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16.1 幂的运算
16.1.1 同底数幂的乘法
第十六章 整式的乘法
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.（重点）
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
（难点）
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升自身的推理能力.
an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么？
幂
指数
底数
问题1:一种电子计算机每秒可进行1千亿亿(1016)次运算，它工作103s可进行多少次运算？
解：1016×103
=(10×10×…×10)×(10×10×10)
=10×10×…×10
=1019
请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空.
(1)25×22=( )×( )= =2( )
(2)a3·a2=( )×( )= ____________=a( )
(3)5m×5n=( )×( )=_____________=5( )
2×2×2×2×2
2×2
7
2×2×2×2×2×2×2
a·a·a
a·a
a·a·a·a·a
5
m个5
5×5×…×5
n个5
5×5×…×5
(m+n)个5
5×5×…×5
m+n
思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
猜想：am·an= （m、n都是正整数）
am+n
(a a … a)×(a a … a)
=am+n
=a a … a
am an=
同底数幂乘法法则：
am an=______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____.
条件：
结果：
am+n
不变
相加
①底数不变
①乘法
②同底数幂
②指数相加
计算：
(1)105×106=_______； (2)a7·a3 =_______；
(3)x5·x7=_______； (4)(-b)3·(-b)2 =__________.
1011
a10
x12
-b5
类比同底数幂的乘法公式：
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示am·an·ap等于什么呢？
am·an·ap=______.(m，n，p都是正整数)
a2·a6·a3 =__________
a11
am+n+p
例1.计算：
(1)x2·x5 (2) a·a6 (3)(-2)×(-2)4×(-2)3 (4)xm·x3m+1
解:(1) x2·x5=x2+5=x7
(2) a·a6=a1+6=a7
(3) (-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256
(4) xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1
a=a1
计算：
(1) b5·b (2)
(3) a2·a6 (4) y2n·yn+1
解：(1) b5·b=b5+1=b6
(2)
(3) a2·a6=a2+6=a8
(4) y2n·yn+1=y2n+n+1=y3n+1
例2.计算：
(1)(a+b)2·(a+b)3 (2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 (3)(x-y)2·(y-x)5
解:(1)(a+b)2·(a+b)3 =(a+b)2+3 =(a+b)5
(2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 =(m-n)3+2+6 =(m-n)11
(3)(x-y)2·(y-x)5 =(y-x)2·(y-x)5 =(y-x)2+5 =(y-x)7
【点睛】公式am·an=am+n中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他代数式.当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．
n为偶数，
n为奇数.
计算：
（1）；
（2） ．
解：（1）．
（2）．
例3.计算:
(1)x3·x5+x·x3·x4 (2)(2x-1)2·(2x-1)3+(2x-1)4·(1-2x)
解:(1)原式=x8+x1+3+4=x8+x8=2x8
(2)原式=(2x-1)5-(2x-1)4·(2x-1)=(2x-1)5-(2x-1)5=0
计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式．
（2）原式
．
同底数幂乘法法则的逆用：
想一想：am+n可以写成哪两个因式的积？
am+n = am·an
填一填：
(1) a6 = a·____ = a2·____
(2) 若 xm = 3，xn = 2，那么：xm+n =___.
a5
a4
分析：xm+n= xm·xn=3×2=6
6
例4. (1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值；
(2)已知23x＋2＝32，求x的值.
(2)∵ 23x＋2＝32＝25，
∴3x＋2＝5，
∴x＝1.
解：(1) 2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120；
【点睛】(1)关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值.
(2)关键是将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答.
已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）．
解：（1）；
（2）；
（3）．
例5.我国自行设计制造的“神舟六号”飞船进入圆形轨道后的飞行速度为7.9×103米/秒，它绕地球一周需5.4×103秒，问该圆形轨道的一周有多少米？（结果用科学记数法表示）
解：
=
(米).
答：该圆形轨道的一周有米．
1.下列运算中，正确的是( )
A.a3·a3=2a3 B.a3·a3=a6 C.a3·a3=a9 D.a3+a3=a6
2.化简(-x)3·(-x)4，结果正确的是( )
A.-x7 B.x7 C.x12 D.-x12
3.若am=3，an=5，则am+n等于( )
A.243 B.125 C.8 D.15
B
A
D
4.若m·23=26，则m等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.若a2n-1·an+2=a7，则n的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
D
A
6.计算:(1) x4·x6=____;(2) a·a4=_____;
(3)5×54×53=______;(4) x2n+1·x3n-1=______.
7.计算:(1)3×9×27×3m=______;(2)(-x)·x4·(-x)3·x2=______.
8.(1)若3n+1=81，则n=____;(2)若23·85=8n，则n=_____.
9.已知x+y-3=0，则2x·2y的值是______.
10.按一定规律排列的一列数:21，22,23，25，28，213，…若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是______________.
x10
a5
58
x5n
3m+6
x10
3
6
8
ab=c
11.计算下列各题：
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3;
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；
(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36；
(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.
12.1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
13．若，且，求的值．
解：由可得，则有，
∵，
∴ ，
解得： ，
∴．
14．定义新运算：a☆b＝10a×10b．
（1）试求：12☆3和4☆8的值；
（2）判断（a☆b）☆c是否与a☆（b☆c）相等？验证你的结论．
解：（1）∵a☆b=10a×10b，
∴12☆3=1012×103=1015，
4☆8=104×108=1012；
（2）（a☆b）☆c与a☆（b☆c）不相等；
理由：∵（a☆b）☆c=（10a×10b）☆c=10a+b☆c=×10c=，
a☆（b☆c）=a☆（10b×10c）=a☆10b+c=10a×=
∴（a☆b）☆c≠a☆（b☆c）．
同底数幂乘法法则：
am an=______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____.
条件：
结果：
am+n
不变
相加
①底数不变
①乘法
②同底数幂
②指数相加
拓展：当三个或三个以上同底数幂相乘时，
am·an·ap = .(m，n，p都是正整数)
am+n+p

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