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2024-2025 学年安徽省高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.由样本点( , )( = 1,2,3,4,5)得到 关于 的线性回归方程为 = 2 + 1，若 = 2，则 =( )
A. 5 B. 3 C. 12 D. 2
2.若直线 = 1 与圆 2 + 2 4 2 = 相切，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.若空间向量 = (1, 1,2)， = (0,1, 1)，则下列向量可以与 ， 构成空间的一个基底的是( )
A. = (1,0,1) B. = (1, 2,3) C. = (1,1,1) D. = (2, 1,3)
4.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 4 = 4， 5 = 15，则{ }的公差为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.某市派 4 名专家到西部某市 2 家医院坐诊，每家医院至少派 1 名专家，且每名专家只去 1 家医院，则不
同的分配方案种数为( )
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
6.已知定义在区间(0, )上的函数 ( ) = 2 ，则 ( )的单调递减区间为( )
A. (0, 3 ) B. (0,

3 ), (
2 , ) C. ( 2 3 3 , ) D. (
, 2 3 3 )
7 1 3.已知( 3 ) 的展开式中第 3 项与第 5 项的二项式系数之比为14，则展开式中的有理项的项数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了 100 只，得
到如表数据(单位：只)：
发病 未发病 合计
使用药物 10 40 50
未使用药物 30 20 50
合计 40 60 100
( )
从该动物种群中任取 1 只，记事件 表示此动物发病，事件 表示此动物使用药物，定义 的优势 1 = 1 ( )，
( | )
在 发生的条件下 的优势 2 = 1 ( | )，则( )
A. 2 ( | ) 3 B. 2 ( | ) 3 可化简为 ，估计其值为8 可化简为 ，估计其值为1 ( | ) 1 ( | ) 8
C. 2 ( ) 1 ( ) 1 可化简为 ，估计其值为 D.
2可化简为 ，估计其值为
1 ( ) 3 1 ( ) 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 服从正态分布 (100, 102)，则( )
A. ( < 100) = ( > 100) B. ( < 10) = ( > 10)
C. ( > 90) > ( < 120) D. ( < 80) < ( > 110)
10.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 (1,0)， ( 0, 2 3)是 上一点，过点 (0,1)的直线与 交于 ，
两点，且 ⊥ ，则( )
A. 0 = 2 B.直线 的方程为 + 3 3 = 0
C.直线 ， 的斜率之和为 0 D. = 4
11.已知函数 ( ) = + + 2，则下列说法正确的是( )
A.若 = 1， = 0，则曲线 = ( )与直线 = 1 相切
B.存在不同时为 0 的实数 ， ，使得 ( 2 + 1) < ( 2 + 3)恒成立
C.存在实数 ， 且 > 0，使得 ( )既有极大值又有极小值
D.若 = 0 且 ( ) > 0 1恒成立，则 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ } 2 满足 3 = ，则 sin 2 43 = ______．
13.已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆
2 ： 2 +
2 = 1( > 1) 3的离心率为 2 ，则该椭圆的蒙日圆方程为______．
14.已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2，若当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≤ ( )恒成立，则实数
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知首项为 1 的正项数列{ }满足
1
+1 = 4 2．
(1)求 2；
(2)求{ }的通项公式；
(3) 1求数列{ + }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + 1．
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(Ⅰ) ( 1 , 16证明：点 3 27 )是 ( )图象的对称中心；
(Ⅱ)求 ( )的图象在点( 1, ( 1))处的切线方程；
(Ⅲ)求 ( )的极值．
17.(本小题 15 分)
如图，四边形 为菱形， //平面 ，过 的平面交平面 于 ， = = = 2．
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)若平面 ⊥平面 ，△ 为等边三角形， = 6，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车
1 3 1
的概率为4，第二天改开私家车的概率为4；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为2，第二天改
1 1
坐班车的概率为2 .若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为2，该工厂某员工第 天坐班车的概
率为 ．
(Ⅰ)设该工厂某 3 位员工中第二天坐班车的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(Ⅱ)求 ；
(Ⅲ)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调 10 人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每
天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，且| 1 2| = 4．
(Ⅰ)求 的实轴长与虚轴长之积的最大值．
(Ⅱ)若过点 2的直线与 的右支交于 ， 两点，直线 1与 轴交于点 ，△ 2的内切圆与边 2相切于点 ，
且| | = 1．
( )求 的方程；
( )记△ 1 2的内切圆面积为 1，△ 1 2的内切圆面积为 2，求 1 + 2的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12. 32
13. 2 + 2 = 5
14.1
15.(1) 1当 = 1 时，有 2 1 = 4 2，又 1 = 1，
所以 2 4 2 + 4 = 0，解得 2 = 4；
(2)由 +1 = 1，得{ }是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，
所以 = 1 + 1 = ，即 = 2；
(3) 1 1 1 1 1由 + = = 2+ ( +1) = +1，
所以 1 = 1 2+
1 1 1 1 1
2 3 + . . . + +1 = 1 +1 = +1．
16.(Ⅰ) 2证明：因为 ( 3 ) = (
2
3 )
3 ( 2 )23 (
2
3 ) + 1 =
3 + 2 + + 527，
所以 ( ) + ( 2 ) = 3 2 + 1 3 + 2 + + 5 = 323 27 27，
即 ( ) + ( 23 ) =
32
27，
( 1 , 16即证明点 3 27 )是 ( )图象的对称中心．
(Ⅱ)因为 ( ) = 3 2 + 1，
所以 ( 1) = 0， ′( ) = 3 2 2 1，
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所以 ( )的图象在点( 1, ( 1))处的切线斜率 = ′( 1) = 3 + 2 1 = 4，
故 ( )的图象在点( 1, ( 1))处的切线方程为 0 = 4( + 1)，即 = 4 + 4．
(Ⅲ)因为 ′( ) = 3 2 2 1，
令 ′( ) = 0，得 = 13或 = 1，
1
所以在( ∞, 3 )上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
在( 13 , 1)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(1, + ∞)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
( ) 1 32所以 的极大值为 ( 3 ) = 27，极小值为 (1) = 0，
( ) 32故 的极大值为27，极小值为 0．
17.(1)证明：∵ //平面 ，
过 的平面交平面 于 ，∴ // ，
又 = = ，∴四边形 为菱形，∴ //
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
又四边形 为菱形，
∴同理 //平面
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴平面 //平面 ，
又 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)设 与 交于点 ，连接 ．
∵△ 为等边三角形，四边形 为菱形，
∴ 为 的中点， ⊥ ．
又平面 ⊥平面 ，且交线为 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ = = 2，∴ = 3
易知 ， ， 两两互相垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
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则 (3,0,0), (0,1,0), (0,0, 3)，
∴ = ( 3,0, 3), = (0, 1, 3)
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 3 + 3 = 0则 ，则 ， ⊥ = + 3 = 0
不妨取 = 1，则 = (1,3, 3)，
易知 = (3,0,0)是平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，

则 = |cos < , > | = | | 3 13
| ||
=
| 1+9+3×3
= 13 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 13．
13
18.(1) 1 1 1 1 3由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率 2 = 2 × 4 + 2 × 2 = 8，
所以 ～ (3, 38 )
的所有可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) = 0 × ( 5 )3 × ( 33 8 8 )
0 = 125512，
( = 1) = 13 × (
5 )2 × ( 3 )1 = 2258 8 512，
( = 2) = 2 × ( 5 )1 × ( 3 )2 = 1353 8 8 512，
( = 3) = 33 × (
5 )0 × ( 3 )3 = 278 8 512，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
125 225 135 27
512 512 512 512
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( ) = 3 × 3 98 = 8；
(2) 1 +1 = 4
1
+ 2，
2 1 2则 +1 5 = 4 ( 5 )
1 2 1 2 1
又 1 = 2 , 1 5 = 2 5 = 10，
所以{
2 1
5 }是首项为10，公比为
1
4的等比数列，
2 1所以 5 = 10 (
1
4 )
1, = 2 + 1 1 5 10 ( 4 )
1；
(3)由(2) 2可知，当 趋向于正无穷大时， 趋向于5，
2
所以工厂每天抽调的 10 人中，去班车停车场参加安保工作的应有 10 × 5 = 4 人，去私家车停车场参加安保
3
工作的应有 10 × 5 = 6 人．
2 2
19.(Ⅰ) 设双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的半焦距为 ( > 0)．
因为| 1 2| = 4，所以 = 2，
因为 2 + 2 = 2 = 4， 的实轴长为 2 ，虚轴长为 2 ，
因为 2 2 = 4 ≤ 2( 2 + 2) = 8，当且仅当 = = 2时等号成立，
所以 的实轴长与虚轴长之积的最大值为 8．
(Ⅱ)( )设△ 2的内切圆分别与 ， 2相切于点 ， ，如图．
由切线长定理可知| | = | |，| 2 | = | 2 |，| | = | |，
因为| 1| = | 2|，
所以| 1| | 2| = | | + | | + | 1| (| | + | 2 |)
= | | + | 1| | 2 | = | | + | 2| | 2 | = 2| | = 2，
即 2 = 2， = 1，
所以 = 4 1 = 3，
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2
则 的方程为 2 3 = 1；
( )如图，设两内切圆圆心分别为 1， 2，半径分别为 1， 2， 1， 2， 1 2与圆 1分别相切于点 ， ，
．
由切线长定理可得| 1| | 2| = | | + | 1| (| | + | 2|)
= | | + | 1| (| | + | 2|) = | 1| | 2| = 2 = 2，
因为| 1| + | 2| = 2 = 4，所以| 1| = 3，| 2| = 1，
所以 是 的右顶点(1,0)．
因为 1 ⊥ 轴，所以点 1的横坐标为 1，
同理可求得点 2的横坐标也为 1，
设直线 的倾斜角为 ，
∈ ( , 2 则 3 3 ), ∠ 2 1 = ．
在 △ 1 2， △ 2 2中，
cos

有 1 = tan( 2
1
2 2 ) = sin
= ,
tan 2
= tan 2．
2 2

易知2 ∈ (

6 ,

3 )，
设 = tan2 12，则 ∈ ( 3 , 3)，
则 21 + 22 =
1
2 + tan
2 1
tan 2
= + ，
2
令 ( ) = + 1 ，
则 ( ) ( 1在区间 3 , 1)上单调递减，在区间(1,3)上单调递增．
因为 (1) = 1 + 11 = 2, (
1
3 ) = (3) =
1 10
3+ 3 = 3，
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所以 ( ) 1 10在区间( 3 , 3)上的值域是[2, 3 )．
故 1 + 2 = ( 21 + 2
10
2)的取值范围是[2 , 3 )．
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