；
( )记 ( )的零点为 1， ( )的零点为 2，证明： 1 = 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.1
14.6 8
15.(1) ( ) = ( )2，导函数 ′( ) = ( )2 + 2 ( ) = ( )(3 )，
因为函数 ( )在 = 2 处有极小值，得 ′(2) = 0，解得 = 2 或 = 6，
当 = 2 时，导函数 ′( ) = 3( 2)( 23 )，
( ) < 0 2 2由 ′ ，解得3 < < 2；由 ′( ) > 0，解得 < 3或 > 2，
那么函数 ( ) 2在( 3 , 2)上单调递减，在( ∞,
2
3 ), (2, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在 = 2 处有极小值， = 2 符合题意；
当 = 6 时，导函数 ′( ) = 3( 2)( 6)，
由 ′( ) < 0，解得 2 < < 6；由 ′( ) > 0，解得 < 2 或 > 6，
那么函数 ( )在(2,6)上单调递减，在( ∞,2)，(6, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在 = 2 处有极大值，不符合题意，
那么 = 2，函数 ( ) = ( 2)2的极小值 (2) = 0．
(2)根据第一问知，点 (2,0)，
设过点 的直线与 = ( )相切的切点为( , ( 2)2)，
而 ′( ) = ( 2)(3 2)，那么切线为 ( 2)2 = ( 2)(3 2)( )，
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那么 0 ( 2)2 = ( 2)(3 2)(2 )，即 ( 2)2 = ( 2)2(3 2)，解得 = 2 或 = 1，
因此切线为 = 0 或 + 2 = 0．
16. (1)根据题意可知， = 4.24， = 39.12，
5
= =1 5 则 2 =
907.29 5×4.24×39.12 = 77.946 ≈ 9.54，
=1 5 2 98.06 5×4.24
2 8.172

= 39.12 9.54 × 4.24 = 39.12 40.4496 ≈ 1.33，

所以 关于 的经验回归方程为 = 9.54 1.33；
(2)依题意，2 × 2 列联表为：
参观马岭河峡谷未参观马岭河峡谷总计
参观万峰林 70 80 150
未参观万峰林 30 20 50
总计 100 100 200
零假设 0：游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联，
2 = 200(70×20 30×80)
2 8
100×100×150×50 = 3 ≈ 2.667 < 2.706 = 0.1，
依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，没有充分的证据说明推断不成立，
即认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联．
17.(1) 4 1 1 9由题， 1 = 5 , 2 = 1 5 × 2 = 10 , 3 = 1
1
5 × (
1 2 19
2 ) = 20，
1 1 19 19
因此概率为：(1 1)(1 2) 3 = 5 × 10 × 20 = 1000．
(2)由题， 的可能值为 1，2，3，4，
( = 1) = 45 , ( = 2) = (1
4 ) × 9 9 4 9 19 195 10 = 50 , ( = 3) = (1 5 ) × (1 10 ) × 20 = 1000，
( = 4) = (1 45 ) × (1
9
10 ) × (1
19
20 ) =
1
1000，
因此 的分布列为：
1 2 3 4
4 9 19 1
5 50 1000 1000
( ) = 1 × 4+ 2 × 9 + 3 × 19 1 12215 50 1000 + 4 × 1000 = 1000．
18.(1)设 ( , )，
因为| 1| | 2| + | |2 = 12，
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所以 ( + 2)2 + 2 ( 2)2 + 2 + 2 + 2 = 12，
即 ( 2 + 2 + 4) + 4 ( 2 + 2 + 4) 4 = 12 ( 2 + 2)，
所以 16 2 + 32 2 = 128，
整理得
2 2
8 +
，
4 = 1
2 2
则点 的轨迹方程为 + ；8 4 = 1
(2)证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， △ =
1 | || |sin∠ = 1 (| || |)2 ( 2 2 )
2
= 12 (
2
1 + 21)( 22 + 22) ( 1 2 + )2
1 2
1 2 = 2 1
2
2 2 2 21 2 1 2 + 2 1 = 2 2，
则 2 2 2 + 2 21 2 1 2 1 2 2 1 = 32，
因为 ， 两点均在曲线上，
所以 2 + 2 2 = 8, 2 21 1 2 + 2 2 = 8，
所以
64 = ( 2 2 2 21 + 2 1)( 2 + 2 2) = 2 2 2 21 2 + 4 1 2 + 2( 21 22 + 2 22 1)
= 21 22 + 4 2 2 21 2 + 2(32 + 2 1 2 1 2) = ( 1 2 + 2 1 2) + 64，
可得 1 2 = 2 1 2，
所以 = 1 21 2 =
1 2 = 1，
1 2 1 2 2
则 1
1
2为定值，定值为 2．
19.(1)由题意，函数 ( )的定义域为 ， ′( ) = (1 2 ) 2 ， > 0，
当 < 12时， ′( ) > 0
1
；当 > 2时， ′( ) < 0，
函数 ( )在( ∞, 12 )
1
上单调递增，在( 2 , + ∞)上单调递减，
所以 ( )的最大值为 ( 12 ) =

2 ；
2 (1 )
函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2 ，
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当 = 0 时， ( ) = < 2 ，不符合题意；
当 < 0 时，由 ′( ) < 0，得 0 < < ；由 ′( ) > 0，得 > ，
函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增， ( )无最大值，不符合题意；
当 > 0 时，由 ′( ) > 0，得 0 < < ；由 ′( ) < 0，得 > ，
( ) 2 函数 在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，所以 ( )的最大值为 ( ) = ，
2
由 ( )与 ( )的最大值相等，得2 = ，所以 = 4 ．
(2) 证明：(ⅰ)由(1)知函数 ( ) = 2
1 1 1
在( ∞, 2 )上单调递增，在( 2 , + ∞)上单调递减，而 < 0， ( 2 ) > 0，
当 > 0 时， ( ) > 0，当 趋近于负无穷大时， ( )趋近于负无穷大，因此函数 ( )有唯一零点；
( ) = 2 函数 在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减， ( ) > 0，
当 > 1 时， ( ) > 0，当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ( )趋近于负无穷大，因此函数 ( )有唯一零点，
所以 ( )与 ( )都恰有 1 个零点．
(ⅱ)依题意， ( 1) = 0
1 2 2
2
= ， 1 < 0； ( 1 2) = 0 = ，0 < 2 < 1，2
2 2
则 2 = 1 = 4 1 > 0 2 = 2 1 =
1
2 2 ，而 ，因此 2 2 ，0 <
2 1 < 1，
2 1 1 2 1 1
1
令函数 ( ) = , 0 < < 1，求导得 ′( ) = 2 > 0，函数 ( )在(0,1)上单调递增，
2
而 2
1
= 2 ( 2) = (
2 1) = 2 1 ，因此 12 ，由 2 = ，得 1 = 2 1，2 1 1
所以 1 = 2．
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