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浦东2024-2025学年第二学期高二年级数学期末统考
2025.6
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）．
1．等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ．
2．空间四边形，则 ．
3．函数的导数 ．
4．函数的驻点为 ．
5．已知等差数列满足，且，则首项 ．
6．函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
7．已知公比大于1的等比数列满足．则的通项公式 ．
8．若函数既有单调增区间，又有单调减区间，则实数的取值范围是 ．
9．已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则 ．
10．设正四面体的棱长为为的中点，为的中点，则 ．
11．已知是等比数列，，则的取值范围是 ．
12．设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）．
13．根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ）.
A．曲线在点处切线的斜率； B．曲线在点处切线的斜率；
C．曲线在点处切线的斜率； D．割线的斜率．
14．设是空间不共面的四点，且满足，，点为的中点，则是（ ）.
A．钝角三角形； B．锐角三角形； C．直角三角形； D．不能确定．
15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：＂远望巍魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？＂意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层的灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的灯数是（ ）.
A．1盏； B．3盏； C．5盏； D．9盏．
16．有两个命题：
（1）已知数列是等比数列，正整数满足，则；
（2）如果是平面上的互不平行的向量，点不在平面上，那么向量与向量不共面．则下面判断正确的为（ ）.
A．（1）对（2）错； B．（1）错（2）对；
C．（1）（2）都对； D．（1）（2）都错．
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）.
17．（本题满分10分）
已知函数．求函数的单调区间和极值．
18．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知为等差数列．
（1）若，求的值．
（2）若，求．
19．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
给定点与点．
（1）求在上的投影向量；
（2）判断四点是否共面？
20．（本题满分10分，第（1）问5分，第（2）问5分）
已知为实数，
（1）若，求在上的最大值和最小值：
（2）若在和上都是递增的，求的取值范围．
21．（本题满分12分，第（1）问6分，第（2）问6分）
已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知是等比数列，，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得到，解得，且，
所以数列是以8为首项，为公比的等比数列，
则
所以的取值范围是．
12．设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设
∴，
令，得或
则函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增
，作的图像
要使只有一个交点，则或
则当函数有且只有一个零点时，
综上所述，的取值范围为
二、选择题
13.C 14.C 15.B 16.A
15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：＂远望巍魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？＂意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层的灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的灯数是（ ）.
A．1盏； B．3盏； C．5盏； D．9盏．
【答案】B
【解析】设塔顶的盏灯，由题意是公比为2的等比数列，
，解得．故选：．
三、解答题
17.单调增区间为和；单调减区间为；
极大值为；极小值为；
18.（1） （2）
19.（1） （2）否
20．（本题满分10分，第（1）问5分，第（2）问5分）
已知为实数，
（1）若，求在上的最大值和最小值：
（2）若在和上都是递增的，求的取值范围．
【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）
【解析】（1）由原式得，
由得，此时有
由得或又
所以在上的最大值为，最小值为
（2）解法一：的图象为开口向上且过点的抛物线，
由条件得所以的取值范围为．
解法二：令即，由求根公式得：
所以．在和上非负．
由题意可知，当或时，，从而，
即解不等式组得．∴的取值范围是．
21．（本题满分12分，第（1）问6分，第（2）问6分）
已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）等比数列的公比，是的等差中项，
可得，解得
即有，解得，则；
等差数列满足，即，，
可得公差，可得;
（2），
数列的前项和为，
，
两式相减可得：
，
则数列的前项和为．

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