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2024-2025 学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | = }, = { | 2 ≤ ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. { |0 < ≤ 1} B. { |0 ≤ ≤ 1} C. { | 2 ≤ ≤ 1} D. { | ≤ 1}
2.命题 ： ∈ ， 2 + + 1 > 0，则命题 的否定是( )
A. ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0 B. ， 2 + + 1 ≤ 0
C. ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0 D. ， 2 + + 1 > 0
3.等差数列{ }的前 项和为 ，若 9 = 54，则 2 + 8 =( )
A. 18 B. 24 C. 12 D. 32
4.已知两个变量 和 之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回


归直线方程 = + ，则( )
1 2 4 6 7
4 3 2 0 2







A. < 0， > 0 B. < 0， < 0 C. > 0， > 0 D. > 0， < 0
5.“{ 2 }为等比数列”是“{ }为等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 ～ (1, 22)， ～ (2, 32)，现给出下列四个结论：
① ( < 0) = ( > 2)；
② ( ≤ 0) = 1 ( < 4)；
③ ( < 1) = ( < 2)；
④ ( 1 < < 3) = ( 1 < < 5)．
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. ， 两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且 ， 两种品牌的钢笔的次品率分别为 4%和 %.
若市场上这种型号钢笔的次品率为 2.5%，则 =( )
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A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 ′( )是 ( )的导函数， ′′( )是 ′( )
| ″( )|
的导函数，则曲线 = ( )在点( , ( ))处的曲率 = 3 .曲线 = 2 在点(0, (0))处的曲率
(1+( ′( ))2)2
为( )
A. 4 525 B. 2 C.
5
5 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 2 + 9，若 ( )有两个极值点，则实数 的取值可能是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
10.下列命题为真命题的是( )
A.若 < < < 0，则 2 < 2 B.若 < < 0，则 2 < 2
C. 1 1若 > > 0，则 2 > > 2 D.若 > > 0，则 >
2 , 为奇数,
11.已知 是数列{ }

的前 项和， 1 = 0, +1 = 则下列结论正确的是( )
+ , 为偶数,
A. 3 = 1 B. { 2 1 + 1}是等比数列
C. { 2 +2}是递增数列 D. 84能被 7 整除
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从正态分布 (100,2)，则 (2 ) = ______．
13 ( ) = lim ( 0+2 ) ( ).已知函数 在 00处可导，若 = 12，则 ′( 0) = ______． →0
14 { } .设等比数列 的前 项和为 ，若 8 12 = 6，则 = ______．4 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在数列{ }中， 1 = 3， +1 = 2 + 3．
(1)求 ；
(2) = 1设 ，求数列{ }的前 项和 ．
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16.(本小题 15 分)
某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了 200 名品尝者，得到以下不完善的列联
表．
(1)完成以下 2 × 2 列联表，能否有 99%的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？
喜欢 不喜欢 合计
男性 40
女性 100
合计 95 200
(2)根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人进
行深入交流，记这 3 人中喜欢喝啤酒的人数为 ，求随机变量 的分布列、期望．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
= ( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
3
已知函数 ( ) = 2 +
2 + 2．
(1)若曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 3 + = 0，求 ， ；
(2)若 ( )有三个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置 4
道题，参加比赛的同学从第 1 题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第 ( = 1,2,3,4)题对应 2 1
分，答对获得相应的分数，答错得 0 分.②方案二：共设置 4 道题，参加比赛的同学从第 1 题开始答题，无
论是否答对都可以回答下一题，直到 4 道题答完为止，每题 2 分，答对获得相应的分数，答错得 0 分.已知
2
小明答对每道题的概率均为3，且每次回答正确与否都相互独立．
(1)若小明选择方案一，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由．
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = ， ( ) = 1．
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(1)判断 ( )的单调性；
(2)若 ( ) + ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围；
(3)若方程 ( ) + ( ) = 0 有两个不同的根 21， 2，证明： 1 2 > ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13.4
14.31
15.(1)根据题意， = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 1)，
所以 = 3 + [5 + 7 + 9 + + (2 + 1)] =
[3+(2 +1)]
2 =
2 + 2 ( ≥ 2)，
又 1 = 3 满足上式，所以 = 2 + 2 ；
(2)因为 =
1
=
1 1 1 1
( +2)
= 2 ( +2 )，
所以 =
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 + 2 4+ + +2 ) = 2 (1 + 2 +1 +2 )
= 3 2 +3即 4 2( +1)( +2)．
16.(1)补全 2 × 2 列联表如下所示：
喜欢 不喜欢 合计
男性 60 40 100
女性 35 65 100
合计 95 105 200
2 = 200×(60×65 35×40)
2
= 5000将表格数据代入公式可得 95×105×100×100 399 ≈ 12.53 > 6.635，
根据小概率值 = 6.635 可以认定有 99%的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关；
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(2)根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为 60：40 = 3：2，
所以 5 名品尝者中，有 3 人喜欢喝啤酒，有 2 人不喜欢喝啤酒，
易知随机变量 的所有可能取值为：1，2，3，
1 2 2 1 3
( = 1) = 3 2 = 3 3 2 6 33 10， ( = 2) = 3 = 10 = 5， ( = 3) =
3 = 1，
5
3
5 5 10
随机变量 的分布列为：
1 2 3
3 3 1
10 5 10
( ) = 1 × 310 + 2 ×
3 1 9
5+ 3 × 10 = 5．
3
17.(1)因为 ( ) = 2 +
2 + 2，
所以 ′( ) = 32
2 + 2 ，
因为 (1) = 72
7
， ′(1) = 2 ，
7 = 3
所以 27 ，
2 = 3 +
1
解得 = 2；
= 0
(2)因为 ( )有三个零点，
3即 + 2 + 2 = 0 有三个解，2
显然 = 0 不是函数的零点，
2
所以关于 的方程
2 + +
2
= 0 有三个不同的根，
2
即曲线 = + + 2与直线 = 有三个交点．2
2
令 ( ) = 2 + +
2，

3
则 ( ) = + 1 2 = +
2 2 ( 3= 1)+(
2 1) = ( 1)(
2+2 +2)
′ ， 2 2 2 2
因为 2 + 2 + 2 > 0，
所以当 ∈ ( ∞,0)，(0,1)时， 1 < 0， ′( ) < 0；
当 ∈ (1, + ∞)时， 1 > 0， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增．
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因为 (1) = 72，所以当 >
7
2时，直线 = 与曲线 = ( )有三个交点，
7
故实数 的取值范围是( 2 , + ∞)．
18.(1)由题意， 的可能取值为 0，1，4，9，16．
所以 ( = 0) = 1 23 =
1
3， ( = 1) =
2
3 × (1
2
3 ) =
2
9，
( = 4) = ( 23 )
2 × (1 23 ) =
4
27， ( = 9) = (
2 )3 × (1 23 3 ) =
8
81，
( = 16) = ( 23 )
4 = 1681，
所以 的分布列：
0 1 4 9 16
1 2 4 8 16
3 9 27 81 81
(2)由(1)可知若小明选择方案一，
则 ( ) = 0 × 1 2 4 83 + 1 × 9 + 4 × 27 + 9 × 81 + 16 ×
16 = 39481 81．
若小明选择方案二，记 为小明的累计得分， 为小明答对题目的数量，则 = 2 ，
2
又 ～ (4, 3 )，所以 ( ) = 4 ×
2 = 83 3，
则 ( ) = 2 ( ) = 163．
因为 ( ) > ( )，所以小明应选择方案二．

19.(1) ( 1) 由已知， ( ) = ， ′( ) = 2 ，
当 = 0 时， ′( ) < 0，所以 ( )在( ∞,0)和(0, + ∞)上单调递减；
当 < 0 时，令 ′( ) > 0，得 < 1 ，令 ′( ) < 0
1
，得 < < 0 或 > 0，
所以 ( ) ( ∞, 1 1在 )上单调递增，在( , 0)和(0, + ∞)上单调递减；
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当 > 0 时，令 ′( ) > 0 1 1，得 > ，令 ′( ) < 0，得 0 < < 或 < 0，
1 1
所以 ( )在( , + ∞)上单调递增，在( ∞,0)和(0, )上单调递减；
综上所述，当 = 0 时， ( )在( ∞,0)和(0, + ∞)上单调递减，
当 < 0 时， ( )在( ∞, 1 )
1
上单调递增，在( , 0)和(0, + ∞)上单调递减，
1
当 > 0 时， ( )在( , + ∞)上单调递增，在( ∞,0)和(0,
1
)上单调递减；

(2)因为 ( ) + ( ) = + 1 ≥ 0 恒成立，
所以 + 1 ≥ 0 恒成立，
令 = ，则 + 1 ≥ 0.令 ( ) = + 1，则 ( )在 上单调递增，
因为 (0) = 0，所以 ( ) ≥ 0，即 ≥ 0，

由 = ≥ 0，得 ≥ ，
令 ( ) = , ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) =
1
2 ，
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
所以 ( ) = ( ) =
1 1
，所以 ∈ [ , + ∞)；
(3)证明：设 1 < 2，由(2)得， ( ) = ( ) + ( )，
0 < < 1当 时， ( )
1 1
= ( ) < 0，此时 > ，
因为 (1) = + 1 > 0 + 0 1 = 0，
1

( ) = + 1 <
+ 1 2 = 0，当 →+∞时， ( ) →+∞，
所以 ( ) = 0 有两个不同的根，即 ( ) + ( ) = 0 有两个不同的根 1， 2，且 1 < 1 < < 2，
由 ( ) + ( ) = 0 得， + 1 = 0，
因为函数 ( ) = + 1 在 上单调递增，且 (0) = 0，所以 = 0，
1 = 1 = 1 所以 2 2 =
，故
2 1
，
2
又 ( 1 + 2) = 1 + 2，
1+1
所以 + = 1 21 2 ( 1 + 2) =
2 1
1 ln ，1 2 1 22
令 = 1 ∈ (0,1)，则 1 +
+1
2 = 1 ，2
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要证 21 2 > ，只要证 1 +
+1
2 > 2，即证 1 > 2，
即证( + 1) 2( 1) < 0，
令 ( ) = ( + 1) 2( 1)， ∈ (0,1)，则 ′( ) = + +1 2，
+1
令 ( ) = + 2 ∈ (0,1) ( ) =
1 1 = 1， ，则 ′ 2 2 < 0，
所以 ′( )在(0,1)上单调递减，
所以 ′( ) > ′(1) = 0，所以 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = 0，即( + 1) 2( 1) < 0 成立，故 21 2 > ．
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