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2024-2025 学年北京市大兴区高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本大题共 10 小题，共 40 分。
5
1.在 + 1 的展开式中， 的系数为( )
A. 20 B. 20 C. 10 D. 10
2.设函数 = 1， ′ 1 = 2，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
3 1.已知随机变量 服从二项分布， 3, 3 ，则 的数学期望是( )
A. 13 B. 1 C. 2 D.
5
3
4.已知函数 = 3 + 2 + 在定义域上不是单调函数，则实数 不可能是( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
5.设等比数列 的公比 ≠ 1，其前 项和为 ，则下列等式中一定成立的是( )
A. 1 + 3 = 2 2 B. 3 1 + 3 = 2 2
C. 22 = 1 3 D. 2 2 1 = 1 3 1
6.给定一组正整数： 1, 2, 3, 4, 5，则“这 5 个数依次成等差数列”是“这 5 个数的平均数和中位数均为
3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.设 0 < < 1，随机变量 的分布列如下表所示，
0 1
1
则当概率 在区间 0,1 内增大时，方差 的变化是( )
A.增大 B.先增大后减小 C.减小 D.先减小后增大
8.已知盒中有 6 个灯泡，其中 4 个正品，2 个次品．从中取出 2 个正品，每次取出 1 个，取出后不放回，
直到取出 2 个正品为止．设 为取出的次数，则 = 3 =( )
A. 45 B.
3
5 C.
2 1
5 D. 5
9.已知直线 = + 是曲线 = 1 + ln 与曲线 = ln + 2 的公共切线，则实数 =( )
A. ln2 B. 1 C. 32 D. ln4
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10.已知各项均为整数的数列 满足：对任意的 ∈ ， +2 + > 2 +1.若 1 = 1， 2 = 2， = 2025，
则正整数 的最大值为( )
A. 63 B. 64 C. 65 D. 66
二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。
11.已知 2 4 = 4 3 24 + 3 + 2 + 1 + 0，则 0 + 2 + 4 =
12.设等差数列 的前 项和为 ， 1 = 5， 3 + 4 = 0，当 = 时， 最小．
13.已知事件 与事件 相互独立，事件 的概率 = 0.5，事件 的概率 = 0.4，则 = ；
= ．
14.设无穷等比数列 的公比是 ，能说明命题“若存在正整数 0，当 > 0时， > 0，则 为递增
数列”是假命题的一组 1， 的值为 1 = ， = ．
15.关于函数 = sin2 ln + 1 ，给出下列四个结论：

① 的值域是 ∞, + ∞ ；② 在区间 0, 6 上单调递增；
③0 是 的一个极值点；④曲线 = 与 轴有且仅有 3 个交点．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知无穷等比数列 的各项都是正数， 1 = 1， 2 4 = 16．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设无穷数列{ 的前 项和为 ， 1 = 2，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使数列 唯一确定，求数列 的前 项和 ．
条件①： +1 = 2， ∈ ；
条件②： 2 = + ， ∈ ；
条件③：2 +1 = + +2， ∈ ．
注：如果选择的条件不符合要求，此题得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分
17.已知袋中装有 3 个红球和 2 个黄球，这 5 个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出 2 个
球．
(1)在第 1 次摸出红球的条件下，第 2 次摸出红球的概率；
(2)设 表示摸出红球的个数，求 的分布列及数学期望 ( )；
(3)若摸出 1 个红球得 2 分，摸出 1 个黄球得 0 分，直接写出摸出 2 球得分的数学期望．
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18.已知函数 = 3 3 2 + ．
(1)求曲线 = 的斜率为 1 的切线方程；
(2)当 ∈ 0,3 时，求证： 4 ≤ ≤ 0；
(3)设 是曲线 = 上的动点， 在何处时，曲线 = 在 处的切线斜率最小？(结论不要求证明)
19.为了解某地中学生使用 、 两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的 80 名初中生和 120 名高
中生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
初中生 高中生
使用 不使用使用 不使用
款30 人50 人 70 人50 人
款 60 人20 人 40 人80 人
假设所有学生对 、 两款模型是否使用互相独立．用频率估计概率．
(1)从该地全体中学生中随机抽取 1 人，估计此人使用 款模型的概率 ；
(2)从该地全体初中生中随机抽取 1 人，全体高中生中随机抽取 2 人，记这 3 人中使用 款模型的人数为 ，
估计 的分布列；
(3)假设该地某校初中生和高中生人数比为 3: 1，从该校全体中学生中随机抽取 1 人，记其使用 款模型的
概率估计值为 1，比较 1与(1)中 的大小．(结论不要求证明)
20.已知函数 = ．
(1)求 的单调区间；
(2)设函数 = 2 + 2 2，函数 在 = 0 处取得极小值．
(ⅰ)求实数 的取值范围；
(ⅱ)是否存在 0 ≠ 0，使得 0 = 0 成立？说明理由．
21.若有穷数列 : 1， 2， ， 满足如下三个性质，则称 为 数列：①项数 ≥ 3；② 1 ≥ 0， +1 >
= 1,2, , 1 ；③令集合 = 1, 2, , ，对 ， 1 ≤ ≤ ≤ ， ∈ 或 + ∈ ．
(1)判断数列 0，2，4，6 是否是 4 数列，并说明理由；
(2)若 : 1， 2， ， 为 数列，求证：对 ， 满足 = + 1 ≤ , ≤ ；
(3)已知 : 1， 2， ， 为 数列，求证：当 ≥ 5 时， 是等差数列．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.41
12.3
13.0.2；/15；0.5/
1
2
14. 1(答案不唯一) 1； 2 ；(答案不唯一)
15.①②④
16.(1)设各项都是正数的无穷等比数列 的公比为 ，
1 = 1,
由题意知 3 = 16，解得 = 2， = 2(舍)．1 1
所以 1 的通项公式为 = 2 ．
(2)选条件①
因为 1 = 2， +1 = 2，
所以数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列．
所以 = 2 ．
= 1 1 + 2 2 + +
= 1 + 2 + + 1 + 2 +
= 2 1 2 +
= 2 1 2 ．
选条件②
由题意知，当 ≥ 2 时， = 1 = 2 ．
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因为 1 = 2，所以 = 2 ．
= 1 1 + 2 2 + +
= 1 + 2 + + 1 + 2 +
= 2 1 2 +
= 2 1 2 ．
选③，2 +1 = + +2 +1 = +2 +1，则 是等差数列，但无法确定公差，不满足题意．
1 1
17.(1) 1 1在第 次摸出红球的条件下，第 2 次摸出红球的概率为 3 2
1 1
=
3 4 2
．
(2)随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,
2
= 0 = 2 = 12 ； 5 10
1 = 1 = 3
1
2 = 6 = 3
25 10 5
；
2
= 2 = 32 =
3
．
5 10
0 1 2
1 3 3
10 5 10
1 3 3 6
数学期望 ( ) = 0 × 10 + 1 × 5+ 2 × 10 = 5．
(3)设摸出 2 球得分为 ，所以 = 2
( ) = (2 ) = 2 ( ) = 2 × 6 125 = 5．
18.(1)由 = 3 3 2 + 得 ′( ) = 3 2 6 + 1．
令 ′ = 1，即 3 2 6 + 1 = 1，得 = 0 或 = 2．
又 0 = 0, 2 = 2，
所以曲线 = 的斜率为 1 的切线方程是 = 与 + 2 = 2，
即 = 与 = 4．
(2)设 = = 3 3 2
因为 ′( ) = 3 2 6 = 3 2 ，
易得当 ∈ 0,3 时， 在 0,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增，
所以 min = 2 = 4，当 ∈ 0,3 时 0 = 0, 3 = 0，
所以 4 ≤ ≤ 0．
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(3)由(1)可得 ′( ) = 3 2 6 + 1 = 3 1 2 2，
当 = 1 时， ′ 最小，
代入 = 1 可得 1 = 1，
所以当 的坐标为 1, 1 时，曲线 = 在 处的切线斜率最小．
19.(1)从表格数据可知，抽查的 80 + 120 = 200 名中学生中有 30 + 70 = 100 人使用 款模型，因此该地
100 1
全体中学生使用 款模型的概率估计为200 = 2．
(2)设事件 为“该地全体初中生中随机抽取 1 人，此人使用 款模型”，
事件 为“该地全体高中生中随机抽取 1 人，此人使用 款模型”．
60 3 40 1
根据题中数据， ( )估计为80 = 4， 估计为120 = 3．
根据题意，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3．
2
= 0 3 1 1可估计为 1 4 × 1 3 = 9；
2
= 1 3可估计为 1 4 ×
1
2 1
1
3 ×
1 3 1 4
3+ 4 × 1 3 = 9；
= 2 3 × 1 1 1 × 1 + 1 3 × 1 × 1 = 13可估计为4 2 3 3 4 3 3 36；
= 3 3 1 1 1可估计为4 × 3 × 3 = 12，
0 1 2 3
1 4 13 1
9 9 36 12
(3)设选中初中生为事件 ，该生使用 款模型为事件 ，
选中高中生为事件 ，该生使用 款模型为事件 ，由题 1 = + ，
3 3 9 1 7 7
又由题可得 = 4 × 8 = 32， = 4 × 12 = 48，则 1 =
41
96，
41 1
则 1 = 96 < = 2
20.(1)由 = 得 ′ = + = + 1 ．
当 ∈ ∞, 1 时， ′ < 0， 在 ∞, 1 上单调递减；
当 ∈ 1, + ∞ 时， ′ > 0， 在 1, + ∞ 上单调递增．
所以 的单调递减区间是 ∞, 1 ，单调递增区间是 1, + ∞ ．
(2)(ⅰ)由函数 = 2 + 2 2得 = 2 2 + 2 2，
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′ = 2 ．
①若 = 0，则 ′ = 2 ≥ 0，
所以 在 ∞, + ∞ 上单调递增，此时函数 无极值点；
②若 > 0，则当 < 0 时， 2 < 0，
所以 ′ = 2 > 0，所以 0 不是 的极小值点；
③若 < 0，由(1)知，
= 在 ∞, 1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增，
故 min = 1 =
1 1
，且当 1 ≤ < 0 时， ≤ < 0 = 0．
若 ≤ 12 ，即 2 ≥
1
，则
≥ 1 ≥ 2 ，
即 2 ≥ 0(当且仅当 = 1 时，等号成立)．
所以当 1 < < 0 时， ′ = 2 < 0；
当 > 0 时， ′ = 2 > 0．
所以 在 = 0 处取得极小值．
1若 2 < < 0
1
，即 0 < 2 < ，令 =
2 ，
因为 0 = 2 > 0, 1 = 1 2 < 0，且 在 1, + ∞ 上单调递增，
所以 ′ ∈ 1,0 ， ′ = 0，故当 > ′时， > 0．
所以当 ′ < < 0 时， ′ = 2 < 0；
当 > 0 时， ′ = 2 > 0．
所以 在 = 0 处取得极小值．
综上可知， 的取值范围是 ∞,0 ．
( )不存在，理由如下：
假设存在 0 ≠ 0，使得 0 = 0 成立，
则有 20 2 2 0 + 2 0 = 0 2 0 + 2 0．
令 = 2 2 + 2 ，则 0 = 0 ．
由(2)中(ⅰ)知，函数 在 ∞, + ∞ 上单调递增，
所以由 0 = 0 得 0 = 0，即 0 = 0，这与 0 ≠ 0 矛盾，所以假设不成立．
所以不存在 0 ≠ 0，使得 0 = 0 成立．
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21.(1)由题意知，集合 = 0,2,4,6 ．
因为数列 0，2，4，6 共有 4 项，0 < 2 < 4 < 6，
且 0 0，2 0，4 0，6 0，2 2，4 2，6 2，4 4，6 4，6 6
都是集合 的元素，
所以数列 0，2，4，6 是 4 数列．
(2)由题意知，集合 = 1, 2, , ．
已知 : 1， 2， ， 为 数列．
①因为 > 0，所以 + > ，所以 + ， ∈ ．
故 0 ∈ .因此 1 = 0．
所以 = 1 满足 1 = + 1．
②当 2 ≤ ≤ 时，因为 > 0，
所以 + ， ∈ ．
所以对于 2 ≤ ≤ ， 满足 = ∈ ，即 = + ．
所以对 ， 满足 = + 1 ≤ , ≤
(3)因为 : 1， 2， ， 为 数列，
所以 0 = < 1 < 2 < < 2 < 1 = ，
且 0 ≤ 1 < 2 < 3 < < 1 < ．
所以 = 1， 1 = 2， 2 = 3， ， 2 = 1， 1 = ．
即 = +1，1 ≤ ≤ 1.①
当 3 ≤ ≤ 1 时， 1 + 1 < 1 + 2 = ，
所以 1 + ， 1 ∈ ．
由 0 = 1 1 < 1 2 < < 1 3 < 3 = 2，
且 0 ≤ 1 < 2 < 3 < < 3 < 2．
所以 1 1 = 1， 1 2 = 2， 1 3 = 3， ， 1 3 = 3，
所以 1 = ，1 ≤ ≤ 3．
因为 ≥ 5 时， 1 1 = 1， 1 2 = 2，
所以 1 1 = 1，且 1 2 = 2，
有 1 = ，1 ≤ ≤ 1.②
将①②两式相减得 1 = +1 ，1 ≤ ≤ 1．
因此，当 ≥ 5 时， : 1， 2， ， 是等差数列．
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