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2024-2025学年安徽省安庆市重点中学高二（下）联考
数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列{ }的前 项和为 ，若 2 = 3， 4 = 10，则 6 =( )
A. 21 B. 22 C. 11 D. 12
2.(1 + )(1 )6展开式中， 5的系数为( )
A. 21 B. 9 C. 21 D. 9
3.函数 ( ) = 2 3 的极小值为( )
A. 1 + 3 2 B. 3 2 78 C.
1
2 ln
3
2 D.
3
2 (1 ln
3
2 )
4.已知 ～ (3,4)且 ( > 4) = ( < )， 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5.从 1，2，…，10 中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为( )
A. 1 B. 1 C. 13 12 4 D.
1
6
6 3.某次考试成绩 服从正态分布 (75, 2).若 (60 ≤ ≤ 90) = 5，则从参加这次考试的考生中任意选取 3 名
考生，至少有 2 名考生的成绩高于 90 的概率为( )
A. 9 B. 13 44 81125 125 C. 125 D. 125
7.若不等式 ≥ ( = 2.71828. . .为自然对数的底数)对任意实数 恒成立，则实数 的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
8
2 2
.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)
1
，斜率为2的直线 交双曲线于 ， ， 为坐标原点， 为 的中点，
若 的斜率为 2，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 5 C. 2 3 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若随机变量 和 满足 = 2 + 1，且 ( ) = 3，则 ( ) = 7
B.若随机变量 ～ (3, 2)， ( ≤ 5) = 0.7，则 ( ≤ 1) = 0.3
C.若随机变量 ～ (8, 23 )，则 ( ) =
16
3
D. 4 1在含有 件次品的 10 件产品中任取 3 件，取到的次品数为 ，则 ( = 2) = 2
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10.已知函数 ( ) = 2 2，则( )
A.函数 ( )的单调减区间为(1, + ∞) B.函数 ( )的单调增区间为(0,1)
C.函数 ( )的极小值点为 1 D.函数 ( )的最大值为 1
11.已知点 ( 32 , 3)是抛物线 ：
2 = 2 ( > 0)上的一点，过 的焦点 的两条互相垂直的直线 1， 2分别与
交于点 ， 和点 ， ，其中点 ， 均在 轴的上方，过点 分别作 1， 2的垂线，垂足分别为 ， ，则下
列说法正确的是( )
A. | | = 3
B.若 = 3 ，则直线 1的倾斜角为6
C. 1 1| |+ | |为定值
D.四边形 的周长的最大值为 6 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知随机变量 ( , ) ( ) = 5 ( ) = 5～ ，若 2， 4，则 = ．
13.曲线 = + 2 在点(0,1)处的切线方程为 ．
14.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 (1,0)， 的准线与 轴的交点为 ，若过点 的直线 与 交于 ，
两点，且| | = 3| |，则△ 的面积等于______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知(2 + 3 ) 展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求 的值及系数最大的项；
(2)求展开式中有理项的系数之和(用数字作答)．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 ， ( ) = 3 + 3．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ( ) ≥ ( )恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 ( 2 1)( ∈ )．
(1)若 = 1，求证： ( )在(0, + ∞)上单调递减；
(2)若 ( ) ≤ 0 在[1, + ∞)上恒成立，求 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节. 2025 年报考该试点高校的学生的笔试成绩 ′近似
服从正态分布 ( , 2).其中， 近似为样本平均数， 2近似为样本方差 2.已知 的近似值为 76.5， 的近似值
为 5.5，以样本估计总体．
(1)若笔试成绩高于 76.5 进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，设其中进入面试学生数
为 ，求随机变量 的期望．
(2) 1 1 1 1现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为3、 3、 2、 2 .设这 4 名学生中
通过面试的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
参考数据：若 ～ ( , 2)，则： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827； ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545； (
3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上右顶点到左焦点的距离为 2 + 2，上顶点的坐标为(0, 2)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 (4,0)， ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一点 ，证明直线
与 轴相交于定点 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13. = 3 + 1
14.2 3
3 4
15.(1)展开式的通项为 +1 = 2 3 ( = 0,1,2,3, , 8)，
由题可得 22 2 = 3 3 2 ，
24 4
则 ( 1) = ( 1)( 2)，解得 = 8，所以 = 28 6 +1 8 3 ，
设展开式中第 + 1 项的系数最大，其系数为 828 ，
8 1 9
则满足 8
2 ≥ 8 2
，解得 2 ≤ ≤ 3， 828 ≥ +127 8
因为 ∈ ，所以 = 2 或 = 3 时系数最大，
16
当 = 2 时， 3 = 1792 3；当 = 3 时， 4 = 1792 4．
24 4
(2)由(1)知：展开式的通项为 = 28 +1 8 3 ( = 0,1,2,3, , 8)，
8 4 令 3 ∈ 且 = 0，1，2，3， ，8，可得 = 0，3，6，且对应的是有理项，
当 = 6 时，展开式中对应的有理项为 6 2 07 = 82 = 112；
当 = 3 时，展开式中对应的有理项为 = 3254 8 4 = 1792 4；
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当 = 0 时，展开式中对应的有理项为 1 = 0828 8 = 256 8；
故展开式中有理项的系数之和为 256 + 1792 + 112 = 2160．
16.(1) ( ) 2 2函数 定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 = ，
令 ′( ) > 0 得 > 2，令 ′( ) < 0 得 0 < < 2，
所以 ( )的增区间为(2, + ∞)，减区间为(0,2)．
(2) 因为 2 ≥ 3 + 3( > 0)

，所以 ≤ + 3，
即 ≤ + 2 3 ．
令 ( ) = + 2 3 ，那么 ′( ) = + 2 2，
因为 ′( )在(0, + ∞)单调递增且 ′(1) = 0．
所以当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)单调递增；
故当 = 1 时， ( ) = (1) = 2．
所以 ∈ ( ∞, 2]．
17.(1)证明：若 = 1，那么函数 ( ) = 2 2 + 1，因此导函数 ′( ) = 2 + 2 2 ，
令函数 ( ) = ′( ) 2 2(1 )，因此导函数 ′( ) = 2 = ，
因此当 > 1 时， ′( ) < 0，当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
因此 ( ) ≤ (1) = 0，即 ′( ) ≤ 0，因此函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
(2)若 ( ) ≤ 0 在[1, + ∞) 1上恒成立，即为 2 ( ) ≤ 0 在[1, + ∞)上恒成立，
令函数 ( ) = 2 ( 1 ), ∈ [1, + ∞),
( ) = 2 (1 + 1 ) = (1 + 1 )( 2 因此导函数 ′ 2 2 2+1 )，
2 ≤
2+1
由于 2+1 2+1 = 1，当且仅当 = 1 时等号成立，
当 ≥ 1 时，导函数 ′( ) ≤ 0，因此函数 ( )在[1, + ∞)上单调递减，
因此 ( ) ≤ (1) = 0，符合题意；
当 0 < < 1 2时，令导函数 ′( ) = 0，因此 1 = ，设方程的解为 0 ∈ (1, + ∞)， +
1 2
由于 = + 在区间(1, + ∞)上单调递增，因此函数 = 在(1, + ∞)上单调递减， +1
则当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1, 0)时， ′( ) > 0，
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因此 ( )在 ∈ (1, 0)上单调递增，在 ∈ ( 0, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 0，所以 ∈ (1, 0)时， ( ) > 0，不符合题意；
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，故 ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = 0，不符合题意．
综上， 的取值范围为[1, + ∞)．
18.(1)由 ≈ 76.5，可得 ( > 76.5) = 12，
1
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取 1 人，该学生笔试成绩高于 76.5 的概率为2
1 1
所以随机变量 服从二项分布 ～(10, 2 )，故随机变量 的期望为： ( ) = 10 × 2 = 5；
(2)根据题目 的可能取值为 0，1，2，3，4，
( = 0) = 02 × (1
1
3 )
2 × 02 × (1
1
2 )
2 = 19，
( = 1) = 12 ×
1
3 × (1
1
3 ) ×
0
2 × (1
1 2 0 1 2
2 ) + 2 × (1 3 ) ×
1 1
2 × 2 × (1
1
2 ) =
1
3，
( = 2) = 2 × ( 12 3 )
2 × 02 × (1
1 )2 + 1 × 1 × (1 12 2 3 3 ) ×
1 1 1 0
2 × 2 × (1 2 ) + 2 × (1
1 2 2 1 2
3 ) × 2 × ( 2 ) =
13
36，
( = 3) = 22 × (
1 2 1 1 1
3 ) × 2 × 2 × (1 2 ) +
1 1
2 × 3 × (1
1
3 ) ×
2 × ( 1 )22 2 =
1
6，
( = 4) = 22 × (
1
3 )
2 × 2 × ( 12 2 )
2 = 136，
因此 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 1 13 1 1
9 3 36 6 36
1 1
因此 ( ) = 0 × 9+ 1 × 3 + 2 ×
13 + 3 × 1 136 6 + 4 × 36 = 0 + 1 +
13 1 1 5
18 + 2 + 9 = 3．
2 2
19.(1) 因为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上右顶点到左焦点的距离为 2 + 2，上顶点的坐标为(0, 2)．
所以 + = 2 + 2, = 2，且 2 = 2 + 2，
解得 = 2, = 2，
2 2
所以椭圆的方程为 4 + 2 = 1；
(2)证明：由题意，可设直线 的方程为 = ( 4)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则 ( 1, 1)，
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2 2+ = 1
联立方程组 4 2 ，
= ( 4)
消去 得方程：(1 + 2 2) 2 16 2 + 32 2 4 = 0，
= (16 2)2 4(1 + 2 2)(32 2 4) > 0，
2 2
所以 1 +
16 32 4
2 = 1+2 2 , 1 2 = 1+2 2 ，
+ = + 所以直线 的方程为： 2 11 ( 1)，2 1
= 0 = 1 2+ 2 1 = 1 ( 2 4)+ 2 ( 令 ，则 1 4) 2 1 2 4( 1+ 2) 2+ 1 ( 1+ 2 8)
= 1+ 2 8
2(32 2 4) 64
2
= 1+2 2 1+2 2
16 2
= 1，
2 81+2
故直线过定点 (1,0)．
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