资源简介

2024-2025 学年福建省三明市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 < ≤ 6}， = {2,4,6,8}，则 ∩ =( )
A. {6} B. {2,4} C. {2,4,6} D. {1,2,4,6}
2 1.已知幂函数 ( )的图象经过点(2, 4 )，则该函数的解析式为( )
A. ( ) = 1 2 B. ( ) =
2 C. ( ) = 18 D. ( ) = 2
3 1.已知 ∈ 且 ≠ 0，那么“ < 1”是“ > 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列函数中，既是偶函数又在(0, + ∞)上是减函数的是( )
A. = 1 B. = 2 C. = D. =
2
5.由 0，1，2，3，5 组成的无重复数字的 4 位数共有( )
A. 24 个 B. 72 个 C. 96 个 D. 120 个
6.若函数 ( ) = 2 + 2 + 在(0,1)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. ≥ 0 B. ≤ 0 C. ≥ 4 D. ≤ 4
7.已知随机变量 ～ (1, 2)，且 ( ≤ 1) = ( ≥ ) 1 9，则 + (0 < < )的最小值为( )
A. 143 B.
16
3 C.
20
3 D. 16
1 2 2, 0 ≤ < 1
8.定义在 上的函数 ( ) ( + 2) = 1满足 3 ( )，当 ∈ [0,2)时， ( ) =
2 ，已知函数
21 |
6
5|, 1 ≤ < 2
( ) = 3 + 3 2 + ，若 ∈ [ 4,2)， ∈ [ 4,2]，不等式 ( ) ( ) ≥ 0 成立，则实数 的取值范围是
( )
A. ( ∞, 2] B. ( ∞, 412 ] C. ( ∞, 22] D. ( ∞,
31
2 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
第 1页，共 7页

A.在经验回归方程 = 0.3 + 10 中，当解释变量每增加 1 个单位时，响应变量将平均减少 0.3 个单位
B.两个变量线性相关性越强，则相关系数 就越接近于 1
C.独立性检验中，根据分类变量 与 的成对样本数据计算得到 2 = 4.138( 0.05 = 3.841)，推断零假设不成
立，即认为 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05
D.用决定系数 2比较两个回归模型的拟合效果时， 2越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差

10 1 5 1.设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 2， ( ) = 12， ( | ) = 2，则( )
5 A. ( | ) = 1 5 16 B. ( ) = 12 C. ( ) = 6 D. ( | ) = 6
11.已知函数 ( )是 上的奇函数，且过点(3,2)，对于一切正实数 ， ，都有 ( ) = ( ) + ( ) 1，当
∈ ( 13 , + ∞)时， ( ) > 0 恒成立，则( )
A. (9) = 3
B. 7方程[ ( ) 1] ( ) = 0 所有根的和为9
C. ( )在( ∞,0)上是单调函数
D.不等式[ ( )]2 5 ( ) + 6 < 0 1的解集为( 27 ,
1
81 ) ∪ (3,9)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2.( 2 + )
5的展开式中 3 2的系数是______(用数字作答)．
13.《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数
算和把头算等 5 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的
分工收集方案有______种.
14.已知函数 ( )的定义域为 ，若 ， ， ∈ ， ( )， ( )， ( )可以作为一个三角形的三条边长，则

称函数 ( ) 1是 上的“三角形函数”.已知函数 ( ) = 2 + 是[ 2 , 3]上的“三角形函数”，则实数 的取值
范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在高考志愿模拟填报中，学生甲对 10 个专业感兴趣，其中包括 3 个人工智能类、5 个电子信息类和 2 个新
能源类专业.他计划从这 10 个专业中随机选择 4 个进行填报，每个专业被选中的可能性相同．
第 2页，共 7页
(1)求甲至少填报 3 个电子信息类专业的概率；
(2)若甲填报人工智能类专业的数量为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( > 0，且 ≠ 1)．
(1)若 (1) = ，求函数 ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程；
(2)已知 0 < < 1，若关于 的不等式 (2 ) < ( 2 + 1) ( + 3)在区间[1,2]上有解，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 1 2 3 4 5
报考人数 30 65 95 135 175



(1)经分析， 与 存在显著的线性相关性，求 关于 的线性回归方程 = + ，并预测 2025 年的报考人
数；
(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布 (370, 152)，录取方案：总分在 400 分以上的直接
录取；在[355,400]之间的进入面试环节，录取其中的 50%；低于 355 分的不予录取.请预测 2025 年报考该
专业考生中被录取的人数(最后结果四舍五入，保留整数)．

参考数据：5 =1 ( )( ) = 360．



参考公式：回归方程 = +
( )( )
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = =1

, = ，
=1 ( )2
若随机变量 ～ ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤
≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ， ( ) = 2 2 2( ∈ )．
(1) 1若 = 2，求函数 ( )的极值；
(2)若 ∈ ，且不等式 ( ) ≤ ( )在(0, + ∞)上恒成立，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试，已知通过测试 的概率为 40%，未通过测试 的芯片须进
入测试Ⅱ，通过率为 (0 < < 1)，通过任意一次测试即为合格芯片，已知一枚芯片合格，则该芯片是通过
测试 的概率为 ．
第 3页，共 7页
(1)求 (结果用 表示)；
(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量 的期望为
( ) ( )，方差为 ( )，则对任意 > 0，均有 (| ( )| ≥ ) ≤ 2 .请结合该定理解决下列两个问题：
( )若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为 50%，现质量检测部门随机抽取了该厂生产的 100 枚芯片，经
检测有 40 枚合格，请说明该厂商的说法是否可信(注：当随机事件 发生的概率小于 0.05 时，可称事件
为小概率事件)；

(ⅱ)为估计 ，工厂随机抽取 枚合格芯片，其中 枚为通过测试 ，记 = .若要使得 (| | ≥ 0.05)总能
不超过 0.01，试估计最小样本量 ( ∈ ).
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 60
13.150
214.(4 2 , + ∞)
15.(1)甲选 4 个专业的方法数是 410，至少填报 3 个电子信息类专业方法数为 1 3 45 5 + 5，
1 3+ 4
因此甲至少填报 3 个电子信息类专业的概率为 = 5 5 54 =
11
；
10 42
(2) 的可能值为 0，1，2，3，
4 1 3 2 2 3 1
( = 0) = 7 = 14 6， ( = 1) =
3 7
4 =
1
2， ( = 2) =
3 7
4 =
3 1
10， ( = 3) =
3 7
4 = ， 10 10 10 10 30
0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
( ) = 0 × 1+ 1 × 1 + 2 × 3 1 66 2 10 + 3 × 30 = 5．
16.(1)函数 ( ) = ( > 0，且 ≠ 1)，
因为 (1) = ，所以 = ，故 ( ) = ，
所以 ′( ) = ．
因为 ( 2) = 2 = 2， ′( 2) = 2 = 2，
所以函数 ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程为：
2 = 2( 2)，即 = 2 2 2 + 2．
第 5页，共 7页
(2)因为 (2 ) ≤ ( 2 + 1) ( + 3) 2 ≤ 2+1 +3 = 2+ +4，
由 0 < < 1，所以 2 ≥ 2 + + 4，
2+ +4 4
等价于 2 ≥ = + + 1 在区间[1,2]上有解，
因为 + 4 + 1 ≥ 2
4
+ 1 = 5，当且仅当 = 2 时取等号，
所以 2 ≥ 5 ≥ 52，
所以实数 5的取值范围为：[ 2 , + ∞)．

17. (1)因为 = 15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3
1
， = 5 (30 + 65 + 95 + 135 + 175) = 100，

5 2 2 2 =1 ( ) = (1 3) + (2 3) + (3 3)
2 + (4 3)2 + (5 3)2 = 10．


= =1
( )( ) 360 所以 5 ( )2
= 10 = 36， = = 100 36 × 3 = 8．
=1

所以 = 36 8．

当 = 6 时， = 36 × 6 8 = 208，即预测 2025 年的报考人数为 208；
(2)因为 (355 ≤ ≤ 400) = ( ≤ ≤ + 2 )
= 1 ( ≤ ≤ + ) + 12 2 ( 2 ≤ ≤ + 2 ) =
1
2 (0.6827 + 0.9545) = 0.8186，
( > 400) = ( > 370 + 2 × 15) = ( > + 2 )
= 12 [1 ( 2 ≤ ≤ + 2 )] =
1
2 (1 0.9545) = 0.02275，
208 × (0.8186 × 0.5 + 0.02275) = 89.8664 ≈ 90 人．
18.(1)当 = 12时，函数 ( ) = 2 ， > 0．
2 2
因此导函数 ′( ) = 1 = ， > 0．
由 ′( ) < 0 > 2；由 ′( ) > 0 0 < < 2，
因此 ( )在(2, + ∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，
因此当 = 2 时， ( )有极大值，为 (2) = 2 2 2；无极小值．
(2)由于 ∈ ，且 ( ) ≤ ( )在(0, + ∞)上恒成立．
因此 2 2 ≤ 2 2 2 在(0, + ∞)上恒成立．
即 2 + 2 ≥ 2 + 2 + 2 在(0, + ∞)上恒成立．
设函数 ( ) = 1， > 0．
第 6页，共 7页
那么导函数 ′( ) = 1 1 = 1 ．
由 ′( ) < 0 0 < < 1；由 ′( ) > 0 > 1，
因此函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
因此 (1)是函数 ( )的最小值，且 (1) = 0．
因此 1 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立．所以 ≥ + 1 4 ≥ 2 + 2 + 2．
因此 2 + 2 ≥ 4 在(0, + ∞)上恒成立．
> 0
所以 2 + (2 4) ≥ 0 4 2 ≥ 2．
2 ≤ 0
又 ∈ ，所以 的最小值为 2．
19.(1)事件 =“芯片通过测试Ⅰ”，事件 =“芯片通过测试Ⅱ”，则事件 =“表示芯片通过测试”，
则 ( ) = 0.4， ( ) = (1 0.4) = 0.6 ， ( ) = ( ) + ( ) = 0.4 + 0.6 ．
= = ( | ) = ( ) ( ) 0.4 2根据条件概率的公式可得 ( ) = ( ) = 0.4+0.6 = 2+3 ；
(2)(ⅰ)若 = 0.5，则 ( ) = 0.4 + 0.6 × 0.5 = 0.7．
用随机变量 表示合格芯片的个数，易知 满足二项分布 ～ (100,0.7)，
根据二项分布的期望和方差公式可得： ( ) = 100 × 0.7 = 70， ( ) = 100 × 0.7 × 0.3 = 21，
当 = 40 时，| ( )| = |40 70| = 30，
( ) 21
根据切比雪夫不等式： (| ( )| ≥ 30) ≤ 302 = 900 ≈ 0.023 < 0.05．
所以若 = 0.5，则 = 40 为小概率事件，所以厂商的说法不可信．

(ⅱ) 因为 = ，所以 ( ) = ， ( ) =
(1 )
．

由切比雪夫不等式： (| | ≥ 0.05) ≤ ( ) = (1 )0.052 ×0.052．
因为 (1 ) ≤ 1 ( = 14 当 2时取等号)．

所以要使 (| | ≥ 0.05) ≤ 0.01 (1 )，即 ×0.052 ≤ 0.01 ≥ 10000．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑