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复兴中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．
2．1与9的等差中项为________．
3．已知，，若，则实数________．
4．若复数满足，为虚数单位，则的实部为________．
5．已知，则________．
6．已知向量，向量，则在上的数量投影为________
7．已知等差数列满足，则________．
8．已知为虚数单位，则________．
9．设为等比数列的前项和，若，则实数________．
10．已知复数满足，则的最小值为________．
11．如图，由一个正方形与正三角形（点在下方）组成一个“风筝骨架”，为正方形的中心，点是“风筝骨架”上一点，设（、），则的最大值是________．
12．对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________．
二、选择题（其中13~14题，每题4分，15~16题每题5分，共18分）
13．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
15．已知向量，，，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
16．已知（是正整数）是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为．若，，，．有下列两个命题：①既存在最小项又存在最大项；
②既存在最小项又存在最小项．则（ ）．
A．①真；②真 B．①真；②假 C．①假；②真 D．①假；②假
三、解答题（14+14+14+18+18=78分）
17．已知复数，为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
18．设是等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值．
19．已知、为单位向量，且与的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
20．我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有24个长5米，宽2．5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场顾经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中．
（1）若，求和的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）若，按照顾经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？
21．如图，已知，，，点是的外接圆优
弧上的一个动点（含端点、），记．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数；
（3）设点满足，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________．
【答案】
【解析】当时，为在上为减函数，
所以，
由，则，即
解得或，不合题意．
当时，有，，
由，则，可得．
当时，有，，不合题意；
当时，有，，适合题意；
当时，的区间长度不小于，故，适合题意．
综上正数的取值范围为或．故答案为：或．
二、选择题
13.A 14.C 15.D 16.
15．已知向量，，，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，向量，则，
则（，又由，则有，
则有，即的取值范围是．故选：D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有24个长5米，宽2．5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场顾经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中．
（1）若，求和的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）若，按照顾经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？
【答案】（1）米，米 （2） （3）13个
【解析】（1）由题意得
则，即．
由，可得，则米，
（2）由（1）可得，
，故．
（3）由，可得，即．
设，则
整理得，解得．由，可得．
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，符合题意．
设改造后停车位数量的最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为，
则顶点到线段的距离为
由图及题意可知,则．
因为，所以，
，则．
由题可知，即，解得，则取，
故该路段改造后的停车位比改造前增加了
21．（1） （2） （3）略

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