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2024-2025 学年福建省福州三中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,8}， = { | ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1} B. {1,2} C. {1,4} D. {1,2,4}
2.“ < 2”是“关于 的不等式 2 2 + < 0 有实数解”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.( 1)10的展开式的第 6 项的系数是( )
A. 6 6 510 B. 10 C. 10 D. 510
4.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)，若 ( > 3) = 0.1，则 (1 ≤ ≤ 2) =( )
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
5.已知 ， 都是锐角， = 35 , cos( + ) =
3
5，则 的值为( )
A. 16 16 7 725 B. 25 C. 25 D. 25
6 3.已知定义在 上的奇函数 ( )的图象关于直线 = 1 对称.当 ∈ [ 1,0)时， ( ) = 2 + 2，则 ( 2 ) =( )
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
7.已知函数 ( ) = 3 + cos2 + 12 ( > 0)在区间[0, ]上只有一个零点和两个最大值点，则
的取值范围是( )
A. [ 2 11 2 5 7 5 7 113 , 12 ) B. [ 3 , 3 ) C. [ 6 , 3 ) D. [ 6 , 12 )
8.已知△ 是锐角三角形，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， .若 2 2 = ，则 + 的取值范围是
( )
A. ( 3 23 , 2 ) B. (
3
3 ,
3 6 3 6 6
2 ) C. ( 3 , 2 ) D. ( 3 , 2 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设 ， 1 1为一次随机试验中的两个事件.若 ( ) = 4， ( | ) = 3， ( ) =
1
8，则( )

A. ( ) = 34 B. ( | ) =
1
2 C. ( ) =
1
4 D. ( ) =
7
8
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10.如图，点 ， 是函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < 2 ) 3的图象与直线 = 2 相邻的两个交点，且
| | = 5 12， ( 12 ) = 0，则( )
A. = 4
B. = 5 3
C.函数 ( )在( 3 , 2 )上单调递减
D. 若将函数 ( )的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图象，则| |的最小值为24
2
11 .数学中有许多形状优美的曲线，曲线 ：2 + = 1 就是其中之一，下列选项中关于曲线 的说法正确
的有( )
A.当 ∈ [ 8,8]时，曲线 与 轴有 4 个交点
B.曲线 图像关于 = 2对称
C. 当 ∈ [ 2 , 0]时，曲线 上的一点 到原点距离的最大值为 2
D.当 ∈ [0, 2 ]时，曲线 上的一点 到原点距离的最小值大于 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 4 2 + 2 3 1 = 0，则 的最大值为______．
13.在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称.若 = 2，则 sin( +
3 ) = ______．
14.已知甲袋中有 1 个白球和 2 个黑球，乙袋中有 2 个白球，这 5 个球除颜色外无其他差异.现从甲、乙两
袋中各取出 1 个球，交换后再放入甲、乙两袋中(即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋).
如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作 ，则 ( ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1

，且数列{ }是公差为 1 的等差数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 1若数列{ }满足 = , ( ∈ )， 为数列{ }的前 项和，求 ． +1
16.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 3( )．
(1)求 ；
(2)若 = 6， 为△ 的角平分线，且 = 1，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
“英才计划”最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2023 年已经培养了 6000 多名
具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学挑选优秀学生参加数学和物理学科
夏令营活动．
(1)若参加数学学科夏令营的 7 名中学生中恰有 3 人来自 中学，从这 7 名中学生中选取 3 名，求选取的中
学生中来自 中学的人数 的分布列和数学期望；
(2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人
分别答两题，若小组答对题数不小于 3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道
题的概率分别为 1， 2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．
( )求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率 ；
( )当 1 + =
4
2 3时，求 的最大值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线： 2

2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线为 = ，且过点(2, 2)．
(1)求 的方程；
(2)已知 为坐标原点，过 的右焦点 作直线 与 的右支交于 ， 两点．
( )若△ 和△ 的面积的比值为 2，求直线 的方程；
( )若 关于 的对称点为 ，试判断直线 与圆 2 + 2 = 2的位置关系，并说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ，其中 ， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
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(2)若函数 ( ) = ( )．
( )证明：曲线 = ( )图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
( )当 = 1 时，若存在 ∈ ( 1, + ∞)，使得 > 12 ( + 1)成立，求实数 的取值范围．
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.45
14.169
15.解：(1)数列{ }的前

项和为 ， 1 = 1，且数列{ }是首项为 1，公差为 1 的等差数列，

可得 = 1+ 1 = 2，即
2
= 2 ，
当 ≥ 2 时， = 2 1 = 2 ( 1)2 + 2( 1) = 2 3，对 = 1 也成立，
所以 = 2 3， ∈ ；
(2) 1 1 1 1 1 = = +1 (2 3)(2 1)
= 2 ( 2 3 2 1 )，
= 1 ( 1 1 + 1 1+ 1 1 + . . . + 1 1 1 1可得 2 3 3 5 2 3 2 1 ) = 2 ( 1 2 1 ) =

2 1．
16.(1)由已知以及正弦定理得， = 3 3 ，
因为 = sin( + ) = + ，
所以 = 3 ，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 = 3 ，即 = 3，
又因为 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
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(2)因为 为∠ 的平分线，则∠ = ∠ = 6，
因为 = + ，
1
则2 sin∠ =
1 1
2 sin∠ + 2 sin∠ ，
1 3
即2 × 2 =
1 1 1 1
2 × 1 × 2 + 2 × 1 × × 2，化简得 + = 3 ，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ∠ = ( + )2 2 2 ∠ ，
即 6 = 3( )2 2 ，整理可得( )2 2 = 0，解得 = 2 或 1(舍去)，
所以△ 1的面积 = 2 sin∠ =
1 3
2 × 2 × 2 =
3
2 ．
17.(1)随机变量 服从超几何分布，其中 = 7， = 3， = 3，
3
所以 ( = ) = 3 43 ， = 0，1，2，3， 7
所以 ( ) = 9 = 7；
(2)( )因为甲、乙两人每次答题相互独立，
设甲答对题数为 ，则 ～ (2, )，乙答对题数为 ，则 ～ (2, 2)，
设“ =甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则 ( ) = ( = 1) ( = 2) + ( = 2) ( = 1) + ( = 2) ( = 2)，
= 1 (1 ) 2 2 + 2 2 1 (1 ) + 2 22 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 22 2
= 2 1(1 21) 2 + 2 2(1 2) 2 + 2 21 1 2
= 3 2 2 + 2 21 2 1 2 + 2 21 2；
( ) 4 8因为 1 + = 2 22 3，所以 ( ) = 3 1 2 + 3 1 2，
0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 1 + = 4 0 < ≤ ( + 由 1 ， 2 ，又 1 2 3，所以
1 2
1 2 2 )
2 = 49，
2
当且仅当 1 = 2 = 3时取等号，
= ( ) = 3 2 + 8 = 3( 4 )2 + 16设 1 2，所以 3 9 27，
= 4 16所当 9时，有最大值27，
16
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为27．
2
18.(1)
2
设双曲线方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，
因为双曲线的一条渐近线为 = ，且过点(2, 2)．
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所以
= 1
4 2 ，
2 2 = 1
解得 = = 2，
2 2
则 的方程为 2 2 = 1；
(2)( )设直线 的方程为 = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 2
联立 2 2 ，消去 并整理得( 2 1) 2 + 4 + 2 = 0，
2 2 = 1
此时 2 1 ≠ 0 且 > 0，
4 2
由韦达定理得 1 + 2 = 2 1 , 1 2 = 2 1 < 0，
解得 2 < 1，
因为△ 和△ 的面积的比值为 2，

所以 1 = 2，2
所以 1 + 2 = 2，
4 8
此时 2 = 2 1， 1 = 2 1，
32 2 2
所以． 1 2 = ( 2 1)2 = 2 1，
1
解得 2 = 217，满足 < 1，
则 =± 117，
故直线 的方程为 17 2 17 = 0 或 17 + 2 17 = 0；
(3)( )依题意得 ( 1, 1)，
+
所以直线 的斜率 = 2 1 + =
2+ 1
2 1 ( 2+ 1)+4
= ，
直线 的方程为 + 1 = ( + 1)，
即 + 1 1 = 0，
= | |圆心 到直线 的距离为 1 1 ，
2+1
2
2 =
2
1 2 1 1+
2
可得 1 2+1 ，
因为 2 21 1 = 2, 1 = 1 + 2，
2( 2 2 = 1+2) 2 1( 1+2)+
2
1 (1 2)
2
1 4 1+2 2所以 2+1 = 2+1 ，
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因为( 2 1) 21 + 4 1 + 2 = 0，
2+2 2
所以 2 = 2+1 = 2．
所以直线 与圆 2 + 2 = 2相切．
19.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，
由 ( ) = + ，得 ′( ) = 1 1+ + = ，
①当 < 0 时，则当 ∈ (0, 1 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
则当 ∈ ( 1 , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
②当 ≥ 0 时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增．
综上，当 ≥ 0 时 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 1 1时， ( )在(0, )单调递增，在( , + ∞)单调递减；
(2)( )证明：由 ( ) = ( ) = + 2 得 ′( ) = 2 + + 1，
设点 ( 1, ( 1))和点 ( 2, ( 2))，不妨设 0 < 1 < 2，
同理曲线 = ( )在点 处的切线 2方程为 ( 2) = ′( 1)( 1)，即 = ′( 2) ′( 2) 2 +
( 2)；
同理曲线 = ( )在点 处的切线 1方程为 ( 1) = ′( 1)( 1)，即 = ′( 1) ′( 1) 1 +
( 1)，
′( ) = ′( )
假设 1 21与 2重合，则 ，
′( 1) 1 + ( 1) = ′( 2) 2 + ( 2)
+ 2 ( ) = 0
化简得， 1 2 1 2 ( 1 + 2) = 1
1 1
两式消去 ，得 2 1 2 1 21 2 1+
= 0，则 ln
2
2 1 = 0，2 +12
令 = 1 (0 < < 1) = 2
1
， +1由 ′( ) > 0，2
所以 ( )在(0,1)上单调递增，所以 ( ) < (1) = 0，即 ( ) = 0 无解，
所以 1与 2不重合，即对于曲线 = ( )在任意两个不同点处的切线均不重合．
( )当 = 1 时，先解决对于 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( + 1) 2 ≥ 0 恒成立，
令 + 1 = ， ( ) = 2 + 2 ( 1)，则 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
由 (1) ≥ 0，解得 ≥ 1．
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下面证明当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立．
则当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 2 + 2 ( 1)，令 ( ) = 2 + 2 ( 1)，
则 ′( ) = 2 + 2 ( 1)，
则当 ∈ [1, + ∞)时，由 2 ≥ 2，2 ( 1) ≥ 2，则 ′( ) ≥ 0，
则 ( )在(1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = 0；
当 ∈ (0,1)时，令 ( ) = ( ) = 2 + 2 ( 1)，
则 ′( ) = 2 + 1 + 2 ( 1) ≥ 0 则 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) = ′( ) < ′(1) = 0，所以 ( )在(0,1)上单调递减，
所以 ( ) ≥ (1) = 0 成立，
所以对于 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( + 1) 2 ≥ 0 恒成立时，实数 的取值范围为[1, + ∞)．
所以 ∈ ( 1, + ∞)，使得 ( + 1) 2 < 0 成立时， 的取值范围为( ∞,1)．
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