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17.1 用提公因式法分解因式
主讲：
人教版数学八年级上册
第十七章 因式分解
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
学习目标
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积．
a
b
c
m
方法一：m(a + b + c)
方法二：ma + mb + mc
m(a + b + c) = ma + mb + mc
整式乘法
?
情境引入
计算下列各式:
(1)x(x+1)=_______;(2)(x+1)(x-1)=_______.
（3）(x+1)2 = .
x2+x
x2-1
请把下列多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x =__________;(2)x2–1=__________.
（3）x2+2x+1= .
x(x+1)
(x+1)(x-1)
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
新知探究
x2+2x+1
(x+1)2
pa+pb+pc
因式分解
整式乘法
p(a+b+c)
因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
归 纳
新知探究
由p(a+b+c) = pa+pb+pc可得:pa+pb+pc=p(a+b+c)
这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p所得的商.像这种分解因式的方法叫做___________.
它的各项都有一个公共的因式p ,我们把因式p 叫做这个多项式的 _________ .
观察多项式 pa+pb+pc
公因式
提公因式法
新知探究
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法分解因式：
pa+pb+pc=p(a+b+c)
新知探究
注意：
(1)因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形；
(2)因式分解不针对单项式，只针对多项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分.因式分解的结果中的每个因式都是整式且不能再分解.
重点：
(1)因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式；
(2)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
新知探究
公因式：
一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
公因式的确定：
(1)确定公因式的系数：当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数就是多项式中各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；
(2)确定相同字母：公因式应取多项式各项中的相同的字母；
(3)确定公因式中相同字母的指数：取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数；
(4)确定公因式：由步骤(1)——(3)写出多项式的公因式.
提公因式法因式分解
新知探究
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数
2.找相同字母
3.相同字母的最低指数
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2?2a2+4ab2?3bc
=4ab2(2a2+3bc)
4
ab
a1b2
典例精析
例2 把 2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
分析:(b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c)–3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
典例精析
提公因式法的一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
归纳总结
1.下列各多项式中的公因式是什么？
(1)ac+bc
(2)3x2+9xy
(3)a2b–2ab2 + ab
(4)4xy2-6xy+8x3y
c
3x
ab
2xy
随堂检测
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
（A）-6ab2c （B）-ab2 （C）-6ab2 （D）-6a3b2C
3.分解-4x3+8x2+16x的结果是（ ）
（A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16）
（C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
4.下列用提公因式法分解因式正确的是（ ）
（A）12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）
（B）3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
（C）-a2+ab-ac=-a（a-b+c）
（D）x2y+5xy-y=y（x2+5x）
D
C
C
随堂检测
5．因式分解：
(1)????????+???????? ; (2)﹣????????????+????????????;
(3)????????????－????????????????+????????; (4)????????????????－????????????????????+????????????????.
?
解：（1）原式=????（????+????）
（2）原式=﹣????????（????????－????）
（3）原式=????????（????－????????+????）
（4）原式=????????????（????????????－????????+????????????）
?
随堂检测
1.已知????????+????=????，?????????????????=?????，求代数式????????+?????????????????????+????????(????????+????)的值.
?
解：????????+?????????????????????+????????(????????+????)
=????????+?????????????????????+????????
=????????+?????????????????????，
∵????????+????=????，?????????????????=?????，
∴原式=?????.
?
能力提升
2．阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：????????＋4x＋3
解：原式＝????????＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（????????＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：????????＋5x＋6
?
解：原式=????????＋2x＋3x＋6
=????????+????????+(????????+????)
=????????+????+????(????+????)
=(????+????)(????+????)．
?
能力提升
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法分解因式：
pa+pb+pc=p(a+b+c)
提公因式法的一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
课堂小结
1.把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（? ?）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
2．计算????????×????????????????+????????×????????????????+????????×????????????????的结果为（???）
A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000
3．相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则????????????+????????????的值为（? ）
A．480 B．240 C．120 D．100
?
A
C
B
课后作业
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
4.已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
课后作业

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