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2024-2025 学年四川省成都市五城区高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 .复数 = ( 为虚数单位)的共轭复数是( )
A. 1 2 B. 1 + 2 C. 1 + 2 D. 1 2
2.cos 7 5 8 cos 8 + sin
7
8 sin
5
8的值为( )
A. 1 B. 1 C. 22 D.
2
2
3.函数 = 1 2 3 ， ∈ (0, )的零点个数是( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
4.如图， ， 是⊙ 上的两点，| | = 2，则 =( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
5.下列结论正确的是( )
A. + =
B.若| | = | |, // ，则四边形 是矩形
C.若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量
D.若平面内两个非零向量 ， 满足| + | = | |，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底
6.在平面四边形 中， = 7, = 2, = 3, = ( ∈ 且 ≠ 0).当 变化时，则 的最小
值为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 34 4 2 2
7.如图，在棱长为 3 + 3的正方体内恰好装入两个相外切的球 1， 2，球心 1， 2在正方体的对角线上，
其中球 2的半径为 2，则球 1的半径为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
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8.如图， 为△ 的重心，过点 的直线分别与 ， 交于点 ， ，且 = ， = ，其中 ，
∈ (0,1)，则 + 4 的最小值为( )
A. 73 B. 3
C. 143 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .已知函数 ( ) = sin(2 + 3 )，则下列说法正确的是( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( )的图象关于 = 2对称
C.函数 ( )在[0, 2 ]
3
的最小值为 2
D. ( ) 函数 的图象向右平移6个单位长度得到函数 ( )的图象，则函数 ( )是奇函数
10.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A.若 = (1,0)， = (0,1)，对任意的非零实数 和 ，则 ⊥
B.若 = (1, 1)， = (2,4)，则向量 ， 的夹角为钝角
C.若| | = 2，| | = 1，且 和 的夹角为 120°，则| 2 | = 2
D. 3 1若点 ， ， ， 在同一平面内，且 = 4
+ 4 ，则 ， ， 三点共线
11.如图所示的圆台 1 2，圆台的高为 3，上底面圆 2的半径为 1，下底面圆 1的半径为 2，则下列说法
正确的是( )
A.该圆台轴截面面积为 3 3
B.该圆台的表面积为 6
C. 7 3 该圆台的体积为 3
D.一只蚂蚁从 点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达 的中点 处，则爬行的最短路程为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 tan( + 4 ) = 2，则 的值为______．
13.在四棱柱 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，四边形 为平行四边形，∠ = 60°，且 1 =
= = 4， 为 1的中点，则异面直线 1与 所成角的余弦值为______．
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14.如图，已知直线 1// 2，直线 垂直于 1和 2，垂足分别为 ， .若点 是
线段 上的定点， ， 两点分别是直线 1， 2上的动点，且 = 1， = 2，
∠ = 3，则△ 面积的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = 2 + 4 , 2 = + ( ∈ )．

(1)若 = 1 2是纯虚数，求 的值；
(2)在复平面内，复数 1， 2对应的向量分别是 , ，其中 是原点，且∠ =

4，求 2．
16.(本小题 15 分)
在△ 10中，内角 、 ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 5， = 3， = 10 ．
(1)求 ；
(2)求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，在△ 中， = 2 ， = ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ．
(1)试用 和 表示 ；
(2)若 = 6， = 8，∠ = 60°．
①求| |；
②求 cos∠ ．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，∠ = ∠ ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若 cos∠ = 13 , =
3
2 ．
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①证明： = ；
②求二面角 的余弦值．
19.(本小题 17 分)

若平面内的数轴 ， 相交所成角为∠ = 4，则这两条数轴构成的坐标系叫做“半斜坐标系”.设 1， 2
分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 = 1 + 2，则有序数对( , )(用斜括号表示有序数
对)叫做向量 的“半斜坐标”已知在半斜坐标系内的△ ，点 在 所在的直线上，且 = (0,
1), = ( 2, 0)．
(1)求| |；
(2)若 = ( , )，且 2 + = 1(其中 ≠ 0)，| | = 2．
①求向量 与 的夹角；
②当 ( + )取得最小值时，求向量 的半斜坐标．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 105
14.2 3
15. (1)由题得， 1 = 2 4 ，

所以 = 1 2 = (2 4 )( + ) = (2 + 4) + (2 4 ) ，

因为 = 1 2是纯虚数，所以 2 + 4 = 0 且 2 4 ≠ 0，即 = 2；
(2)由题意， = (2,4), = ( , 1)，

因为∠ = 4，所以 cos <
, >= 2 +4 = 2，
2 5 2+1 2
2 + 4 > 0 1
所以 3 2 8 3 = 0，解得 = 3 或 = 3．
所以 12 = 3 + 或 2 = 3 + ．
16.(1) 10因为 = 10 ，且 ∈ (0, )，
所以 = 1 cos2 = 1 ( 10 2 3 1010 ) = 10 ，
5 3
根据正弦定理得 = ，即 = 3 10，
10
所以 = 22 ，

又由题知 为钝角，故 ∈ (0, 2 )，所以 = 4；
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(2)由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ，
9 = 5 + 2 2 × 5 × × ( 10即 10 )，整理得
2 + 2 4 = 0，
解得 = 2或 = 2 2(舍去)，
1 1
故△ 的面积 = 2 = 2 × 5 × 2 ×
3 10 3
10 = 2．
17.(1)在四边形 中， = + + ，
在四边形 中， = + + ，
又因为 ， 分别是 , 的中点，
所以 = , = ，

所以 2 = ( + + ) + ( + + ) = + ，

即 = 1 + 1 ，又因为 2 2 = 2
, = ，
所以 = 1 , = 1 3 2 ，
1 1
所以 = × 2 3
+ 1 × 1 2 2
= 16
+ 1 4 ；

(2)①由题知 = 6 × 8 × 60° = 24，
又由(1)知， = 1 + 1 6 4 ，
1 2 2
因此| |2 = 36
+ 1 + 1 116 12 = 36 × 6
2 + 1 2 116 × 8 + 12 × 24 = 7，
所以| | = 7，
1
②因为 = 2 =
1 1 2 2 ，
所以| | = ( 1 1 2 2
)2 = 12 8
2 + 62 2 × 24 = 13，
= ( 1 + 1 6 4 ) (
1
2
1 1 2 1 2 12 ) = 8 × 8 12 × 6 24 × 24 = 4，

所以 cos∠ = 4 4 91
| ||
=
| 7× 13
= 91 ．
18.解：(1)证明：设 与 相交于点 ，连接 ，
因为∠ = ∠ ， = ， = ，
所以△ ≌△ ．
所以 = ，
又在△ 中， 是 的中点，所以 ⊥ ，
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在正方形 中， ⊥ ，
又因为 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(2)①证明：在△ 1 3中，cos∠ = 3， = 2 ，
不妨设 = 2 ，则 = 3 ，
由余弦定理得 2 = (2 )2 + (3 )2 2 × 2 × 3 × 13 = 9
2，
所以 = 3 ，
又在△ 中， ⊥ , = 2 ，
故由勾股定理，得 = 2 2 = 7 ，
又在△ 中， = 2 , = 3 ，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
故在△ 中，可得 = ( 7 )2 + ( 2 )2 = 3 ，
所以 = ，
②由①知，△ ≌△ ，
过 作 ⊥ 交 于 ，
由△ ≌△ 得 ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角，
在△ 1中，因为 = = 3 , cos∠ = 3，
所以 cos∠ = cos∠ = 13，
所以 sin∠ = 2 2，3
所以，在直角△ 中， = ∠ = 2 × 2 2 = 4 2 ．3 3
同理可得 = 4 23 ，
又 = 2 = 2 2 ，
4 2 4 2
△ cos∠ =
2+ 2 2 ( 3 )
2+( 3 )
2 (2 2 )2
在 中， 2× × =
1
2×4 2
= ．
3 ×
4 2 8
3
1
故二面角 的余弦值为 8．
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19.(1)由 = (0, 1), = ( 2, 0)，
则 = 2, = 2 1，
又 = = 2 1 + 2，
则|
2
|2 = = ( 2 21 + 2) = 3 + 2 2 1 2 = 3 + 2 = 5，
所以| | = 5；
(2)①由| | = 2，则| |2 = 4，所以| |2 = 4，
即
2 2
2 + = 4，
即( 21 + 2) 2( 1 + 2) ( 2) + ( 22) = 4，
整理得 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 4，
又 2 + = 1，联立解得 = 2 2或 = 0(舍)， = 3，
所以 = 2 2 1 3 2，则 = = 2 2 1 2 2，
cos < , >= = 2 1 (2 2 则 1 2 2)
| || | 2 2
= 4
2
1 2 2 1 2 = 2，又< , 2 2 2
>∈ [0, ]

所以向量 与 的夹角为4；
②设 = 1+ 2, , ∈ ，
则 = = ( 2 2) 1 + ( + 3) 2，
+ = 2 = 2 1 + (2 + 1) 2，
所以 ( + ) = [( 2 2) 1 + ( + 3) 2] [2 1 + (2 + 1) 2]，
= 2 2 + 2 2 + 2 2 22 + 3 + 1，( )
因为 ， ， 三点共线，则存在实数 ，使得 = ，
即( 2) 1 + 2 = ( 2
3 2
1 3 2)，所以 = 2 + 3，
代入( )式，可得 ( + ) = 5 2 17 2 + 28，
当 = 17 210 时有最小值，此时 =
21
10，
所以向量 17 2 21的半斜坐标为( 10 , 10 )．
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