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2024-2025 学年北京市丰台区高一下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本大题共 10 小题，共 40 分。
1.cos12 cos42 + sin12 sin42 的值为
A. 3 1 1 32 B. 2 C. 2 D. 2
2.已知向量 = 1,2 ， = 3,5 ，则 的坐标为( )
A. 4,7 B. 4, 7 C. 2,3 D. 2, 3
3 2 .在复平面内，复数1+ 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.从 1，2，3 组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，则该数大于 300 的概率为( )
A. 1 B. 16 4 C.
1 2
3 D. 3
5.某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为( )
A.至多有一次投中 B.至少有一次投中 C.恰有一次没有投中 D.两次都投中
6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，
它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图 2 所示，
已知半球的半径为 ，圆柱的高也为 ，则银杯盛酒部分的容积为( )
A. 5 3 B. 7 33 3 C.
8
3
3 D. 103
3
7.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的为( )
A.若 ⊥ ， // ，则 ⊥ B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 , , // , // ，则 //
8.为了解某校学生日均运动时长，某研究小组在该校随机抽取了 200 名学生，统计了他们日均运动时长，
并将所得数据分组整理，得到右侧的频率分布直方图，给出下列四个结论：
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① = 0.4；
②这 200 名学生日均运动时长的平均数小于中位数；
③估计该校学生日均运动时长的第 85 百分位数约为 2；
3
④从该校随机抽取一名学生，估计该学生日均运动时长不低于 1 小时的概率为4．
其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①③④ D.①②③④
9.已知 tan ，tan 是方程 2 2 3 1 = 0 的两个实数根，且 , ∈ 2 , 2 ，则 + 的值为( )
A. 5 B. 2 C. D. 6 3 6 3
10.六方氮化硼( )材料具有高导热性和优良的电绝缘性，适用于新能源电池等高功率电子领域，其单
层晶体结构由正六边形紧密排列而成，如图 1 所示.取相邻的三个边长为 1 的正六边形 ，正六边形
，正六边形 ，记 1， 2， 3分别为这三个正六边形的中心，如图 2 所示.给出下列四个结
论：
①若 为线段 的中点，则 = 234；
②向量 11在向量 1 3上的投影向量为 1 2 3
；
31③设 为图 2 中三个正六边形边上的任意一点，则| |2 + | |2的最大值为 2；
④若 = + ，且 = 3，则 + 的取值范围为 2,2 ．
其中所有正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。
11.已知复数 = 2 + ，则 = ．
12.已知向量 = 4,3 ， = 3, ，若 ⊥ ，则 = ．
13.如图，在正方形 中， ， 分别为边 , 的中点，将 ，△ ， 分别沿 , , 折
起；使 , , 三点重合于点 ，则在四面体 中，与平面 垂直的一个平面为 ．
14.如图，在 中，已知 = 6， = 8，∠ = 60 ， , 边上的两条中线 , 交于点 ，则
= ，cos∠ = ．
15.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为线段 1， 上的动点， 为线段 1
的中点，给出下列四个结论：
①三棱锥 1的体积为定值；
66
② + 的最小值为 6 ；
③不存在点 ，使得 1 与 1所成的角为 45°；
④ 3 31 面积的取值范围为 6 , 2 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
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三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在 中， = 7 ， = 5，∠ = 3．
(1)求 sin 的值；
(2)求 的面积．
17.如图，在直三棱柱 1 1 1中， 为棱 的中点， 1与 1 交于点 ，∠ = 90 ．
(1)求证： //平面 1 1 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证： 1 ⊥ 1．
条件①： = 1；
条件②：∠ 1 = 45 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.近年来，国内涌现出一批优秀的 应用大模型.某中学为了解学生使用 、 、 三种 应用大模型的情况，
采用分层随机抽样的方法，从初中部抽取了 60 名学生，从高中部抽取了 50 名学生，获得如下数据：

初中部40 人38 人42 人
高中部30 人25 人20 人
假设所有学生使用 应用大模型的情况相互独立.用频率估计概率．
(1)从该校全体学生中随机抽取 1 人，估计该学生使用 应用大模型 的概率；
(2)从该校初中部全体学生中随机抽取 1 人，高中部全体学生中随机抽取 1 人，估计这 2 人中至少有 1 人使
用 应用大模型 的概率；
(3)在上述样本中，记初中部使用以上三种 应用大模型人数的方差为 21，高中部使用以上三种 应用大模
型人数的方差为 22，试比较 21与 22的大小. (结论不要求证明)
19.已知函数 = 2 3sin cos + 2 2 + 的最小值为 2．
(1)求 的值；
(2)求 的单调递增区间；
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(3) 若锐角 满足 = 1，求 的取值范围．
20.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形，侧面 是正三角形，侧面 ⊥底面
， 为棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
(1)求证： 为棱 的中点；
(2)求直线 与平面 所成角的正切值．
21.如图，设 是由 × ≥ 2 个实数组成的 行 列的数表，其中 表示位于第 行第 列的实数，且 ∈
1,1 = 1,2, , ; = 1,2, , ．
11 12 1
21 22 2

1 2
记向量 = 1, 2, , , = 1, 2, , ，若 = 1 1 + 2 2 + + = 0，则称 与
为正交向量．若对任意不同的 , ∈ 1,2, , ，都有 与 为正交向量，则称 为正交数表．
(1)直接判断 = 1 1 1 11 1 1 ， 2 = 1 1 是否为正交数表(不需要说明理由)；
(2)当 = 6 时，设 1 = 1,1,1,1,1,1 ，且 2与 1为正交向量， 3与 1为正交向量，求证： 2与 3不是正交
向量；
(3)求证：对任意 ∈ ，当 = 4 + 2 时， 不是正交数表．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 5
1
/52
12.4
13.平面 (或平面 )
14.2 13； ； ；
； 10 749 /
10
49 7
15.①②
16.(1)在 中，由正弦定理得sin = sin ，
5× 3
以及 = 7 ， = 5，∠ = 3，得 sin =
sin
=
2 5 3
7 = 14 ．
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 1，则 49 = 25 + 2 2 × 5 × × 2，
化简得 2 5 24 = 0，解得 = 8 或 = 3(舍去)．
故 的面积为 = 1 1 32 sin = 2 × 5 × 8 × 2 = 10 3．
17.(1)证明：因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，
所以四边形 1 1为矩形，所以 为 1 的中点，
又因为 为 的中点，所以 是 1的中位线，
即 // 1，
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又因为 平面 1 1 , 1 平面 1 1 ；
所以 //平面 1 1 ．
(2)(Ⅱ)选条件①：
因为 = 1，且三棱柱 1 1 1为直三棱柱，
所以四边形 1 1为正方形，所以 1 ⊥ 1 ．
因为∠ = 90 ，所以 ⊥ ．
因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，
所以 1 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ．
又因为 ∩ 1 = ，所以 ⊥平面 1 1．
因为 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ ．
又 ∩ 1 = ，所以 1 ⊥平面 1．
选条件②：
因为∠ 1 = 45 ，且三棱柱 1 1 1为直三棱柱，
所以四边形 1 1为正方形．以下同选条件①．
18.(1)设事件 =“从全体学生中随机抽取 1 人，使用 应用大模型 ”，样本中使用 应用大模型 的学
生共有 70 人，样本共有 60 + 50 = 110 70 7人，所以估计 = 110 = 11．
(2)设事件 =“这 2 人中至少有 1 人使用 应用大模型 ”，
事件 =“从初中部全体学生中随机抽取 1 人，使用 应用大模型 ”，
事件 =“从高中部全体学生中随机抽取 1 人，使用 应用大模型 ”，
= 40 = 2 30 3则估计 60 3， = 50 = 5，
所以估计 = + + = + +
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= + +
= 1 + 1 +
= 2 × 2 + 1 × 33 5 3 5 +
2
3 ×
3 13
5 = 15．
(3)记初中部使用以上三种 应用大模型人数的平均数为 1，
2 2 2
1 =
40+38+42
3 = 40 =
40 40 + 38 40 + 42 40 8
， 1 3 = 3；
记高中部使用以上三种 应用大模型人数的平均数为 1，
= 30+25+20 = 25 = 30 25
2+ 25 25 2+ 20 25 2 = 501 3 ， 1 3 3．
所以 21 < 22．
19.(1)因为 2sin cos = sin2 ，2 2 = cos2 + 1，
所以 = 3sin2 + cos2 + 1 + = 2sin 2 + 6 + 1 + ，
又 的最小值为 2，
所以 2 + 1 + = 2，
所以 = 1．
(2)由(1)知， = 2sin 2 + 6 ，
令 2 + 2 ≤ 2 +

6 ≤ 2 + 2 ，
即 3 + ≤ ≤

6 + ，
所以 的单调递增区间为 3 + , 6 + ∈ ．
(3) 因为锐角 满足 = 1，且 = 2sin 2 + 6 ，
所以 2sin 2 + 6 = 1，即 sin 2 +
1
6 = 2．
∈ 0, 2 + 7 又 2 ，所以 6 ∈ 6 , 6 ，所以 2 +
= 5 6 6，即 = 3．
sin sin 2 3 2 3 1
由正弦定理，得 = sin = 3 sin sin + 3 = 3 2 sin
3
2 cos =
2 3
3 sin

3 ，
由 为锐角三角形，得6 < < 2，
1 1
所以 6 < 3 < 6，即 2 < sin 3 < 2，
3 3
所以 的取值范围为 3 , 3 ．
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20.(1)因为四边形 为正方形，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
因为 为棱 的中点，所以 为棱 的中点．
(2)取 的中点为 ，连接 , ，取 的中点为 ，连接 , ，
因为 为正三角形， 为棱 的中点，
所以 ⊥ ．
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 , 分别为 , 的中点，
所以 是 的中位线，所以 // ，即 ⊥平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角．
在 △ 中， = 2 + 2 = 2 5，所以 cos∠ = sin∠ = 5 = 5 ．
在 中， 2 = 2 + 2 2 × × × cos∠ = 5 + 16 8 = 13，所以 = 13．
1在 中， = 2 = 3，
3 39
所以 tan∠ = = 13 = 13 ，
故直线 39与平面 所成角的正切值为 13 ．
21.(1) 1是正交数表， 2不是正交数表．
(2)设 2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ， 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ，
由 2与 1为正交向量， 3与 1为正交向量，得
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0 且 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0.其中 , ∈ 1,1 ， , ∈ 1,2, , 6 ．
故不妨设 1 = 2 = 3 = 1， 4 = 5 = 6 = 1，
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则 2 3 = 1 + 2 + 3 4 + 5 + 6 ∈ 6, 2,2,6 ，
即 2 3 ≠ 0，所以 2与 3不是正交向量．
(3)因为 ∈ ，所以 = 4 + 2 的最小值为 6.因此我们可以从数表 中选出三个不同的行向量，不妨设为
1, 2, 3．
若 为正交数表，则有 1 2 = 0, 2 3 = 0, 1 3 = 0．
且若 为正交数表，可得如下变换成立，
变换 1：交换正交数表 的任意两行，所得的新数表 ′仍是正交数表；
变换 2：交换正交数表 的任意两列，所得的新数表 ′仍是正交数表；
变换 3：将正交数表 的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表 ′仍是正交数表．
因此我们将第一行的所有元素都变成 1，即假设 1 = 1,1,1, , 1 ，
由 1 2 = 0 得，在 2中，1 和 1

的数量相等，即有2个 1 和 1；

同样地， 3中也有有 个 1 和 1.现在考虑 2 32 = 0．
我们将乘积值的情况分成四类：
① 2 = 3 = 1，设数量为 ;
② 2 = 1, 3 = 1，设数量为 ;
③ 2 = 1, 3 = 1，设数量为 ;
④ 2 = 3 = 1，设数量为 ．
且 + + + = ．
根据 2

中有2个 1 和 1， + = + = 2，同样根据
3中有2个 1 和 1， + = + = 2．
所以得 = , = ，从而有 2 3 = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 = + +
= 0．
故有 + = + = 2，所以 = = = = 4，即正交数表的行列数必须是 4 的倍数．
所以 = 4 + 2 ∈ 时必不成立.命题得证．
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