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2024-2025 学年重庆一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 .已知集合 = { | +3 ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. { 3, 2, 1} B. { 2, 1} C. ( 3, 1) D. ( ∞, 1]
2.已知函数 ( )在其定义域 上的导函数为 ′( )，当 ∈ 时， ′( ) > 0 是“ ( )单调递增”的( )
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件 D.充分不必要条件
1
3.已知 = 32, = 132, = 3，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4.语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的
占 80%，阅读过《三国演义》的占 60%，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占 95%，现从阅读过《三国
演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.45 D. 0.75
5.设函数 ( )定义域为 ， ( )为奇函数， ( + 1)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 2 + 2，则
( 252 ) =( )
A. 134 B.
9
4 C.
5
4 D.
1
4
6.已知函数 ( ) = 2 ，若 ( 2) + ( 3 + 2) < 0，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,1) ∪ (2, + ∞) B. (1,2)
C. ( ∞, 2) ∪ ( 1, + ∞) D. ( 2, 1)
7
2 2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左顶点为 ，若圆 ：
2 + 2 = 2 + 2交 的一条渐近线于 ，
3 两点，且∠ = 4，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 13
8.有一个开盲盒游戏，共有 6 个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有 1 个玩偶，共有 款玩偶 1 个，
款玩偶 2 个， 款玩偶 3 个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有 款玩偶的盲盒最先被
全部打开的概率为( )
A. 1 3 1 110 B. 20 C. 5 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列命题为真命题的有( )
A.若 ～ (1,1)，则 ( < 0) = ( > 2)
B.若 = 2 1 且 ( ) = 1，则 ( ) = 2
C.一组数据 11，13，17，19，20，22 的第 40 百分位数是 13

D.变量 与 的回归方程为 = 2 1，若观测数据中 均值 为 1，则变量 均值 为 1
10.掷 2 次质地均匀的骰子，记事件 为“两次掷出的数字相同”，事件 为“两次掷出的数字不同”，事
件 为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件 为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有( )
A. 和 互斥 B. 和 独立 C. ( | ) = 13 D. ( ) > ( )
11 .已知函数 ( ) = 3 + 22 + 2，则( )
A.当 = 1 时， ( )既有极大值，又有极小值
B.若 ( )在 = 0 处取到极大值，则实数 的取值范围为( ∞,0)
C. = 3 时， ( )在区间( , + 2)内取到最大值，则实数 的取值范围为( 3, 1)
D.不存在实数 ，使得 ( )在区间( 1,1)内既有最大值又有最小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知(1 + )4 = 0 + 1 + 2 3 42 + 3 + 4 ，则 0 + 1 + 2 + 3 = ______．
13.如图所示，利用一堵长 8 ，高 3 的旧墙建造一个无盖的长方体仓库.由于空
间限制，仓库的宽度固定为 3 ，已知仓库三个侧面的建造成本为 900 元/ 2，仓
库底面的建造成本为 600 元/ 2.整个仓库的建造成本预算为 32400 元，假设成本
预算恰好用完.则仓库的储物量(既容积)的最大值为______ 3．
2 | |, ≤ 2
14.已知函数 ( ) = ( 2)2, > 2，若 ( ) ≥ ( )恒成立，其中 < 0，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
部分胎儿在 超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失(不合并其他超声异常)，有的胎
儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常.某儿科医院统计了 100 名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到
如下列联表：
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是否合并其他超声异常
不合并合并合计
染色体是否异常
正常 72 6 78
异常 3 19 22
合计 75 25 100
(1)根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否
异常有没有关系；
(2)现有 3 例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记 为这 3 例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求
的分布列和数学期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )
( 2
> ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = ( 2
2 + )．
(1)若曲线 = ( )与 轴相切，求实数 的取值；
(2)讨论函数 ( )的单调区间．
17.(本小题 15 分)
2 2
椭圆 ： + = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，点 为椭圆 上动点， 1 2 2 2
的值域为[0,1]．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的上下顶点分别为 ， ，直线 2交椭圆 于另一点 ，点 和点 位于 轴两侧，若 ， ， ，
四点构成的四边形面积为 3，求直线 的斜率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 1 + (1 + )．
(1)若 ( )在定义域内单调递增，求实数 的取值范围；
(2)当 = 1 时，若对任意 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( ) 2 + 2 ≤ + 恒成立，求实数 的最小值；
(3)若 ( )存在两个不同的极值点 1， 2， 1 < 2，且 ( 1) < 2，求实数 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长.重庆某区为吸引游客，在一条古街的 ( ∈ , ≥ 3)
家商店中分别售卖 款不同的文创产品(每家店仅售一款).假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且
只能在逛店时进行比较.小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头(即小明一旦购
买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择).为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，
你替小明制定了如下两种策略：
策略 0：直接购买第一家店里的文创产品；
策略 ( ∈ +, < )：如图所示，先将遇到前 款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组.参考组
中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；
若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品．
设小明通过策略 ( ∈ )购买到最喜爱文创产品的事件为 ，事件 发生的概率为 ．
(1)若 = 3，求 1的值.并比较策略 0和 1的优劣；
(2)设 1 ≤ < ，设小明最喜爱文创产品位于第 ( = 1,2, , )个店里的事件为 ，
( )写出 ( )的值和 ( | )表达式；
( )已知有 9 款文创产品，求使 最大的 值，
1
参考数据：5+
1
6+
1 1
7 + 8 = 0.63
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15
13.36
14.( ∞, 174 )
15.解：(1)设零假设 0：合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关，
2 = 100×(72×19 3×6)
2
= 100×18
2×752 8100
由题知 275×25×78×22 75×25×78×22 = 143 ≈ 56.6 > 10.828 = ( > 0.001)，
故零假设 0不成立，
故根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关；
(2) 25 1由列联表中数据得鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为100 = 4，
易得， = 0，1，2，3 1，且 满足 ～ (3, 4 )，
故 ( = ) = ( 1 ) 3 3 3 4 ( 4 ) ， = 0，1，2，3，
则 的分布列如下：
0 1 2 3
27 27 9 1
64 64 64 64
( ) = 0 × 27 + 1 × 2764 64 + 2 ×
9 1 3
64+ 3 × 64 = 4．
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16.(1)设切点为( , 0 0 0 (
1
2
2
0 + 0))，
则切线斜率为 ′( 0) = ( 0 + 1)( 0 )，
因为曲线 = ( )与 轴相切，则 ′( 0) = ( 0 + 1)( 0 ) = 0，
解得 0 = 1 或 0 = ，
当 0 = 1 时，切点为( 1,0)，即 ( 1) =
1 + 2 = 0
2
，解得 = ，
当 0 =
1
时，切点为( , 0)，即 ( ) = 22 = 0，解得 = 1，
2
综上， = 1 或 = ；
(2) ′( ) = ( + 1)( )，
令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = ．
①当 = 1 时， ′( ) ≥ 0 恒成立，所以 ( )在 上单调递增；
1
②当 0 < < 时， < 1，由 ( ) > 0，得 < 或 > 1；
由 ( ) < 0，得 < < 1，所以 ( )的单调递增区间为( ∞, )，( 1, + ∞)，单调递减区间为( , 1)．
③当 > 1 时， > 1，由 ′( ) > 0，得 < 1 或 > ；
由 ′( ) < 0，得 1 < < ，所以 ( )的单调递增区间为( ∞, 1)，( , + ∞)，单调递减区间为(
1, )，
1
综上所述，当 = 时， ( )在 上单调递增；
当 0 < < 1 时， ( )的单调递增区间为( ∞, )，( 1, + ∞)，单调递减区间为( , 1)；
当 > 1 时， ( )的单调递增区间为( ∞, 1)，( , + ∞)，单调递减区间为( 1, )．
2 2
17.(1)设 ( 0, 0)，则 0 0 2 + 2 = 1，
故 2
2
= 2 2， 2 20 2 0 0 ∈ [0, ]，
又 1 2 = ( 0 + , 0) ( 0 , 0) = 20 + 20 2，
故 1
2 2
= 2 2 + 2 2 = 2 + 2 2 ∈ [ 2 2 22 0 2 0 2 0 , ]，
由题可得， 2 2 = 0， 2 = 1，
故 2 = 2 = 1 2 = 2，
2
故椭圆 的标准方程为 + 2 = 1．2
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(2)若直线 的斜率为 0，则 = 2 2，不满足条件，
斜率不为 0 时
设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
≠ 0 1，直线 的斜率为 ，
= + 1
联立 2 ，
2 +
2 = 1
消去 整理得( 2 + 2) 2 + 2 1 = 0，
= 8( 2 + 1) > 0 + = 2 1则 ， 1 2 2+2， 1 2 = 2+2，
根据点 和点 所在位置，如图：
1 2 < 0 ( 1 + 1)( 2 + 1) < 0，可得 2 > 1，
2
又四边形的面积为 | | 8( +1) = △ + △ =
1
2 | 1 2| =
1
2 × 2 × | ( 1 2)| = 2+2 =
8 2( 2+1)
，
( 2+2)2
8 2( 2 = 3 +1)又 ，即 4 2( 2+2)2 = 3 5 4 12 = 0 (5
2 + 6)( 2 2) = 0，
故 2 = 2 =± 2，
所以直线 的斜率为1
=±
2．
2
18.(1)由 ( ) = 2 1+ (1 + )得： ′( ) = 2 + 1+ ，
( ) 因为 在定义域内单调递增，故 2 + 1+ ≥ 0 在( 1, + ∞)恒成立，且 ′( ) = 0 的解不连续，
则 ≥ [ 2 (1 + )] = 1 1 2，所以， 的范围是[ 2 , + ∞)；
(2)当 = 1 时，不等式可化为 1 + ln( + 1) ≤ + 变形为 + 1 + ln( + 1) ≤ + ln( )，
同构函数 ( ) = + ，求导得 ′( ) = 1 + 1 > 0，
所以 ( ) = + 在(0, + ∞)上是增函数，
第 7页，共 10页
而原不等式可化为 ( + 1) ≤ ( )，
根据单调性可得： + 1 ≤ +1 ≤ ， ∈ ( 1, + ∞)，
+1
再构造 ( ) = ，则 ′( ) = ， ∈ ( 1, + ∞)，
当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) > 0，则 ( )单调递增，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) < 0，则 ( )单调递减，
所以 ( ) = (0) = 1，即满足不等式成立的 ≥ 1，所以 的最小值为 1；
(3)因为 ( )存在两个不同的极值点 1， 2， 1 < 2，
2 2
所以由 ′( ) = 2 + +2 + 1+ = +1 = 0，
1
可得： = 4 8 > 0 < 2， 1 + 2 = 1, 1 2 = 2，
因为 1 > 1，而 = 2 2 + 2 + =
1
的对称轴是 2，
所以可得 1 < 1 1 1 < 2，根据对称性可得另一个零点 2 < 2 < 0，此时有 1 2 = 2 > 0 > 0，故 0 < <
1
2，
又由 ( 1) < 2，可得 <
( 1)
，2
( ) 21 = 1 1+ (1+ 1) 2 1( 1 1)ln(1+ 1)而 2 1
= 1 1 +
1 1
= 1 1 + 2 1ln(1 + 1)，
1
令 ( ) = 1 + 2 (1 + ), ∈ ( 1, 12 )，
2 1 2则 ′( ) = 1 + 2 (1 + ) + 1+ = 1+ + 2 (1 + ) = 1 +1 + 2 (1 + )，
∵ ∈ ( 1, 12 )，∴ + 1 ∈ (0,
1 ) 22 ，即 +1 ∈ (4, + ∞)，ln( + 1) < 0，
则 ′( ) = 1 2 +1 + 2 (1 + ) < 0，
即 ( ) = 1 + 2 (1 + )在区间( 1, 12 )上单调递减，
所以有 ( ) = 1 + 2 (1 + ) > ( 1 3 1 32 ) = 2 ln 2 = 2 + 2，
( )
即 1 = 1 1 + 2 1ln(1 + 1) >
3
2 + 2，2
所以实数 取值范围{ | ≤ 32+ 2}．
19.(1)由于 = 3，假设小明对三款产品的喜爱程度分别为：高、中、低，
其排序共有 33 = 6 种情况，采用策略 1后购买的结果列表如下：
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参考组 候选组 结果
第 1 款 第 2 款第 3 款购买款式
高 中 低 低
高 低 中 中
中 高 低 高
低 高 中 高
中 低 高 高
低 中 高 中
3 1
故小明购买到最喜欢产品的情况有 3 种，故 1 = 6 = 2，
又易知 0 =
1
3 < 1，故策略 1更优；
(2)( ) 1显然， ( ) = ，
( | )表示在小明最喜爱文创产品位于第 个店里的情况下，最终购买到最喜爱文创产品的概率，
当 1 ≤ ≤ 时，即小明最喜爱文创产品位于参考组时，不可能购买到最喜爱文创产品，故 ( | ) = 0；
当 = + 1 时，小明一定能购买到最喜爱文创产品，即 ( | 1) = 1；
当 > + 1 时，小明要购买到最喜爱文创产品，
需要前 1 款产品中喜爱度最高的产品在参考组中，故 ( | ) =

1；
0,1 ≤ ≤
综上， ( | ) = ；
1 , + 1 ≤ ≤
( )由全概率公式得：
= =1 ( ) ( | ) =
1 1 1 1 1 1 1
= +1 × 1 = = +1 1 = ( = ) = ( + +1 + + 1 )，
由题得 = 9，故 下标满足 1 ≤ ≤ 8，
由( )知 = 9 (
1 + 1 1 +1 1 1 1 +1 + + 8 )， +1 = 9 ( +1 + +2 + + 8 )，这里 1 ≤ ≤ 7，
要使得 最大，需要满足 ≥ +1，
( 1 + 1 + + 1即有 +1 8 ) ≥ ( + 1)(
1
+1 +
1 1
+2 + + 8 )，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故 + +1 + + 8 ≥ (1 + )( +1+ +2+ + 8 ) = ( +1 + +2 + + 8 ) + (
1 1 1
+1+ +2+ + 8 )，
1 ≥ 1 ( 1 1 1 1 1 1故 +1 + +2 + + 8 ) +1 + +2 + + 8 ≤ 1，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
由于5 + 6 + 7 + 8 ≈ 0.63，故4+ 5+ 6 + 7 + 8 ≈ 0.88 < 1，
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1 + 13 4 +
1 + 1 1 15 6 + 7 + 8 > 1，
故当 ≥ 3 时， > +1，即有 3 > 4 > 5 > > 8，
当 < 2 时， < +1，即有 1 < 2 < 3，
故 = 3 时 最大．
第 10页，共 10页

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