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通州区2024-2025学年第二学期高一年级期未质量检测
数学试卷
2025年7月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 2 D. 4
2. 已知复数，则下列说法正确是（ ）
A. 复数的虚部是 B.
C. D. 在复平面内，复数对应的点在第二象限
3. 已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（ ）
A. 2.0 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.4
4. 一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ）
A. 31 B. 33 C. 34 D. 35
5. 某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ）
A. 20 B. 30 C. 50 D. 60
6. 已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
7. 已知平面，为两个不同平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（ ）
①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形
②鳖臑的四个面均为直角三角形
③堑堵表面积是阳马的表面积的2倍
④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. 2 B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知复数的共轭复数为，则____________.
12. 天气预报端午假期甲地降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为____________.
13. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm，则该圆柱的侧面积为____________cm2；该陀螺的体积为_____________cm3.
14. 在中，，，点在线段上，若，则__________；若，当取得最小值时，___________.
15. 如图1，正方形中，，为的中点，，.将沿翻折到，沿翻折到，连接，如图2.给出下列四个结论：
①平面平面；
②当时，三棱锥的体积为；
③设二面角的平面角为，当时，；
④设直线与平面所成角为，当时，则.
其中所有正确结论的序号是_____________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点.
（1）平面；
（2）平面.
17. 在中，角所对的边分别为，，，.
（1）若，，求及的值；
（2）若，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.
（1）求图中的值；
（2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团.
（ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数；
（ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率.
19. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求证：.
20. 如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为.
（1）求证：平面平面；
（2）若，恰为二面角的平面角，求的面积.
21. 在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且.
（1）当时，
（ⅰ）求角；
（ⅱ）若，，求的值；
（2）若，且，，求的最小值.
通州区2024-2025学年第二学期高一年级期未质量检测
数学试卷
2025年7月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】 ①. 3 ②.
【15题答案】
【答案】①②③
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）选②，或；选③，.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）5人，2人；（ⅱ）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析；
【20题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【21题答案】
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；
（2）.

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