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2024-2025 学年云南省玉溪市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 2 ，则| | =( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2
2.若 ， ∈ ，则“ 3 = 3”是“ = ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数 ( ) = 8 3 + 2 17 的零点所在区间为( )
A. (0, 1 1 3 32 ) B. ( 2 , 1) C. (1, 2 ) D. ( 2 , 2)
4.圆锥的底面半径为 3，圆锥的高是 1，则其侧面积为( )
A. B. 3 C. 2 D. 2 3
5.已知函数 ( ) = 5 ( + )的部分图象如图所示，则函数 ( )的最小正
周期为( )
A. 2
B.
C. 2
D. 2
6.在 上定义运算 ： = + ，则满足 (2 1) < 0 的实数 的取值范围为( )
A. (0, 22 ) B. (
2 , 22 2 )
C. ( ∞, 22 ) ∪ (
2
2 , + ∞) D. (
2
2 , 0)
7.某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则 3 个孩子都是男孩的概率为( )
A. 1 1 1 18 B. 4 C. 3 D. 2
8 .已知| | = | | = 1，且 与 的夹角为 ，则 3 与 +
的夹角为( )
A. B. C. 7 12 6 12 D.
5
6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.设函数 ( ) = 2 + ，则 ( )( )
A.定义域为( ∞, + ∞) B.是奇函数
C. 在( 2 , 2 )单调递增 D. (

在 2 , 2 )单调递减
10.任意一个复数 的代数形式都可写成三角形式，即 = + = ( + )，其中 为虚数单位， =
| | = 2 + 2， = ， =

， ∈ [0,2 ).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667～1754)创立，指的
是设两个复数用三角函数形式表示为： 1 = 1( 1 + 1)， 2 = 2( 2 + 2)，则 1 2 =
1 2[cos( 1 + 2) + ( + )]

， 1 = 11 2 [cos( 1 2) + ( 1 )] ≠ 0. = cos

2 ，且 2 若 1 12 +

2 2 12
，
2 = 3(cos
7 + 7 12 12 )，则( )
A. | | = 1 B. | | = 3 C. = 3 31 2 1 2 2 + 2 D.
2
= 3 1
11 .如图，三棱台 中，平面 ⊥平面 ，∠ = ∠ = 4，
= 2 ，则( )
A. //平面
B. ⊥
C. ⊥
D. 与面 6所成角的正弦值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { ∈ |3 < < }，若集合 有 15 个真子集，则实数 的取值范围为______．
13.已知 ∈ (0, )，2 = 1 2 ，则 = ______．
14.已知 ( )是定义域为 的奇函数，满足 (4 ) + ( ) = 0，若 (1) = 2，则 (1) + 2 (2) + 3 (3) + … +
2025 (2025) + 2025 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了 100 名来欣赏蓝花楹的游客，并将这 100 人按
年龄分组：第 1 组[20,30)，第 2 组[30,40)，第 3 组[40,50)，第 4 组[50,60)，第 5 组[60,70]，得到的频率
分布直方图如图所示：
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(1)求样本数据的第 50 百分位数；
(2)估计这 100 名游客的平均年龄(同一组中的数据用该组中的中点值代表)．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 (2 3 ) + 1．
(1) 求 ( 3 )；
(2)证明：函数 ( ) 的图象关于点( 6 , 1)对称；
(3)当 ∈ [0,2 ]时，求函数 ( )的所有零点的和．
17.(本小题 15 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1 1的中点．
(1)证明： 1//平面 1；
(2)求二面角 1 1 的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 3+2 3 2 ( > 0)是奇函数．
(1)求 的值及 ( )的定义域；
(2)求不等式 (2 3) + (3 2) ≥ 0 的解集．
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19.(本小题 17 分)
设锐角△ 内部的一点 满足| | = | | = | | 3 + + ，且 = 2 0．

(1)

证明： | |2 = 2 ；
(2)求角 ；
(3)若 2 > 2， = 3，
= 2 ，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(7,8]
13.1
14. 1
15.(1)由频率分布直方图可知，(0.01 + 0.01 + 0.02 + + 0.02) × 10 = 1，解得 = 0.04，
且(0.01 + 0.01 + 0.02) × 10 = 0.4 < 0.5，(0.01 + 0.01 + 0.02 + 0.04) × 10 = 0.8 > 0.5，
所以第 50 百分位数在[50,60)组内，设为 ，
则有：0.4 + 0.04 × ( 50) = 0.5，解得 = 52.5．
所以样本数据的第 50 百分位数为 52.5．

(2)设 100 名游客的平均年龄为 ，由图可知，

= 0.1 × 25 + 0.1 × 35 + 0.2 × 45 + 0.4 × 55 + 0.2 × 65 = 50，
故这 100 名游客的平均年龄约为 50 岁．
16.(1)已知函数 ( ) = 2 (2 3 ) + 1，则 ( 3 ) = 2 (
2 ) + 1 = 2 × 33 3 2 + 1 = 3 + 1；
(2) 由已知， ( 6 ) + ( 6 + ) = 2 ( 2 ) + 2 (2 ) + 2 = 2，

所以函数 ( )的图象关于点( 6 , 1)对称；
(3)令 ( ) = 2 (2 3 ) + 1 = 0，即 sin(2

3 ) =
1
2，
7 3
所以 2 3 = 6 + 2 或 2 3 = 6 + 2 ， ∈ ，解得 = 12+ 或 4 + ( ∈ )，
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因为 ∈ [0,2 ] 3 3 ，则 1 = 12， 2 = 4， 3 = 12 + ， 4 = 4 + ，
+ + + = 11 所以 1 2 3 4 3 ．
17.(1)证明：因为 1// 1，
又 1 平面 1， 1 平面 1，
所以 1//平面 1．
(2)如图，在正方体 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 1 1 1 1，
又 1 平面 1 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 .
因为 为 1 1的中点，所以 1 ⊥ 1 .
又 1 ∩ 1 = 1， 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 .又 平面 1 ，所以 1 ⊥ ．
又 1 ⊥ 1 ，
所以∠ 1 为二面角 1 1 的平面角．
设正方体 1 1 1 1的棱长为 2，
则 1 2 21 = 2 2 + 2 = 2，
= 2 + 2 = 221 1 + ( 2)2 = 6，
sin∠ = 所以 1 2 61 ， = 6 = 3
所以二面角 1 1 的正弦值为
6．
3
18.(1)因为 ( )是奇函数，所以 ( ) + ( ) = 0 恒成立，
3 2 + 3+2 9 4
2
所以 3 +2 3 2 = 0，即 3 2 4 2 = 31 = 0，
所以 9 4 2 = 2 4 2，即 2 = 9，因为 > 0，
所以 = 3， ( ) = 3+2 3+2 3 33 3 2 ，3 2 > 0，解得 2 < < 2，
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所以函数 ( ) 3 3的定义域为( 2 , 2 )．
(2) ( ) = 3+2 (3 2 )+6函数 3 3 2 = 3 3 2 = 3( 1 +
6
3 2 )，
= 1 + 6 ( 3 , 3因 3 2 在 2 2 )上单调递增， = log3 为增函数，
3 3
由复合函数定义可得 ( )在( 2 , 2 )上单调递增，
因为 (2 3) + (3 2) ≥ 0，
所以 (2 3) ≥ (3 2) = (2 3 )，
2 3 ≥ 2 3
3
所以 2 < 2 3 <
3
2，所以 1 ≤ < 7，
3
6
2 < 2 3 <
3
2
所以不等式的解集为[1, 76 )．
19.(1)证明：如图所示，锐角△ 内部的一点 满足| | = | | = | |，
则 为△ 的外接圆的圆心，
| | | |cos∠
因为 | |2 = | |2 = cos∠ ，
又∠ = 2∠ ，

所以 | |2 = 2 ；
(2)解：设△ 的外接圆的半径为 ，则| | = | | = | | = ，
3
因为 + + 2 = 0，
3
所以2
+ ( ) + ( ) = 0，
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3 2 2 2所以2 + ( ) + (
) = 0，
3 2 2 2 即 2 22 + ( cos∠ ) + ( cos∠ ) = 0，
3
所以2 +
2 2
( 2 ) + ( 2 ) = 0，
3
整理得2 = 2 + 2 = 2 ( + )，
又 + = 3 3，则2 = 2 ，即 2 = 2 ，
因为 0 < < 2，所以 0 < 2 < ，
则 2 = 2 = 3或 3，即 6或3；
(3) 解：因为 2 > 2，由(2)可得 = 3， = 3，
3
由正弦定理可得 2 = = 3 = 2 3， = 3，
2
易知∠ = ∠ 2 =
2∠ = 2 6，
所以 = 2 + 2 2 cos∠ = 1，
则 ≤ + = 3 + 1，当且仅当 、 、 三点共线时取得最大值，
所以 = 3 + 1．
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