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2024-2025 学年山东省临沂某校高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { ∈ | 2 < ≤ 3}， = { |1 < | | ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,2} B. {0,1,2} C. {0,2} D. {2}
2.已知命题 ： > 0， + 1 > 2，则命题 的否定是( )
A. > 0 1， + > 2 B. ≤ 0， +
1
> 2
C. > 0 + 1， ≤ 2 D. ≤ 0， +
1
≤ 2
3.甲同学每次投篮命中的概率为 ，在投篮 6 次的实验中，命中次数 的均值为 2.4，则 的方差为( )
A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96
4.小明将 1，4，0，3，2，2 这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个 2 之间只
有一个数字，且 1 与 4 相邻，则可以设置的密码种数为( )
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
5.若关于 的不等式 2 5 + ≤ 0 的解集为 ，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 52 ] B. ( ∞,
5
2 ) C. [
5
2 , 0) D. (
5
2 , 0)
6.关于下列两个命题的正确的判断是( )
甲：log3.9999994 ≤ log44.000001
乙：20242025 < 20252024
A.甲乙都不成立 B.仅甲成立 C.仅乙成立 D.甲乙都成立
7.某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为 0.6，知道正确答案时，答对的概
率为 100%，而不知道正确答案时，猜对的概率为 0.2，那么他答对题目的概率为( )
A. 0.8 B. 0.68 C. 0.6 D. 0.2

8.已知函数 ( ) =
, > 1
，若函数 = [ ( )]2 + (2 4 ) ( ) + 1 恰有 5 个零点，则实数 的
4 2 2, ≤ 1
取值范围是( )
A. [ 9 , 498 24 ) B. (1,
49
24 ) C. (1,
9
5 ) D. [1,
9
5 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中的假命题为( )
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A.集合{ | = 2 1}与集合{ | = 2 1}是同一个集合
B.“ ∩ 为空集”是“ 与 至少一个为空集”的充要条件
C.对于任何两个集合 ， ，( ∩ ) ( ∪ )恒成立
D. = {1,2}， = {(1,2)}，则 =
10.已知 ， 都为正数，且 + = 1，则( )
A. ≤ 1 B. 24 +
2 ≥ 1
C. 2 1 + ≥ 3 + 2 2 D. + ≤ 2
11.假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布
(500, 52)(单位： )，生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为 ，随机变量 服从正态密度函数 ( ) =
1 ( 1000)
2
200
10 2 ，其中 ∈ ，则( )附：随机变量 ( ,
2)，则 ( < < + ) = 0.683， ( 2 <
< + 2 ) = 0.954， ( 3 < < + 3 ) = 0.997
A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于 485 的概率为 0.15%
B.生产线乙的食盐质量 ～ (1000, 1002)
C.曲线 ( ) 1的峰值为10 2
D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于 515 ，于是判断出该生产线出现异常，
则该判断是合理的
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.(1 3)( 2 62 ) 的展开式中的常数项为______．
13.函数 = ( )是定义在(0, + ∞)上的严格减函数，对任意 、 ∈ (0, + ∞)，满足 ( ) = ( ) + ( )，且
( 12 ) = 2，则不等式 ( ) + ( 1) + 2 > 0 的解集为______．
14.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动 1 个单位，且第 1 次向左跳动.若前一次向左跳动，则后一次
1 1
向左跳动的概率为3；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为2 .记第 次向左跳动的概率为 ，则 2 =
______； =1 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 > 0， > 0， + 2 = 1．
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(1) 1求 + 的最小值；
(2)求 2 + 6 + 4 2的最大值．
16.(本小题 15 分)
乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某校为了解学生
对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了 200 名学生，统计得到如下 2 × 2 列联表．
乒乓球运动
性别 总计
喜欢不喜欢
男生 40 100
女生 20
总计 120 200
(1)先完成列联表，依据 = 0.001 的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？
(2)为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取 6 人参
加乒乓球动动集训，再从这 6 人中随机抽取 3 人参加乒乓球比赛，记随机变量 为这 3 人中女生的人数，
求 的分布列和数学期望．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )
其中 = + + + ．
17.(本小题 15 分)
能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展.但对于能源的使
用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求.新能源汽车不仅对环
境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，
人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某市近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
汽车购买 (万辆) 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
(1)根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 与 的线性相关性强弱(若 0.9 ≤ | | ≤ 1，则认为 与 线
性相关性很强；若 0.6 ≤ | | < 0.9，则认为 与 线性相关性一般；若| | < 0.6，则认为 与 线性相关性较
弱)；
(2)求 关于 的线性回归方程，并预测该市 2025 年新能源汽车购买辆数．
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= =1
( )( )



=1 ( )( )

参考公式： ， =

2 ， = ．
( )2 ( )2 =1 ( ) =1 =1
参考数值： 13 ≈ 3.6056．
18.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = 2+1，其中 ∈ ．
(1)若 ( )是定义在 上的奇函数．①求 的值；②判断 ( )在[ 1,1]内的单调性，并用定义证明；
(2)当 ≥ 0 时，证明： ( ) ≤ 2 + 1．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )与 = 的图象关于直线 = 对称．
(1)若函数 ( ) = ( + 1) 是偶函数，求实数 的值；
(2) 若关于 的方程 ( ( +1)2+2 ) = ( 2+2 ) + ( 3 )有实数解，求实数 的取值范围；
(3)已知实数 ， 满足 = 1， ( ( ) 1) = ，求 ( ) + ( )的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13.(1,2)
14.1 24 33 49 + 7
24
49 × (
1
6 )

15.解：(1)因为 + 2 = 1，
1 +2 1
所以 + = + = + + 2 ≥ 4，当且仅当 = = 3时取等号，
1
所以 + 的最小值为 4．
(2)因为 + 2 = 1，
所以 2 + 6 + 4 2 = ( + 2 )2 + 2 = 1 + 2 ≤ 1 + ( +2 )2 5 1 12 = 4，当且仅当 = 2 ，即 = 4， = 2
时取等号，
所以 2 + 6 + 4 2 5的最大值为4．
16.解：(1)由题可得，列联表如下：
乒乓球运动
性别 总计
喜欢不喜欢
男生 40 60 100
女生 80 20 100
总计 120 80 200
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零假设为 0：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，
2 = 200×(800 4800)
2 200×4000×4000
则 120×80×100×100 = 120×80×10000 ≈ 33.33 > 10.828 = 0.001，
依据小概率值 = 0.001 的独立性检验，推断 0不成立，
所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联；
(2)喜欢乒乓球运动中，男生 40 人，女生 80 人，则男生人数与女生的人数之比为 1：2，
所以抽取的 6 人中，男生抽 2 人，女生抽 4 人，
所以 可能取 1，2，3，
1 2
则 ( = 1) = 4 2 = 4 = 1，
36 20 5
2 1 ( = 2) = 4 2 = 12 3
3
= ，
6 20 5
3
( = 3) = 4 4 1
3
=
6 20
= 5，
所以 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
则 ( ) = 1 × 1 + 2 × 3 + 3 × 15 5 5 = 2．
17. 1解：(1)由表中数据可知， = 5 × (2019 + 2020 + 2021 + 2022 + 2023) = 2021，

= 0.40+0.70+1.10+1.60+1.805 = 1.1，
5 =1 ( )( ) = 2 × ( 0.7) + ( 1) × ( 0.4) + 0 × 0 + 1 × 0.4 + 2 × 0.7 = 3.6，
5
2
=1 ( ) = 10，
5
=1 ( )
2 = 1.3，
5
故 =
=1 ( )( ) = 3.6
5 ( )2 5 ( )2 10× 1.3
≈ 0.998 > 0.9，
=1 =1
所以 与 线性相关性很强；
5
(2) (1) = =1 ( )( )由 5 2 =
3.6
=1 ( ) 10
= 0.36，
= = 1.1 2021 × 0.36 = 726.46，

所以 关于 的线性回归方程是 = 0.36 726.46，
当 = 2025 时，
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= 0.36 × 2025 726.46 = 2.54(万辆)，
故该市 2025 年新能源汽车购买辆数约为 2.54 万辆．
18.解：(1)①因为 ( )为 上的奇函数，所以 (0) = = 0，解得 = 0；
② ( )在[ 1,1]上单调递增，证明如下：
设 1 ≤ 1 < 2 ≤ 1，则 ( ) ( ) =
2 1
1 2 2
2 2 = ( 1 2)(2 2 1 2)，
1+1
2+1 ( 22 1+1)(
2
2+1)
因为 1 ≤ 1 < 2 ≤ 1，所以 1 2 < 0，2 2 1 2 > 0， ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在[ 1,1]上单调递增．
(2)证明：当 ≥ 0，不等式 ( ) ≤ 2 + 1 1可整理为( 2 + 2+1 ) + 1
2
2+1 ≥ 0，
1 2
证明 ( ) ≤ 2 + 1 成立即证明( 2 + 2+1 ) + 1 2+1 ≥ 0 成立，
2 + 1因为 2+1 =
2 + 1 + 1 2+1 1 ≥ 2 1 = 1，当且仅当 = 0 时等号成立，
所以 ( ) = ( 2 + 1 ) + 1 2 2+1 2+1在[0, + ∞)上单调递增，
则( 2 + 1 2 2+1 ) + 1 2+1 ≥ (0) = 1
2
2+1，
2
当 = 0 时，1 2+1 = 1；
当 > 0 2 2 2时，1 2+1 = 1 ≥ 1 = 0，当且仅当 = 1 时等号成立； +1 2 1
< 0 2 当 时，1 2+1 > 1；
2
所以 1 2+1 ≥ 0，即(
2 + 1 2 2+1 ) + 1 2+1 ≥ 0，即 ( ) ≤
2 + 1．
19.解：(1)因为 = ( )与 = 的图象关于直线 = 对称，
所以 ( ) = ，
所以 ( ) = ( + 1) = ln( + 1) ，

所以 ( ) = ln( + 1) + = ln 1+ + = ln(1 +
) + = ln(1 + ) + ( 1) ，
因为 ( )为偶函数，所以 ( ) = ( )，即 ln( + 1) = ln(1 + ) + ( 1) ，
所以 = 1 1，解得 = 2．
(2)
2
若关于 的方程 ( ( +1)2+2 ) = ( 2+2 ) + ( 3 )有实数解，则 ln ( +1)2+2 = ln 2+2+ ln 3 = ln 3( 2+2)有实
数解，
2
即( +1)2+2 =

3( 2+2) ( > 0)有实数解，
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整理得(3 ) 2 2 3 + 6 = 0 有实数解，
当 = 3 时，有 6 9 + 6 = 0 1，解得 = 2，符合题意；
当 ≠ 3 时， = ( 2 )2 4(3 )( 3 + 6) = 4(2 2 15 + 18) ≥ 0 3，解得2 ≤ ≤ 6，且 ≠ 3，
3
综上，实数 的取值范围为[ 2 , 6]．

(3)由 ( ( ) 1) = ，知 = ，即 ln


= ，所以 =

，所以

= 1，

又 = 1 ，所以 = = 1，且 > 0， > 0，
设 ( ) = ， > 0，
取 0 < 1 <

2，则 0 < 1 < 1， 1 2 < 0，所以
1 2 < 1，
2
( )
所以 1 1 1 2 ( ) = < 1，即 ( 1) < ( 2)，2 2
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，

因为 = = 1，所以 ( ) = (

)

，所以 = ，即 = ，
所以 ( ) + ( ) = + = ln( ) = = 1．
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