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2024-2025 学年北京市十一学校高二（下）诊断
数学试卷（7 月份）
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1 1.设集合 = { |( 2 )
< 18 }， = { |
1
4 ≤ 0}，则( ) ∩ =( )
A. (1,3) B. [1,3] C. (3,4) D. (3,4]
2.下列函数中为偶函数，且在(0, + ∞)上递增的是( )
A. = B. = 2 + 1 1 2 C. = 2 + 2 D. =
3 +
3.已知实数 > > ， ≠ 0，则下列结论一定正确的是( )
A. > B. > C. 1 < 1 D. + > +
2
4.已知 = log0.30.2， = 0.30.2， = 0.20.3，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在[0, 1]时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在[ 1, 2]时间段内不断加速行驶；
③汽车在[ 2, 3]时间段内不断减速行驶；
④汽车在 2时刻的瞬时速度小于 4时刻的瞬时速度．
其中正确结论的个数有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6 1 4

.函数 ( ) = 2 2的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
7.“ = 1”是“对任意 > 0，( ) ≥ 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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8.函数 = + ，其中 ， ( ≠ 0)是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.对于非线性可导
函数 ( )，在点 0附近一点 的函数值 ( )，可以用如下方法求其近似代替值： ( ) ≈ ( 0) + ′( 0)(
0).利用这一方法， = 3.998的近似代替值( )
A.大于 B.小于
C.等于 D.与 的大小关系无法确定
9 1.已知函数 ( ) = 3 23 + 4，若 ( )有且只有一个零点 0，且 0 > 0，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 33 ) B. (
3 3
3 , 0) C. ( 3 , + ∞) D. (0,
3
3 )
10 ( ) ( ) ( ) = ( ).已知函数 与 ′ 的图象如下图所示，设函数 ，则函数 ( )在( 2,4)上的极大值点个数
为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11.荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能
有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一
天的基础上提高 1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学
生乙的 2 倍时，大约经过了( )
(参考数据： 101 ≈ 2.0043， 2 ≈ 0.3010)
A. 60 天 B. 65 天 C. 70 天 D. 75 天
12 .函数 ( ) = 和 ( ) = 有相同的最大值，直线 = 与两曲线 = ( )和 = ( )恰好有三个交点，
从左到右三个交点横坐标依次为 1， 2， 3，则下列说法正确的是( )
① 2 > 2；② 2 < 2；③ 1 + 3 = 2 2；④ 21 3 = 2．
A.②④ B.①③ C.②③ D.①④
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
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13 .函数 = 的定义域为______．
4 2
14.使得命题“对任意 > 0， 2 + ( + 2) + 1 ≥ 0”为假命题的 的一个取值是______．
15.若“ > 2 5”是“| 2| < 1”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是______．
16.已知 = 1 是函数 ( ) = ( 1)4( )的极大值点，那么 的取值范围是______．
17 2 1.已知 > 0， > 0， + = 1，若 = + ， = + ，则 + 的最小值是______．
18.已知函数 ( ) = | + |，若 = 1，则 ( )的单调递增区间为______；若函数 ( )在区间[0,1]上单调
递增，则 的取值范围为______．
2
19 ( ) = + , ≤ .已知函数 1, > ，当 = 1 时， ( )的值域是______；若 ∈ 且 ≠ 0，使得 (1 + ) =
(1 )成立，则实数 的取值范围为______．
20.已知函数 ( ) = |ln| 1|| + 2，给出下列四个结论：
①当 = 1 时， ( )有一个零点；
②当 > 0 时，存在常数 ，使得 ( ) ≥ 恒成立；
③ ≥ 1， ( )在(1, + ∞)上单调递减；
④若 ( )有三个零点，则整数 的最小值为 5．
其中所有正确的结论的序号是______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 62 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 16 分)
已知函数 ( ) = ．
(1) = 2 时，求 = ( )在(0, (0))处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( ) ≥ 1 恒成立，求实数 的取值范围．
22.(本小题 16 分)
已知函数 ( )、 ( )分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ( ) + ( ) = 2 3 ．
(1)证明： ( ) ( ) = 2 3 ，并求函数 ( )、 ( )的解析式；
(2)直接说明函数 ( )的单调性，并解关于 不等式： ( 2 + 4 ) + ( 6) > 0；

(3) 3 2设 ( ) = 3 +2， ( ) = (2 ) 2 ( ) + 2 3，对于 1 ∈ ， 2 ∈ [0, + ∞)，使得 ( 1) ≥ ( 2)，
求实数 的取值范围．
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23.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ．
(1)若 ( )无单调递减区间，求 的取值范围；
(2)关于 的方程 ( ) = 有两个不同的根 1、 2，且 1 < 2．
( )若 = 0，求 的取值范围；
( )若 > 1 ，记 = 2 .问：当 取何值时， 取得最小值．1
24.(本小题 15 分)
已知集合 是正整数集 的真子集，若 满足如下两个性质，则称 具有性质 .条件①：存在 ， ， ∈ ，
使得 + + ∈ ；条件②：对任意 ， ， ∈ ，且 + + ∈ ，都有 ∈ ．
(1)判断下列两个集合是否具有性质 ；(无需过程) 1 = {1,3}； 2 = {2,4,6}．
(2)若集合 具有性质 ，且 为有限集，求集合 的元素个数| |的最小值和最大值；
(3)是否存在具有性质 且为无限集的集合 ？如果存在，求出满足条件的所有集合 ；如果不存在，请说明
理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.(0,2)
14. 5(只需满足 < 4 即可)
15.{ | ≤ 3}
16.(1, + ∞)
17.4 + 2 2
18.[0, + ∞) [ 1,1]
19. ( ∞,1) ∪ {2}
20.①③④
21.(1) = 2 时， ( ) = 2 ， (0) = 0 = 1，
又 ′( ) = 2，故 ′(0) = 0 2 = 1，
∴ = ( )在(0, (0))处的切线方程为 1 = ( 0)，即 + 1 = 0；
(2)函数 ( ) = 的定义域为 ， ′( ) = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) = > 0 恒成立， ( )在 上单调递增；
当 > 0 时，由 ′( ) > 0，解得 > ；由 ′( ) < 0，解得 < ，
∴ ( )在( ∞, )上单调递减，( , + ∞)上单调递增；
综上所述：当 ≤ 0 时， ( )在 上单调递增；
当 > 0 时， ( )在( ∞, )上单调递减，( , + ∞)上单调递增；
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(3)由题意要使 ( ) ≥ 1 恒成立，只需 ( ) ≥ 1 即可．
由(1)可知，当 ≤ 0 时， ( )在 上单调递增，且 (0) = 1，
∴当 < 0 时， ( ) < 1，不合题意，舍去；
当 > 0 时， ( )在( ∞, )上单调递减，( , + ∞)上单调递增，
∴ ( ) = ( ) = ，
只需 ( ) = ≥ 1，即 1 ≥ 0 对于任意的 ∈ (0, + ∞)恒成立即可．
令 ( ) = 1，则 ′( ) = 1 1 = ，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )在(0,1)上单调递增；
当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )(1, + ∞)上单调递减；
∴ ( ) = (1) = 1 1 1 = 0，
∴ ( ) ≤ 0，
∴只有 = 1 符合题意．
综上所述，实数 的取值范围为{1}．
22.(1)因为函数 ( )、 ( )分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ( ) + ( ) = 2 3 ①.
则 ( ) + ( ) = 2 3 ，即 ( ) ( ) = 2 3 ②，故得证，
联立①②可得 ( ) = 3 3 ， ( ) = 3 + 3 ；
(2)函数 ( ) = 3 3 为 上的增函数，证明如下：
任取 1 < 2，由 ( 1) ( 2) = (3 1 3 1) (3 2 3 2)
3 1 2= 3 1 3 2 + 3 = (3 1 3 + 23 )(1 +
1
1 2 3 1+ )，2
1因 1 < 2，则3 1 < 3 2，且 1 + 3 + > 0，故得 ( 1) < ( 2)，1 2
所以函数 ( ) = 3 3 为 上的增函数，
由 ( 2 + 4 ) + ( 6) > 0 得 ( 2 + 4 ) > ( 6)，
因为 ( )为 上的奇函数，
所以不等式化为 ( 2 + 4 ) > (6 )，
又 ( )在 上递增，
所以 2 + 4 > 6 ，即 2 + 5 6 > 0，解得 < 6 或 > 1，
故所求不等式的解集为( ∞, 6) ∪ (1, + ∞)；

(3) 3 2 3 +2 4 4因为 ( ) = 3 +2 = 3 +2 = 1 3 +2，
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= 3 + 2 4在 上递增，且 > 2， = 在 ∈ (2, + ∞)上递增，
所以函数 ( )在 上单调递增，
当 → ∞时， ( ) → 1，故 ( ) > 1；
又因为 ( ) = (2 ) 2 ( ) + 2 3 = (32 + 3 2 ) 2(3 3 ) + 2 3
= (3 3 )2 2(3 3 ) + 2 1，
令 = 3 3 ≥ 0，即有 ( ) = ( ) = 2 2 + 2 1，
又 ( ) = 2 2 + 2 1 = ( 1)2 + 2 2，
故当 = 1 时， ( ) = 2 2，即 ( ) = 2 2．
因为对于 1 ∈ ， 2 ∈ [0, + ∞)，使得 ( 1) ≥ ( 2)，
1
故需使 2 2 ≤ 1 解得 ≤ 2，
1
故实数 的取值范围是( ∞, 2 ]．
+ 1
23.(1)因为 ( ) = ( > 0 且 ≠ 1)，则 ′( ) = ( )2 = ( )2 ( > 0 且 ≠ 1)，
+ 1
因为函数 ( )无单调递减区间，则对 ∈ (0,1) ∪ (1, + ∞)， ′( ) = ( )2 ≥ 0，
即 + 1 ≥ 0，可得 ≥ ( > 0 且 ≠ 1)，
令 ( ) = ，其中 ∈ (0,1) ∪ (1, + ∞)，则 ′( ) = ，
当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )在(1, + ∞)上单调递减，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ≥ 1 1 = 1，即实数 的取值范围是[1, + ∞)；
(2)( )当 = 0 时，由 ( ) = = 可知，直线 = 与函数 ( )的图象有两个交点，
1′( ) = ( )2，由 ′( ) = 0 可得 = ，列表如下：
(0,1) (1, ) ( , + ∞)
′( ) 0 +
( ) 减 减 极小值 增
故函数 ( )的极小值为 ( ) = ，
且当 > 1 时， ( ) > 0，当 0 < < 1 时， ( ) < 0；如下图所示：
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由图可知，当 > 时，直线 = 与函数 ( )的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是( , + ∞)；
1 = 1
( )
=
由题意可得 1
1
=
2 > 1
2 ，即 2 ，且 ，1
= 2
= 2
2 1
可得 = 2 1 = ln
2 ( 1) 1
，即 = ，故
1 1 1
1 1
= = 1 ，
( ) =

因为 ，其中 > 0 且 ≠ 1
+， ′( ) =
1
( )2 = 2 ，( )
令 ( ) = + 1 1 ，则 ′( ) = 2 = 2 ，
当 > 时， ′( ) > 0，即 ( )在( , + ∞)上单调递增，
当 0 < < 时， ′( ) < 0，即 ( )在(0, )上单调递减，
故 ( ) = ( ) = > 0，故 ′( ) > 0，即 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递增，
因为 > 1，故当 ∈ (1, )时， ( ) = < 0；
当 ∈ ( , + ∞)时， ( ) = > 0．
∈ (0,1) ( ) = 当 时， > 0；
故有 0 < 1 < 1， 2 > ，
( ) =
1 1
令 1 ( > 1)
1
，则 ′( ) = ，( 1)2 = ( 1)2
令 ( ) = 1 1 ( > 1)，则 ′( ) =
1 1 1 2 = 2 < 0，
故函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，故 ( ) < (1) = 0，故 ′( ) < 0，

故当 取最小值时， ( )取最大值，即 1 1 在 1 ∈ (0,1)时取最大值，1
( ) =

令 ，其中 ∈ (0,1)，则 ′( ) = ( )2 ，
令 ( ) = ，则 ′( ) = 1 = < 0 对任意的 ∈ (0,1)恒成立，
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即函数 ( )在(0,1)上单调递减，
当 → 0 时， ( ) →+∞，且 (1) = 1 < 0，
故存在 0 ∈ (0,1)，使得 ( 0) = 0 0 = 0，
当 ∈ (0, 0)时， ( ) > 0， ′( ) > 0，即函数 ( )在(0, 0)上单调递增，
当 ∈ ( 0, 1)时， ( ) < 0， ′( ) < 0，即函数 ( )在( 0, 1)上单调递减，
( ) = ( ) = 0 所以， 0 0 1 0 1 0 = ，此时 = = ，即 = ，0 0
即当 = 时， 取得最小值．
24.(1)对于 1 = {1,3}，若 ， ， ∈ 使得 + + ∈ 1，只能是 = = = 1，此时 = 1 ∈ ，所以
1具有性质 ，
对于 2 = {2,4,6}，取 = = = 2，则 + + = 6 ∈ 2，但 = 2 × 2 × 2 = 8 2，不满足条件②，
所以 2不具有性质 ，
所以 1具有性质 ， 2不具有性质 ；
(2)取 = {1,3}，具有性质 ．
= { }，则 + + = ， ， ， ∈ ，∴ ≥ 3，
若 = 3， = = = 1， = 1 ，
≥ 4 时， = 1， = 1， = 2， = 2 ，
∴ | |最小值为 2；
设 中的最大值为 ，则 ≥ 3，
= 3 时， = = = 1， = 1 ∈ ，
= 4 时， = = 1， = 2， = 2 ∈ ，
= {2,4}是满足性质 的，
再添加 3，就必须添加 1，这样集合 = {1,2,3,4}，| | = 4，
= 5 时，∵ 1 + 1 + 3 = 5，∴ 1 × 1 × 3 = 3 ∈ ，
1 + 2 + 2 = 5，∴ 1 × 2 × 2 = 4 ∈ ，
再添加 1，2，3， = {1,2,3,4,5}，| | = 5，满足性质 的，
若 = 6 时， = = = 2， = 8 ，
≥ 7， = 1， = 2， = 3， = 2 6 ， ，
∴ | |的最大值为 5．
(3) ∈ ， ≥ 7， 是奇数，1 + 1 + ( 2) = ，1 × 1 × ( 2) ∈ ，
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以此类推，一切小于 的正奇数都属于 ，
∵ 1 + 2 + ( 3) = ，∴ 2( 3) = 2 6 ∈ ，2 6 > 6，
记 1 = 2 6，1 + 2 + ( 1 3) = ，1 × 2 × ( 1 3) = 2 1 6 > 1，
依此类推，可得到任意大的偶数 属于 ，
1 + 1 + ( 2) = ，1 × 1 × ( 2) = 2，
1 + 1 + [( 2) 2] = 2，1 × 1 × 1 × ( 4) = 4 ∈ ，
依此类推得到所有偶数属于 ，
∴只要具有性质 且为无限集的集合 中含有大于等于 7 的奇数，则所有的正整数都属于集合 ．
若没有大于等于 7 的奇数，则必有大于 7 的偶数，1 + 2 + ( 3) = ，1 × 2 × ( 3) = 2 6 > ，2 6
时比 更大的偶数，由此得出任意大的偶数 属于 ，从而 1 × 1 × ( 2) = 2 属于 ，于是得出所有的
偶数都属于 ，
这样一来，奇数 1，3，5 是可选的，
∵ 1 + 1 + 3 = 5，1 × 1 × 3 = 3，1 + 1 + 1 = 3，1 × 1 × 1 = 1，
∴集合 中 5 时必有 1，3，有 3 时必有 1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合：
有大于等于 7 的奇数时，只有一个{1,2,3,4,5,6,7,8, , , }，
没有大于 7 的奇数时有 4 个：
{2,4,6,8,10,12, , 2 , }，{1,2,3,4,5,6,8,10,12, , 2 , . . . }
{1,2,3,4,5,8,10,12, , 2 , }，{1,2,4,6,8,10, , 2 , . . . }．
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