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16.3 第2课时 完全平方式）
主讲：
人教版数学八年级上册
第十六章 整式的乘法
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.
2.灵活应用完全平方公式进行计算.
学习目标
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)( p+q)=ap+aq+bp+bq
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
复习引入
探究
计算下列多项式的积,你能发现什么规律
(p+1)2 =(p+1)(p+1)=___________；
(m+2)2=_____________;
(p-1)2=(p-1)(p-1)=_____________;
(m-2)2=______________.
p2+2p+1
m2+4m+4
p2-2p+1
m2-4m+4
你发现了什么？
新知探究
结论：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
猜想：(1)(a+b)2= .
(2)(a-b)2= .
你能验证这一结果吗？
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
该用什么知识来验证呢？
新知探究
解:(1)(a+b)2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
解:(2)(a-b)2
=(a-b)(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
新知探究
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
完全平方公式：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上
（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
完全平方公式的特征：
（1）左边是二项式的完全平方；右边是二次三项式；
（2）右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍；
（3）左边如果为“+”号，右边全是加号，左边如果为“-”号，它们两个乘积的2倍就为“-”号，其余都为“+”号；
（4）其中a,b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式.
新知探究
思考：你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗
问1 图1中最大正方形的面积有几种方法可以求出？
方法一：(a+b)2
方法二：a2+2ab+b2
由此你可以得出什么结论？
(a+b)2=a2+2ab+b2
图 1
图2
新知探究
图 1
图2
①
问1 图2中正方形①的面积有几种方法可以求出？
方法一：(a-b)2
方法二：a2-2ab+b2
由此你可以得出什么结论？
(a-b)2=a2-2ab+b2
新知探究
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
完全平方公式：
首平方，尾平方，积的2倍在中央，中间符号同前方.
完全平方公式的常见变形
总结归纳
例3 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 ; (2)(y- )2 .
解: (4m+n)2=
=16m2+8mn+n2
(a +b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
典例精析
=y2
-y
+
解： =
+
-2 y
y2
(a -b)2 =a2 - 2ab + b2
典例精析
例4 运用完全平方公式计算：
(1)1022 ; (2)992 .
解:(1)原式=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404.
(2):原式=(100–1)2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801.
典例精析
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗 (a-b)2与(b-a)2相等吗 (a-b)2与a2-b2相等吗 为什么
(1)∵(a+b)2=a2+2ab+b2
(-a-b)2=a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =(-a-b)2
(2)∵(a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=a2-2ab+b2
∴(a-b)2=(b-a)2
(3)∵(a-b)2=a2-2ab+b2
∴(a-b)2与a2-b2不一定相等
当a=b或b=0时，(a-b)2=a2-b2
新知探究
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2 =x2+y2
(2)(x-y)2=x2-y2
(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2
(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2
×
×
×
×
x2+2xy+y2
x2-2xy+y2
x2-2xy+y2
4x2+4xy+y2
随堂检测
2.计算：(2x-y)2=（　 ）
A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2
C.4x2-y2 D.4x2+y2
3.将1052变形正确的是（ ）
A.1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5)
C.1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
A
C
随堂检测
解：(1)原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36
(2)原式= y2-2·y·5+52 = y2-10y+25
(3)原式=(5-2x)2 = 52-2·5·2x+(2x)2 = 25-20x+4x2
(4)原式=
4.运用完全平方公式计算：
(1)(x+6)2 (2)(y-5)2 (3)(-2x+5)2 (4)
随堂检测
1.化简求值：已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，
原式
，
∵，
∴原式．
能力提升
2.已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 .
解：因为m+n=8，mn=6，
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52，
(m-n)2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40.
能力提升
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a-b)2=a2-2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
完全平方公式：
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍在中央.”
课堂小结
1.若，则的值为（ ）
A.26 B.24 C.20 D.28
2.如果是一个完全平方式，那么k的值是（ 　）
A.4 B.±8 C.8 D.±4
3.已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
D
B
B
课后作业
4.利用乘法公式计算：
(1) 20232－2022×2024；
(2) 20232－2023×4044＋20222.
解：(1)原式=20232-(2023＋1)(2023-1)
=20232-20232＋1=1.
(2)原式=20232-2×2022×2023＋20222
=(2023-2022)2=1.
课后作业

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