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方法技巧专题　一次函数与图形面积
　类型1　直接利用面积公式求面积——三角形的边在坐标轴上或与坐标轴平行
　　【例1】如图，直线l1：y＝x＋3分别交x轴、y轴于点 A，B，直线l2：y＝－2x＋6分别交x轴、y轴于点C，D，两直线交于点P（1，a）.
（1）求直线AB与坐标轴围成的△AOB的面积；
（2）求点P的坐标和△PAC的面积.
解：（1）在y＝x＋3中，
当y＝0时，解得x＝－3；
当x＝0时，y＝3.
所以A（－3，0），B（0，3）.
所以S△AOB＝×3×3＝.
（2）把点P（1，a）代入y＝x＋3，得a＝4.
所以P（1，4）.
在y＝－2x＋6中，
当y＝0时，解得x＝3.所以C（3，0）.
所以S△PAC＝CA·yP＝×（3＋3）×4＝12.
方法指导：当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积.
如图1，S△ABC＝｜xC－xB｜·｜yA｜.
图1 图2
如图2，S△ABC＝｜yC－yB｜·｜xA｜.
【针对训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－x＋b的图象相交于点A（4，3），一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于点D.过点P（0，4）作x轴的平行线，分别交y＝kx与y＝－x＋b的图象于点B，C，连接 OC.
（1）求这两个函数的表达式；
解：（1）因为正比例函数y＝kx与一次函数y＝－x＋b的图象相交于点A（4，3），
所以3＝4k，3＝－4＋b，解得k＝，b＝7.
所以正比例函数的表达式为y＝x，一次函数的表达式为y＝－x＋7.
（2）求△BOC的面积.
解：（2）因为PC∥x轴，P（0，4），
所以把y＝4代入y＝x，得x＝.
所以B（，4）.
把y＝4代入y＝－x＋7，得x＝3.所以C（3，4）.
所以BC＝－3＝.
又因为P（0，4），所以OP＝4.
所以S△BOC＝BC·OP＝××4＝.
　类型2　利用和差法求面积
　　【例2】如图，已知直线l1：y1＝x＋2与直线l2：y2＝kx－1交于点A，点A的纵坐标为1，且直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线l2与y轴交于点C.
（1）求直线l2的表达式；
解：（1）因为点A在直线y1＝x＋2上，点A的纵坐标为1，
所以点A的坐标为（－1，1）.
因为点A在直线y2＝kx－1上，解得k＝－2.
所以直线l2的表达式为y2＝－2x－1.
（2）连接BC，求S△ABC.
解：（2）令x＋2＝0，解得x＝－2.所以OB＝2.
同理可得，C（0，－1），D（0，2），
所以OC＝1，OD＝2.所以DC＝2＋1＝3.
所以S△ABC＝S△BCD－S△ACD＝×3×2－×3×1＝.
方法指导：当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转化为两个图形的面积的和或差.
如图1，S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝｜yA－yD｜·（｜xC｜＋｜xB｜）或S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝｜xE－xC｜·（｜yA｜－｜yB｜）.
图1 图2
如图2，连接OB，S四边形ABDO＝S△AOB＋S△ODB＝｜xA｜·｜yB｜＋｜yD｜·｜xB｜或S四边形ABDO＝S△ABC－S△OCD＝｜xC－xA｜·｜yB｜－｜xC｜·｜yD｜.
【针对训练】
2.如图，直线y＝2x－2与x轴交于点B，直线y＝x＋1与y轴交于点C，这两条直线相交于点 A（2，a）.求：
（1）点A，B，C的坐标；
解：（1）因为点A（2，a）在直线
y＝x＋1上，
所以点A的坐标为（2，2）.
把y＝0代入y＝2x－2，得x＝1.
所以点B的坐标为（1，0）.
把x＝0代入y＝x＋1，得y＝1.
所以点C的坐标为（0，1）.
（2）四边形ABOC的面积.
解：（2）连接OA.
因为S△ABO＝OB·｜yA｜＝×1×2＝1，
S△ACO＝OC·｜xA｜＝×1×2＝1，
所以S四边形ABOC＝S△ABO＋S△ACO＝1＋1＝2.
　类型3　由图形的面积求点的坐标
　　【例3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋9的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点C，并与直线y＝x相交于点B，其中点B的横坐标为3.
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）Q为直线y＝kx＋9上一动点，当点Q运动到何位置时，△OBQ的面积等于？请求出点 Q的坐标.
解：（1）把x＝3代入y＝x，得y＝5，
所以点B的坐标为（3，5）.
因为点B在一次函数y＝kx＋9的图象上，
所以5＝3k＋9，解得k＝－.
（2）把x＝0代入y＝－x＋9，得y＝9，
所以点A的坐标为（0，9），即OA＝9.
设点Q的坐标为（m，－m＋9），
则S△OBQ＝OA·｜xQ－xB｜＝×9×｜m－3｜＝，
解得m＝或m＝.
所以点Q的坐标为（，3）或（，7）.
【针对训练】
3.在平面直角坐标系xOy中，经过点（1，2）的直线y＝kx＋b与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）当b＝3时，求k的值以及点A的坐标；
（2）若k＝b，P是该直线上一点，当△OPA的面积等于△OAB面积的2倍时，求点P的坐标.
解：（1）因为直线y＝kx＋b经过点（1，2），所以k＋b＝2.
当b＝3时，k＝－1.
所以直线的表达式为
y＝－x＋3.
令y＝0，得x＝3，所以点A的坐标为（3，0）.
（2）由（1）知，k＋b＝2，当k＝b时，可得k＝b＝1.
所以直线的表达式为y＝x＋1.
令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－1，
所以点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（0，1），
所以S△OAB＝×1×1＝.
设点P（n，n＋1）.因为S△OPA＝2S△OAB，
所以×1×｜n＋1｜＝2×，
解得n＝1或n＝－3.
所以点P的坐标为（1，2）或（－3，－2）.方法技巧专题　一次函数与图形面积
　类型1　直接利用面积公式求面积——三角形的边在坐标轴上或与坐标轴平行
　　【例1】如图，直线l1：y＝x＋3分别交x轴、y轴于点 A，B，直线l2：y＝－2x＋6分别交x轴、y轴于点C，D，两直线交于点P（1，a）.
（1）求直线AB与坐标轴围成的△AOB的面积；
（2）求点P的坐标和△PAC的面积.
方法指导：当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积.
如图1，S△ABC＝｜xC－xB｜·｜yA｜.
图1 图2
如图2，S△ABC＝｜yC－yB｜·｜xA｜.
【针对训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－x＋b的图象相交于点A（4，3），一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于点D.过点P（0，4）作x轴的平行线，分别交y＝kx与y＝－x＋b的图象于点B，C，连接 OC.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求△BOC的面积.
　类型2　利用和差法求面积
　　【例2】如图，已知直线l1：y1＝x＋2与直线l2：y2＝kx－1交于点A，点A的纵坐标为1，且直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线l2与y轴交于点C.
（1）求直线l2的表达式；
（2）连接BC，求S△ABC.
方法指导：当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转化为两个图形的面积的和或差.
如图1，S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝｜yA－yD｜·（｜xC｜＋｜xB｜）或S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝｜xE－xC｜·（｜yA｜－｜yB｜）.
图1 图2
如图2，连接OB，S四边形ABDO＝S△AOB＋S△ODB＝｜xA｜·｜yB｜＋｜yD｜·｜xB｜或S四边形ABDO＝S△ABC－S△OCD＝｜xC－xA｜·｜yB｜－｜xC｜·｜yD｜.
【针对训练】
2.如图，直线y＝2x－2与x轴交于点B，直线y＝x＋1与y轴交于点C，这两条直线相交于点 A（2，a）.求：
（1）点A，B，C的坐标；
（2）四边形ABOC的面积.
　类型3　由图形的面积求点的坐标
　　【例3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋9的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点C，并与直线y＝x相交于点B，其中点B的横坐标为3.
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）Q为直线y＝kx＋9上一动点，当点Q运动到何位置时，△OBQ的面积等于？请求出点 Q的坐标.
【针对训练】
3.在平面直角坐标系xOy中，经过点（1，2）的直线y＝kx＋b与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）当b＝3时，求k的值以及点A的坐标；
（2）若k＝b，P是该直线上一点，当△OPA的面积等于△OAB面积的2倍时，求点P的坐标.

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