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(共16张PPT)
最短路径问题
——将军饮马问题及延伸
在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。
A
B
P
★思考：本题运用了 .
两点之间，线段最短.
l
B
将军饮马问题一（ ）（解题思路： ）
如图，将军在图中B处，现要带马去河边喝水，之后返回军营A处，问：将军怎么走能使得路程最短？
问题情境
A
B
A
B'
P
作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B'
（2）连结B'A，交MN于点 P；
所以 点P就是所求的点．
M
N
结论：
P点即为饮马处，
PA+PB最小值为AB'
依据：两点之间，线段最短。
转化成数学问题：如图：已知 直线 和 侧的两个___点A、B．在MN上找一动点P,使 最小．
连接BP,
N
A
B
P
B
P
M
问题分析
作点B关于直线的对称点B ,
连接B A，
则PB =PB，
交MN于点P,
在直线MN上任意取一点P
连接AP ,BP ,B P ,
则BP =B P ，
则PA+ PB=
则AP +BP =
PA+ PB =
AB’
AP + B’P
△BA P 中，A B < AP +B P ，
∴ AP+BP < AP +B P ，
即AP+BP最小．
变式：
已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
草地
河边
.驻地A
如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？
O
M
N
将军饮马问题二（ ）（解题思路： ）
.
.
.
.
.
如图:已知 内部一定点A
求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小
作法:
(1)作点A关于OM、
ON的对称点A'、A''
(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C,则点B、C为所求。
转化成数学问题：
变式：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
两点在两相交直线内部
M
O
N
将军饮马问题三（ ）（解题思路： ）
A
B
A'
B'
C
D
M
O
N
转化成数学问题：
如图:已知： ∠MON ______两____点A、B，
求作:OM上一点C , ON上一点D,
使 最小
变式1：
已知： MON内两点A、B.
求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，使AC+CD+BD+AB最短。
A'
B'
C
D
变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
.
.
.
.
.
.
A
A'
B
B'
C
D
M
O
N
变式2：
课堂小结：
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。
2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型
→推理
→猜想
→证明
↓
得出结论
应用到实际问题中←
谢谢，再见！

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